###### tags: `Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka`

# Lista 3

## Zadanie 1

:::info
Zmienna losowa $X$ ma gęstość $f(x) = 2x$ dla $x \in [0, 1]$. Wyznaczyć dystrybuantę $F(x)$ tej zmiennej oraz gęstość zmiennej $Y = X^2$
:::

Dla $x\in(-\infty; 0)\qquad F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x}0\space dx=0$

Dla $x\in[0;1]\qquad F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}0\space dx + \displaystyle\int_{0}^{x}2x\space dx=0 + x^2\Big|_{0}^{x}=x^2$

Dla $x\in(1; +\infty)\qquad F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}0\space dx + \displaystyle\int_{0}^{1}2x\space dx + \displaystyle\int_{1}^{x}0\space dx =0 + x^2\Big|_{0}^{1} + 0 = 1$

$Y=X^2$

$F_Y(y)=P(Y < y)=P(X^2 < y)=P(-\sqrt{y} < X < \sqrt{y})=P(X < \sqrt{y})-P(X<-\sqrt{y})=\\=F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y})=\displaystyle\int_{0}^{\sqrt y}2t\space dt-\displaystyle\int_{0}^{-\sqrt y}0\space dt=\Big|_0^{\sqrt{y}}t^2=y$

$f(y) = F_Y'(y)=y'=1$ dla $y\in[0;1]$

## Zadanie 2
:::info
Czy prawdą jest, że 13. dzień miesiąca powiązany jest z piątkiem? (1 stycznia 1601 – 31 grudnia 2000)
Założenia: rok numer $n$ jest przestępny jeżeli $n \equiv_4 0$, pod warunkiem, że $n \equiv 100 0$;
dodatkowo – jeżeli $n \not\equiv_{400} 0$ (czyli rok $2000$), to wcześniejszy warunek jest nieważny. Ile razy
w $400$-letnim cyklu $13$-tym dniem miesiąca był poniedziałek, wtorek, . . . , niedziela?
:::

W ciągu 400 lat jest dokładnie 97 lat przestępnych, czyli w tym czasie jest dokładnie $400*365+97=146097=7*20 871$ dni.
Czyli 400 letni okres tworzy cykl, dlatego przesuniemy ten przedział i będziemy wykonywać obliczenia dla przedziału 1 marca 1600 – 28 lutego 1999

Dla potrzeby zadania załóżmy, że rok zaczyna się w marcu, a kończy w lutym. Załóżmy również, że nie ma lat przestępnych tylko "dodatkowe" dni pomiędzy regularnymi latami, co 4 lata (i co 400 lat). Przypiszmy dni tygodnia do liczb.
0 - poniedziałek, 1 - wtorek, ..., 6 - niedziela

Zauważmy, że $365=7*52+1$, czyli jak dany rok zaczyna się dniem $X$ to kolejny rok zaczyna się dniem $(X+1)\%7$ lub $(X+2)\%7$ licząc dodatkowy dzień.

$1$ marca $1600$ roku była środa.
Zliczmy dni tygodnia w latach $1600-1699$
1600-1627 $2,3,4,5\space\space\space0,1,2,3,\space\space\space 5,6,0,1\space\space\space3,4,5,6\space\space\space1,2,3,4\space\space\space 6,0,1,2\space\space\space 4,5,6,0$
1628-1655 $2,3,4,5\space\space\space0,1,2,3,\space\space\space 5,6,0,1\space\space\space3,4,5,6\space\space\space1,2,3,4\space\space\space 6,0,1,2\space\space\space 4,5,6,0$
1656-1683 $2,3,4,5\space\space\space0,1,2,3,\space\space\space 5,6,0,1\space\space\space3,4,5,6\space\space\space1,2,3,4\space\space\space 6,0,1,2\space\space\space 4,5,6,0$
1684-1699 $2,3,4,5\space\space\space0,1,2,3,\space\space\space 5,6,0,1\space\space\space3,4,5,6$

Zauważmy, że co 28 lat pierwsze dni miesiąca tworzą cykl
Dla kolejnych stuleci robimy podobne zestawienie

