###### tags: `Analiza Numeryczna (L)`

# Lista 3

## Zad 1

Dla jakich wartości x obliczanie wartości wyrażeń
a) $4 cos^2x−3$
b) $x^{−3}(\frac{\pi}{2}−x−arcctg(x))$
może wiązać się z utratą cyfr znaczących wyniku? Zaproponuj sposoby obliczenia wyniku dokładniejszego. Pokaż, że sposoby te działają w praktyce.
a) $4 cos^2x−3 =0$
$cos^2x = \frac{3}{4}$
$cosx = \frac{\sqrt{3}}{2}$lub
$cosx = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$x=\frac{\pi}{6}\times 2k\pi$ lub
$x=-\frac{\pi}{6}\times 2k\pi$ lub
$x=\frac{5\pi}{6}\times 2k\pi$ lub
$x=-\frac{5\pi}{6}\times 2k\pi$

$4 cos^2x−3 = 4cos^2x-3 = 4cos^2x - 3(cos^2x + sin^2x) = cos^2x - 3sin^2x =$$=cos(2x) - 2sin^2x = \frac{cos(2x)\times cosx - 2sin^2x\times cosx}{cosx} = \frac{cos(2x)\times cosx - sin(2x)\times sinx}{cosx} = \frac{cos(3x)}{cosx}$

b) $x^{−3}(\frac{\pi}{2}−x−arcctg(x)) = x^{−3}(arctg(x)-x)$ dla x bliskiego 0 to mamy niebezpieczne odejmowanie
$x^{−3}(arctg(x)-x) =x^{−3}(x-\frac{x^3}{3} +\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-...-x) = x^{−3}(-\frac{x^3}{3} +\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-...) = -\frac{1}{3} +\frac{x^2}{5}-\frac{x^4}{7}+\frac{x^6}{9}-...$

## zad 2
Podaj (w miarę) bezpieczny numerycznie algorytm obliczania zer równania kwadratowego $ax^2+bx+c= 0 (a \neq 0)$. Przeprowadź testy dla odpowiednio dobranych wartości a, b i c pokazujące, że Twój algorytm jest lepszy od metody szkolnej bazującej jedynie na dobrze znanych wzorach $x_{1,2}= \frac{−b±\sqrt{b^2−4ac}}{2a}$.

$x_1=\frac{−b-\sqrt{b^2−4ac}}{2a} = -\frac{b+\sqrt{b^2−4ac}}{2a}$- ten pierwiastek jest bezpieczny. Inna sytuacja jest dla $x_2$
$x_2=\frac{−b+\sqrt{b^2−4ac}}{2a} = -\frac{b-\sqrt{b^2−4ac}}{2a}$ W tym przypadku mamy niebezpieczne odejmowanie. Żeby się go pozbyć możemy użyć wzorów Viète’a.
Wiemy, że $x_1\times x_2 = \frac{c}{a}$, więc $x_2=\frac{\frac{c}{a}}{x_1} = \frac{c}{a\times x_1} = \frac{c}{a\times(-\frac{b+\sqrt{b^2−4ac}}{2a})} = \frac{c}{-\frac{b+\sqrt{b^2−4ac}}{2}} = \frac{2c}{-b-\sqrt{b^2−4ac}} = \frac{-2c}{ b+\sqrt{b^2−4ac}}$

## zad 3
Miejsce zerowe wielomianu $x^3+3qx−2r= 0$, gdzie $r,q >0$, można obliczyć następującym wzorem Cardano-Tartaglii: $x=(r+\sqrt{q3+r2})^{\frac{1}{3}}+(r−\sqrt{q3+r2})^{\frac{1}{3}}$.Pokaż na przykładach, że bezpośrednie użycie tego wzoru w obliczeniach zmienno-pozycyjnych może skutkować błędnymi wynikami. Co jest tego przyczyną? Spróbujprzekształcić wzór tak, aby uniknąć problemów. Czy obliczenia można zorganizować wtaki sposób, aby tylko raz wyznaczać pierwiastek trzeciego stopnia?

$x=(r+\sqrt{q^3+r^2})^{1/3}+(r−\sqrt{q^3+r^2})^{1/3} =
\sqrt[3]{r+\sqrt{q^3+r^2}} + \sqrt[3]{r-\sqrt{q^3+r^2}}= \frac{r+\sqrt{q^3+r^2} + r-\sqrt{q^3+r^2}}{\sqrt[3]{(r+\sqrt{q^3+r^2})^2} - \sqrt[3]{(r+\sqrt{q^3+r^2})\times(r-\sqrt{q^3+r^2})} + \sqrt[3]{(r-\sqrt{q^3+r^2})^2}} =$$=\frac{2r}{\sqrt[3]{(r+\sqrt{q^3+r^2})^2} - \sqrt[3]{r^2-q^3-r^2} + \sqrt[3]{(r-\sqrt{q^3+r^2})^2}} = \frac{2r}{\sqrt[3]{(r+\sqrt{q^3+r^2})^2} + q + \sqrt[3]{(r-\sqrt{q^3+r^2})^2}} =$
$= \frac{2r}{\sqrt[3]{(r+\sqrt{q^3+r^2})^2} + q + \sqrt[3]{(\frac{r^2-q^3-r^2}{r+\sqrt{q^3+r^2}}})^2} = \frac{2r}{\sqrt[3]{(r+\sqrt{q^3+r^2})^2} + q + \sqrt[3]{(\frac{-q^3}{r+\sqrt{q^3+r^2}}})^2} = \frac{2r}{\sqrt[3]{(r+\sqrt{q^3+r^2})^2} + q + \sqrt[3]{(\frac{1}{r+\sqrt{q^3+r^2}}})^2\times q^2} =$
$=\frac{2r}{\sqrt[3]{(r+\sqrt{q^3+r^2})^2} + q + \frac{q^2}{\sqrt[3]{(r+\sqrt{q^3+r^2})^2}}}$

