---
# System prepended metadata

title: Lista 9
tags: [Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka]

---

###### tags: `Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka`

# Lista 9

## Zadanie 1
:::info
Niech zmienne $X_1, X_2, ... , X_n$ będą niezależne i niech mają ten sam rozkład $Exp(λ)$. Niech $Y_i = X_1 + ... + X_i$, dla $i = 1, ... , n$. Wykazać, że dla gęstości zmiennej $(Y_1, ... , Y_n)$ zachodzi wzór $f_{Y_1,...,Y_n}(y_1, ... , y_n) = λ
^n exp (−λy_n)$, gdzie $0 < y_1 < y_2 < ... < y_n$.
:::

$f(\lambda)=\lambda e^{-\lambda x}$

Skoro $X_1, X_2, ... , X_n$ są niezależne to:
$f_{Y_1,...,Y_n}(y_1, ... , y_n)=\displaystyle\prod_{i=0}^nf_i(x_i)=\displaystyle\prod_{i=0}^n\lambda e^{-\lambda x_i}=\lambda e^{-\lambda \displaystyle\sum_{i=0}^nx_i}$

$Y_1 = X_1$

$Y_2 = Y_1 + X_2$
$X_2 = Y_2 - Y_1$

$Y_i = Y_{i-1} + X_i$
$X_i = Y_i - Y_{i-1}$


$J = \begin{bmatrix}
  1 &  &  & 0\\
  -1 & .. &  \\
   &..  & 1  &  \\
   0&  & -1 & 1
 \end{bmatrix}\ = 1$
 
 
$f_{Y_1,...,Y_n}(x_1(y_1,...,y_n),...,x_n(y_1,...,y_n))=\lambda^n\exp(\displaystyle\sum_{i=2}^n(y_i-y_{i-1})+y_1)=\lambda^n\exp(-\lambda y_n)$
 

## Zadanie 2
:::info
Dla gęstości $f_{Y_1,...,Y_n}(y_1, ... , y_n)$ z poprzedniego zadania wykazać, że gęstość brzegowa $f_n(y_n)$ względem zmiennej $Y_n$ wyraża się wzorem $f_{Y_n}(y_n) = λ^n\frac{y_n^{n-1}}{(n − 1)!} \exp (−λy_n)$, gdzie $0 < y_n$
:::

$f_{Y_1,...,Y_n}(y_1, ... , y_n) = λ
^n exp (−λy_n)$

$f_{Y_n}(y_n)=\displaystyle\int_0^{y_n}\displaystyle\int_0^{y_{n-1}}...\displaystyle\int_0^{y_2}λ
^n exp (−λy_n)dy_1...dy_{n-1}=\\=λ
^n exp (−λy_n)*\displaystyle\int_0^{y_n}\displaystyle\int_0^{y_{n-1}}...\displaystyle\int_0^{y_2}1dy_1...dy_{n-1}=λ
^n exp (−λy_n)*\frac{1}{(n-1)!}*y_n^{n-1}=\\=λ^n\frac{y_n^{n-1}}{(n − 1)!} \exp (−λy_n)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare$

## Zadanie 3 X
:::info
Metodą $MLE$ znaleźć estymator parametru $θ$ rozkładu jednostajnego na przedziale $[θ − a; θ + a]$, przy założeniu, że znana jest wartość parametru $a$.
:::

## Zadanie 4 X
:::info
Metodą $MLE$ znaleźć estymator parametru $θ$ rozkładu jednostajnego na przedziale $[θ − a; θ + a]$, przy założeniu, że nie jest znana jest wartość parametru $a$.
:::

## Zadanie 5
:::info
Niezależne zmienne $X_1,..., X_5$ mają ten sam, ciągły, rozkład. Oznaczmy przez $p$ prawdopodobieństwo $P (X1 < X2 > X3 < X4 < X5)$. Wykazać, że $p$ nie zależy od gęstości rozkładu $f (x)$ zmiennych $X_k$. Obliczyć wartość $p$.
:::