$1$ marca $1700$ roku był $(6 + 1)\%7=0$.
1700-1729 $0,1,2,3,\space\space\space 5,6,0,1\space\space\space3,4,5,6\space\space\space1,2,3,4\space\space\space 6,0,1,2\space\space\space 4,5,6,0\space\space\space2,3,4,5$
1784-1799 $0,1,2,3,\space\space\space 5,6,0,1\space\space\space3,4,5,6\space\space\space1,2,3,4$

$1$ marca $1800$ roku był $(4 + 1)\%7=5$.
1800-1829 $5,6,0,1\space\space\space3,4,5,6\space\space\space1,2,3,4\space\space\space 6,0,1,2\space\space\space 4,5,6,0\space\space\space2,3,4,5\space\space\space0,1,2,3$
1884-1899 $5,6,0,1\space\space\space3,4,5,6\space\space\space1,2,3,4\space\space\space 6,0,1,2$

$1$ marca $1900$ roku był $(2 + 1)\%7=3$.
1900-1929 $3,4,5,6\space\space\space1,2,3,4\space\space\space 6,0,1,2\space\space\space 4,5,6,0\space\space\space2,3,4,5\space\space\space0,1,2,3\space\space\space5,6,0,1$

1984-1999 $3,4,5,6\space\space\space1,2,3,4\space\space\space 6,0,1,2\space\space\space 4,5,6,0$

Sumując dni z powyższych zestawień otrzymujemy

| Dzień tygodnia | Liczba wystąpień danego dnia tygodniana początku roku |
| -------------- |:-----------------------------------------------------:|
| 0 | $56$ |
| 1 | $58$ |
| 2 | $56$ |
| 3 | $58$ |
| 4 | $57$ |
| 5 | $57$ |
| 6 | $58$ |

Stwórzmy teraz tabelę zawierającą od zestawienie, od któego dnia tygodnia zaczyna się dany miesiąc, jeżeli dany rok zaczyna się rokiem $X$

| miesiąc | dzień tygodnia, którym rozpoczyna się dany miesiąc | dzień tygodnia 13 |
|:-----------:|:--------------------------------------------------:|:-----------------:|
| Marzec | X | X+5 |
| Kwiecień | X+3 | X+1 |
| Maj | X+5 | X+3 |
| Czerwiec | X+1 | X+6 |
| Lipiec | X+3 | X+1 |
| Sierpień | X+6 | X+4 |
| Wrzesień | X+2 | X |
| Październik | X+4 | X+2 |
| Listopad | X | X+5 |
| Grudzień | X+2 | X |
| Styczeń | X+5 | X+3 |
| Luty | X+1 | X+6 |

Na podstawie tej tabeli wyznaczamy liczbę

| Dzień tygodnia rozpoczynający rok | Liczba danych dni tygodnia 13 dnia miesiąca |
| --- |:-------------------------------------------:|
| X | $2$ |
| X+1 | $2$ |
| X+2 | $1$ |
| X+3 | $2$ |
| X+4 | $1$ |
| X+5 | $2$ |
| X+6 | $2$ |

Na podstawie ostatniej tabeli i tabeli przedstawiającej liczbę wystąpień w 400-leciu danych dni tygodnia na początku roku, możemy policzyć ilość wystąpień danego dnia tygodnia 13 dnia miesiąca:

| Dzień tygodnia | Liczba wystąpień w przedziale 1600-1999 13 dnia miesiąca |
|:--------------:|:--------------------------------------------------------:|
| 0 | $56*2+58*2+56*2+58*1+57*2+57*1+58*2=687$ |
| 1 | $56*2+58*2+56*2+58*2+57*1+57*2+58*1=685$ |
| 2 | $56*1+58*2+56*2+58*2+57*2+57*1+58*2=687$ |
| 3 | $56*2+58*1+56*2+58*2+57*2+57*2+58*1=684$ |
| 4 | $56*1+58*2+56*1+58*2+57*2+57*2+58*2=688$ |
| 5 | $56*2+58*1+56*2+58*1+57*2+57*2+58*2=684$ |
| 6 | $56*2+58*2+56*1+58*2+57*1+57*2+58*2=687$ |