## zad 4

Wyprowadź wzór na wskaźnik uwarunkowania zadania obliczania wartości funkcji f w punkcie x.

wskaznik uwarunkowania:

$cond(x) =\frac{\text{wzgledna zmiana wyniku}}{\text{wzgledna zmiana danych}}$
wzgledna zmiana danych = $|\frac{x+h-x}{x}| = |\frac{h}{x}|$
wzgledna zmiana wyniku = $|\frac{f(x+h)-f(x)}{f(x)}|$

$cond(x) = |\frac{f(x+h)-f(x)}{f(x)}|\times|{\frac{x}{h}}| = |\frac{f(x+h)-f(x)}{h}||\frac{h}{f(x)}|\times|{\frac{x}{h}}| \approx |f(x)'||\frac{h}{f(x)}|\times|{\frac{x}{h}}|= |\frac{xf(x)'}{f(x)}||\frac{h}{x}|\times|{\frac{x}{h}}| =|\frac{xf(x)'}{f(x)}|$

## zad 5

Sprawdź dla jakich wartości x zadanie obliczania wartości funkcji f jest źle uwarunkowane, jeśli:

$cond(f(x))= |\frac{x*f(x)'}{f(x)}|$

a)
$f(x) = x^3 + 2020 =$
$f(x)' = 3x^2$

$cond(f(x))=|\frac{3x^3}{x^3+2020}|$

$\lim_{x \to -\sqrt[3]{2020}} cond(f(x)) = \infty$

źle uwarunkowane

b)
$f(x) =x^{−1}ln(x)$

$f(x)'= \frac{-ln(x)+1}{x^2}$

$cond(f(x))= |\frac{x*(-ln(x)+1)}{x^2 * x^{-1}ln(x)}| = |\frac{-ln(x)+1}{ln(x)}| =|\frac{1}{ln(x)}-1|$

$\lim_{x \to 1} cond(f(x)) = +\infty$

czyli jest źle uwarunkwane

c)
$f(x) = cos (5x)$
$f(x)' = -5sin(5x)$

$cond(f(x))= |\frac{-5x sin(5x)}{cos(5x)}|=|-5x*tg(5x)|$

$\lim_{x \to \frac {\pi + 2k\pi}{10}} cond(f(x)) = +\infty$

źle uwarunkowane

d)
$f(x) = (\sqrt{x^4+ 2020} +x)^{−1}$

$f(x)' = \frac{2x^3+\sqrt{x^4 + 2020}}{(\sqrt{x^4+2020}+x)^2\sqrt{x^4+2020}}$

$cond(f(x))= |\frac{2x^4+x\sqrt{x^4+2020}}{(\sqrt{x^4+2020} + x)(\sqrt{x^4+2020})}|$

$(\sqrt{x^4+2020} + x)(\sqrt{x^4+2020}) = 0$
$\sqrt{x^4+2020} + x = 0$
$\sqrt{x^4+2020} = -x$ / $^2$
$x^4 -x^2+ 2020 = 0$
$\Delta < 0$
$\forall_{r\in\mathbb{R}}\lim_{x \to r} cond(f(x)) \neq \infty$
dobrze uwarunkowane

## zad 8

$fl(I_0) = (x_1(1 + 0)\times x_2)(1+e_2)\times x_3\times (1 + e_3)\times ...\times x_n(1+e_n)$
$\displaystyle\prod_{i=1}^nx_i\times(1+e_i)$, gdzie $e_1 = 0$ czyli $x_i(1+e_i) = \widehat{x_i}$ czyli otrzymujemy dokładny wynik przy lekko zaburzonych danych.

W przypadku gdy weżmiemy pod uwagę takie liczby, że $rd(x_k) =x_k(1 +\varepsilon_k)$ musimy dołożyć dodatkowy błąd do naszych obliczeń, więc
$fl(I_1)=\displaystyle\prod_{i=1}^nx_i\times(1+e_i)(1 + \varepsilon_i) = \displaystyle\prod_{i=1}^nx_i\times(1+E_i)$ (z tw. o kumulacji błędów, $E_i \lesssim 2\times2^{-t}$), czyli $x_i(1+E_i) = \widehat{x_i}$ czyli otrzymujemy dokładny wynik przy lekko zaburzonych danych.