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{x_1}^{\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{x_2}\displaystyle\int_{x_3}^{\infty}\displaystyle\int_{x_4}^{\infty}  f(x_1)f(x_2)f(x_3)f(x_4)f(x_5)  \space dx_5dx_4dx_3dx_2dx_1=\\=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{x_1}^{\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{x_2}\displaystyle\int_{x_3}^{\infty}  f(x_1)f(x_2)f(x_3)f(x_4)(1-F(x_4))\space  dx_4dx_3dx_2dx_1=\\=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{x_1}^{\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{x_2}\displaystyle\int_{x_3}^{\infty}  f(x_1)f(x_2)f(x_3)(f(x_4)-f(x_4)F(x_4))\space  dx_4dx_3dx_2dx_1=\\=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{x_1}^{\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{x_2}f(x_1)f(x_2)f(x_3)(\frac12-F(x_3)+\frac{F^2(x_3)}2)\space dx_3dx_2dx_1=\\=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{x_1}^{\infty}\displaystyle\int_{-\infty}^{x_2}f(x_1)f(x_2)(\frac{f(x_3)}2-f(x_3)F(x_3)+\frac{f(x_3)F^2(x_3)}2)\space dx_3dx_2dx_1=\\=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{x_1}^{\infty}f(x_1)f(x_2)(\frac{F(x_2)}2-\frac{F^2(x_2)}2+\frac{F^3(x_2)}6)\space dx_2dx_1=\\=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{x_1}^{\infty}f(x_1)(\frac{f(x_2)F(x_2)}2-\frac{f(x_2)F^2(x_2)}2+\frac{f(x_2)F^3(x_2)}6)\space dx_2dx_1=\\=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x_1)(\frac{F^2(x_2)}{4}-\frac{F^3(x_2)}6+\frac{F^4(x_2)}{24}\Big|_{x_2=x_1}^{+\infty})\space dx_1=\\=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x_1)(\frac{1}{4}-\frac{1}6+\frac{1}{24}-\frac{F^2(x_1)}{4}+\frac{F^3(x_1)}{6}-\frac{F^4(x_1)}{24})\space dx_1=\\=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x_1)(\frac18-\frac{F^2(x_1)}{4}+\frac{F^3(x_1)}{6}-\frac{F^4(x_1)}{24})\space dx_1=\\=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x_1)}8-\frac{f(x_1)F^2(x_1)}{4}+\frac{f(x_1)F^3(x_1)}{6}-\frac{f(x_1)F^4(x_1)}{24}\space dx_1=\\=\frac{F(x_1)}8-\frac{F^3(x_1)}{12}+\frac{F^4(x_1)}{24}-\frac{F^5(x_1)}{120}\Big|_{-\infty}^{\infty}=\frac{1}8-\frac{1}{12}+\frac{1}{24}-\frac{1}{120}=\frac3{40}$

## Zadanie 6
:::info
$X, Y, Z$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym $U [0, 1]$. Obliczyć $P (X \geq Y Z)$.
:::

Jeżeli:
$Y\in [0,1]$ i $Z\in [0,1]$

to:
$X\in [yz,1]$


$\displaystyle\int_0^{1}\displaystyle\int_0^{1}\displaystyle\int_{yz}^{1}1dxdydz =$
$\displaystyle\int_0^{1}\displaystyle\int_0^{1}(x\Big|_{yz}^1 )dydz =$
$\displaystyle\int_0^{1}\displaystyle\int_0^{1}(1 - yz )dydz =$
$\displaystyle\int_0^{1}(\displaystyle\int_0^{1}1dy - \displaystyle\int_0^{1}yzdy) dydz =$
$\displaystyle\int_0^{1}(1 - \frac z2 )dz =\frac 34$


## Zadanie 7
:::info
$X_1, X_2, X_3$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie $Exp(λ)$. Znaleźć rozkład ($3-$wymiarowy) zmiennej $(Y_1, Y_2, Y_3) = (X_1 + X_2, X_1 + X_3, X_2 + X_3)$.
:::

$Y_1 = X_1 + X_2$
$Y_2 = X_1 + X_3$
$Y_3 = X_2 + X_3$

$X_1 = Y_1 - X_2 = \frac{Y_1+Y_2-Y_3}{2}$
$X_2 = Y_3 - X_3 = \frac{Y_1-Y_2+Y_3}{2}$
$X_3 = Y_2 - X_1 = \frac{-Y_1+Y_2+Y_3}{2}$

$J = \begin{matrix}
  1/2 & 1/2 & -1/2 \\
  1/2 & -1/2 & 1/2 \\
  -1/2 & 1/2 & 1/2
 \end{matrix}\ = -\frac12$


![](https://i.imgur.com/mJ5KR2z.png)

$λ^n exp (−λy_n)$

$f_{Y_1,Y_2,Y_3}(y_1, y_2,y_3) = f_{X_1,X_2,X_3}(x_1(y_1, y_2,y_3),x_2(y_1, y_2,y_3),x_3(y_1, y_2,y_3)) = -\frac12 λ
^3 exp (−λ\frac{Y_1+Y_2+Y_3}{2})$

## Zadanie 8 X
:::info
**2 pkt** Niech $X_1,..., X_n$ będą niezależnymi zmiennymi o tym samym, ciągłym rozkładzie. Mówimy,że w chwili $j$ notujemy rekord $(j \leq n)$, jeśli $X_j\geq X_i$ dla $1 \leq i \leq j$. Niech zmienna losowa $Z$ będzie liczbą rekordów w ciągu $\{X_k\}$. Wykazać, że $E(Z) =\displaystyle\sum_{j=1}^n=\frac1j$.
:::

## Info do zadań 9, 10

:::info
Zmienna losowa $(X, Y)$ ma rozkład o gęstości:
$f(x, y) = 1,\space 0 \leq x, y \leq 1$.
:::