## Info do zadania 3 i 4

:::info
Mówimy, że zmienne $X$, $Y$ są niezależne, wtedy gdy – w wypadku dyskretnym – spełniony jest
warunek $P(X = x_i, Y = y_k) = P (X = x_i) * P (Y = y_k)$.
:::

## Zadanie 3
:::info
Zmienna X ma rozkład $B(n_1, p)$ a zmienna Y rozkład $B(n_2, p)$. Zmienne są niezależne. Wykazać, że zmienna $Z = X + Y$ ma rozkład $B(n_1 + n_2, p)$.
:::

Z własności symbolu Newtona:
$\displaystyle\sum_{-m}^n\binom{r}{m+k}\binom{s}{n-k}=\binom{r+s}{m+n}$

$P(Z=k)=\displaystyle\sum_{i=0}^kP(X=i)P(Y=k-i)=\displaystyle\sum_{i=0}^k\binom{n_1}{i}p^i(1-p)^{n_1-i}\binom{n_2}{k-i}p^{k-i}(1-p)^{n_2-k+i}=\\=\displaystyle\sum_{i=0}^k\binom{n_1}{i}\binom{n_2}{k-i}p^k(1-p)^{n_1+n_2-k}=p^k(1-p)^{n_1+n_2-k}\displaystyle\sum_{i=0}^k\binom{n_1}{i}\binom{n_2}{k-i}=\\=p^k(1-p)^{n_1+n_2-k}\binom{n_1+n_2}{k}=\binom{n_1+n_2}{k}p^k(1-p)^{n_1+n_2-k}=B(n_1+n_2,p)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare$

## Zadanie 4
:::info
Niezależne zmienne losowe $X, Y$ mają rozkład Poissona z parametrami $\lambda_1$ i $\lambda_2$. Wykazać, że zmienna $Z = X + Y$ ma rozkład Poissona z parametrem $\lambda_1 + \lambda_2$.
:::
$P(Z=k)=\displaystyle\sum^k_{i=0}P(X=i)P(Y=k-i)=\displaystyle\sum^k_{i=0}e^{-\lambda_1}\frac{\lambda_1^i}{i!}*e^{-\lambda_2}\frac {\lambda_2^k-i}{(k-i)!}=\\=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\displaystyle\sum^k_{i=0}\frac{\lambda_1^i}{i!}*\frac{k!}{k!}*\frac{\lambda_2^k-i}{(k-i)!}=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\frac1k!\displaystyle\sum_{i=0}^k\binom ki\lambda_1^i\lambda_2^{k-i}=\\=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\frac{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}=P(\lambda_1+\lambda_2, p)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare$

## Zadanie 5
:::info
Zmienna losowa $X$ ma gęstość $f(x) = 1.5*\sqrt{x}$ dla $x \in [0, 1]$. Wyznaczyć dystrybuantę $F(x)$ tej zmiennej oraz gęstość zmiennej $Y = X^2$.
:::

Dla $x\in(-\infty; 0)\qquad F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x}0\space dt=0$

Dla $x\in[0;1]\qquad F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}0\space dt + \displaystyle\int_{0}^{x}1.5*\sqrt{t}\space dt=0 + \displaystyle\int_{0}^{x}1.5*t^{\frac12}\space dt=\\=1.5*\frac{3}{2}t^{\frac32} \Big|_0^x=x^{\frac32}$

Dla $x\in(1; +\infty)\qquad F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}0\space dt + \displaystyle\int_{0}^{1}1.5*\sqrt{t}\space dt + \displaystyle\int_{1}^{x}0\space dt =\\=0 + t^{\frac32}\Big|_0^1 + 0 =1$

$Y=X^2$

$F_Y(y)=P(Y < y)=P(X^2 < y)=P(-\sqrt{y} < X < \sqrt{y})=P(X < \sqrt{y})-P(X<-\sqrt{y})=\\=F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y})=\displaystyle\int_{0}^{\sqrt y}1.5*\sqrt{t}\space dt-\displaystyle\int_{0}^{-\sqrt y}0\space dt=t^\frac32\Big|_0^{\sqrt{y}}=t^{\frac34}$

$f(y) = F_Y'(y)=(t^{\frac34})'=\frac34t^{-\frac14}$ dla $y\in[0;1]$

## Info do zadania 6 i 7

:::info
Gęstość 2-wymiarowej zmiennej losowej $(X, Y)$ to $f(x, y) = 3xy$ na obszarze ograniczonym prostymi $y = 0,\space y = x,\space y = 2 − x$.

:::

## Zadanie 6
:::info
Wyznaczyć gęstości brzegowe $f_1(x), f_2(y)$.
:::
dla $x\in[0;1]\qquad y=x$
dla $x\in[1;2]\qquad y=2-x$

czyli $f(x)=1-|x-1|\qquad$ dla $x\in[0;2]$

$f_1(x)=\displaystyle\int_{0}^{1-|x-1|}3xy\space dy=\frac{3xy^2}{2}\Big|_{0}^{1-|x-1|}=\frac{3x(1-|x-1|)^2}{2}$
$f_2(y)=\displaystyle\int_{y}^{2-y}3xy\space dx=\frac{3yx^2}{2}\Big|_{y}^{2-y}-0=\\=\frac{3y(2-y)^2}{2}-\frac{3y^3}{2}=\frac{12y-12y^2+3y^3-3y^3}{2}=6y(1-y)$
## Zadanie 7
:::info
Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej brzegowej $Y$. Czy zmienne $X, Y$ są niezależne? (odpowiedź uzasadnić)
:::

$EY=\displaystyle\int_{0}^{1}y*f_2(y)\space dy=\displaystyle\int_{0}^{1}y*6y(1-y)\space dy=\displaystyle\int_{0}^{1}6y^2-6y^3\space dy=\\=6\displaystyle\int_{0}^{1}y^2-y^3\space dy=6(\frac{y^3}{3}-\frac{y^4}{4}\Big|_{0}^{1})=6(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})=\frac{6}{12}=\frac12$

Są zależne: weźmy $x=1,\space y=1$

$f_1(1)=\frac{3*1(1-|1-1|)^2}{2}=\frac32$
$f_2(1)=6*1(1-1)=0$
$f(1,1)=3*1*1=3$
$3\neq0\implies f(1,1)\neq f_1(1)*f_2(1)$

## Zadanie 8
:::info
Zmienna losowa $(X, Y)$ ma gęstość postaci $f(x,y) = 30x^2y$ na obszarze ograniczonym prostymi
$y = 0,\space x = 0,\space y = 2 − 2x$. Wyznaczyć gęstość brzegową $f_1(x)$ oraz wartość oczekiwaną EX.
:::

$f_1(x)=\displaystyle\int_{0}^{2-2x}30x^2y\space dy=30x^2\displaystyle\int_{0}^{2-2x}y\space dy=30x^2*(\frac{y^2}2\Big|_{0}^{2-2x})=\\=30x^2*(\frac{(2-2x)^2}{2})=60x^2*(x-1)^2=60x^2*(x^2-2x+1)$

$EX=\displaystyle\int_{0}^{1}x*60x^2*(x^2-2x+1)\space dx=60\displaystyle\int_{0}^{1}x^5-2x^4+x^3\space dx=\\=60(\frac{x^6}{6}-2\frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{4}\Big|_{0}^{1})\space dx=60*(\frac16-\frac25+\frac14)=10-24+15=1$

## Zadanie 9
:::info
Czytelnie i starannie - bez korzystania z notatek - napisać wielkie i małe greckie litery: alfę
$\alpha$, betę $\beta$, (d)zetę $\zeta$, etę $\eta$, lambdę $\lambda$, chi $\chi$, ksi $\xi$, fi $\phi$, rho $\rho$.
:::

[Pisownia](https://www.youtube.com/watch?v=20IqG6Nam_E)

## Zadanie 10
### a)
:::info
Niech $X ∼ U[−2, 2]$. Znaleźć rozkład zmiennej $Y =|X|$.
:::

$f(x)=\frac14$

$F_Y(y) = P(Y\leq y) = P(|x|\leq y) = \\=P(-y\leq x\leq y) = P(x\leq y) - P(x\leq -y) = F_X(y) - F_X(-y) = \\=\displaystyle\int_{-2}^yf(x)dx - \displaystyle\int_{-2}^{-y}f(x)dx =\displaystyle\int_{-2}^y\frac14dx - \displaystyle\int_{-2}^{-y}\frac14dx=\frac x4\Big|_{-2}^y-\frac x4\Big|_{-2}^{-y}=\\=\frac y4+\frac12-(\frac{-y}{4}+\frac12)=\frac y2$