## Zadanie 9
:::info
Znaleźć gęstość zmiennej $Z = \frac XY$ .
:::

Gęstość zmiennej $(Z,V)$ gdzie $V$ jest dowolne. $(V = Y)$

$V = Y$
$Z = \frac XY$
stąd:
$X = ZV$


jeżeli $y\in[0, 1]$ to $v\in[0, 1]$
oraz $x \in[0, 1]$ to $v\in[0, \frac1z]$

$F_Z(z)$ =
  \begin{cases}
    \displaystyle\int_0^1v\space dv=\frac12       & \quad \text{dla } z\in[0;1]\\
    \displaystyle\int_0^{\frac1z}v\space dv=\frac1{2z^2}  & \quad \text{dla } z\in(1;+\infty)
  \end{cases}

## Zadanie 10 X

:::info
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że pierwszą cyfrą znaczącą $Z$ jest $1$.
:::


## Zadanie 11
:::info
**(E2)**
Załóżmy, że niezależne zmienne losowe $X$, $Y$ mają rozkłady, odpowiednio, $Gamma(b, p)$ i $Gamma(b, q)$. Niech $U = X + Y$ oraz $V = \frac{X}{X + Y}$ . Wykazać, że
:::

### a) X
:::info
Zmienne $U$ i $V$ są niezależne.
:::

### b)
:::info
$X + Y$ ma rozkład $Gamma(b, p + q)$.
:::

Korzystając z funkcji generujących memonety

$M_{X+Y}(t)=(1-\frac tb)^p*(1-\frac tb)^q=(1-\frac tb)^{p+q}$

Co jest funkcją generującą momenty dla zmiennej o rozkładzie $Gamma(b,p+q)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare$

### c) X
:::info
Zmienna $V$ ma rozkład $Beta(p, q)$, tzn. $f (x) = \frac1 {B(p, q)}x^{p−1}(1 − x)^{q−1}$, $x ∈ [0, 1]$.
:::

## Zadanie 12
:::info
**(E2)**
Zmienna losowa $X$ ma dyskretny rozkład jednostajny $P (X = i) = \frac1{100}$,  $i ∈ \{1, 2, . . . , 99, 100\}$.
Zmienne losowe $Y$ oraz $Z$ określone są następująco
$Y$ =
  \begin{cases}
    1,       &  2|X\space \vee\space 3|X,\\
    0  & wpw.
  \end{cases}
$Z$ =
  \begin{cases}
    1,       & 3|X,\\
    0  & wpw.
  \end{cases}
Znaleźć wartość współczynnika korelacji $ρ$ zmiennych $Y$ i $Z$. (Odp.: $ρ = \frac{33}{67}$)
:::
Najpierw zauważmy, że możemy łatwo znaleźć wartości oczekiwane zmiennej $Y$ i zmiennej $Z$. $Y$ przyjmie wartość $1$ w $67$ przypadkach, ponieważ w zbiorze $\{1,2,...,100\}$ jest dokładnie $67$ liczb podzielnych przez $2$ lub przez $3$. Zmienna $Z$ przyjmie wartość $1$ w $33$ przypadkach, ponieważ w zbiorze $\{1,2,...,100\}$ jest dokładnie $33$ liczb podzielnych przez $3$. Czyli:

$E(Y)=\frac{67}{100}$

$E(Z)=\frac{33}{100}$

Zauważmy, że wartość oczekiwana zmiennej $E(YZ)=\frac{33}{100}$, ponieważ jest dokładnie $33$ liczb, które jednocześnie są podzielne przez $3$ oraz przez $3$ lub $2$:


| $_Y\text{\\}^Z$ | 0                |        1         |
| --------------- | ---------------- |:----------------:|
| **0**           | $\frac{33}{100}$ |       $0$        |
| **1**           | $\frac{34}{100}$ | $\frac{33}{100}$ |


W obliczeniach z tabelki uzyskujemy $0*0*\frac{33}{100} + 0*1*\frac{34}{100}  + 0*1*0 + \frac{33}{100}*1*1=\frac{33}{100}$

$V(Y) = \frac{1}{100}\displaystyle\sum_{i=1}^{100}(x_i - \frac{67}{100})^2 = \frac{67}{100} * (\frac{33}{100})^2 +  \frac{33}{100}*(\frac{67}{100})^2 = \frac{33*37}{100*100}$
$V(Z) = \frac{1}{100}\displaystyle\sum_{i=1}^{100}(x_i - \frac{33}{100})^2 = \frac{67}{100} * (\frac{33}{100})^2 + (\frac{67}{100})^2 * \frac{33}{100} = \frac{33*37}{100*100}$

$\rho= \frac{Cov(Y,Z)}{\sqrt{V(Y)V(Z)}}=\frac{E(YZ)-E(Y)*E(Y)}{\sqrt{V(Y)V(Z)}}=\frac{\frac{33}{100} - \frac{67}{100}*\frac{33}{100}}{\sqrt{\frac{67}{100} * \frac{33}{100}*\frac{67}{100} * \frac{33}{100}}} =\frac{\frac{33}{100}(1-\frac{67}{100})}{\frac{67}{100} * \frac{33}{100}} = \frac{\frac{33}{100}}{\frac{67}{100}}=\frac{33}{67}$

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>