$f_y(y)=(\frac y2)'=\frac12\qquad$ dla $y\in[0;2]$
$Y∼U[0;2]$
### b)
:::info
Dla $X ∼ U[−1, 1]$ wyznaczyć rozkłady zmiennych $Y = X^3,\space Z = X^2$.
:::

$f(x)=\frac12$
$F_Y(y) = P(Y\leq y) =P(X^3\leq y)=P(X\leq \sqrt[3] y)=F_X(\sqrt[3]{y})=\\=\displaystyle\int_{-1}^{\sqrt[3]y}f(t)\space dt=\displaystyle\int_{-1}^{\sqrt[3]y}\frac12\space dt=\frac12t\Big|_{-1}^{\sqrt[3]y}=\frac{\sqrt[3]y} 2+\frac12=\frac{\sqrt[3]y+1}{2}$

$f(x)=(\frac{\sqrt[3]y+1}{2})'=(\frac{1}{2}y^\frac13+\frac12)'=\frac16y^\frac{-2}3$

Dla $Z=X^2$ robimy analogicznie

## Zadanie 11
:::info
Niech $X$ będzie zmienną o rozkładzie geometrycznym $(X ∼ Geom(p))$. Udowodnić, że $V(X) = \frac{1 − p}{p^2}$.
:::

$P(X=k)=(1-p)^k*p$

$V(X)=E(X^2)-(E(X))^2=E(X(X-1))+E(X)-(E(X))^2$

Stosuję podstawienie: $q=1-p$

$EX=\displaystyle\sum_{k=1}kp(1-p)^{k-1}=p*\displaystyle\sum_{k=1}kk(1-p)^{k-1}=p*\displaystyle\sum_{k=1}kq^{k-1}=\\=p(\displaystyle\sum_{k=1}q^{k-1} + \displaystyle\sum_{k=2}q^{k-1} + \displaystyle\sum_{k=3}q^{k-1} + ...)=p(\frac{1}{1-q} + \frac{q}{1-q} + \frac{q^2}{1-q} + ...)=\\=p(\frac{1}{p} + \frac{1-p}{p} + \frac{(1-p)^2}{p} + ...)=\displaystyle\sum_{k=0}(1-p)^k=\frac{1}{1-(1-p)}=\frac1p$

$(EX)^2=\frac1{p^2}$

$E(X(X-1))=\displaystyle\sum_{k=1}k(k-1)p(1-p)^{k-1}=p\displaystyle\sum_{k=1}k(k-1)(1-p)^{k-1}=\\=p\displaystyle\sum_{k=1}(k-1)kq^{k-1}=p\frac{d}{dq}(\displaystyle\sum_{k=1}(k-1)q^k)=p\frac{d}{dq}(q^2\displaystyle\sum_{k=2}(k-1)q^{k-2})=p\frac{d}{dq}(q^2\displaystyle\sum_{k=1}kq^{k-1})=p\frac{d}{dq}(q^2\frac{1}{(1-q)^2})=\\=p\frac{d}{dq}(\frac{q^2}{(1-q)^2})=p(\frac{2q*(1-q)^2-q^2*2(q-1)}{(1-q)^4})=p(\frac{2q*(1-q)^2+q^2*2(1-q)}{(1-q)^4})=p(\frac{2(1-q)(q-q^2+q^2)}{(1-q)^4})=p(\frac{2q}{(1-q)^3})=\\=p(\frac{2(1-p)}{p^3})=\frac{2(1-p)}{p^2}$

$V(X)=E(X^2)-(E(X))^2=E(X(X-1))+E(X)-(E(X))^2=\frac{2(1-p)}{p^2}+\frac1p-\frac1{p^2}=\\=\frac{2(1-p)+p-1}{p^2}=\frac{2-2p+p-1}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare$

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>