###### tags: `Analiza Numeryczna (L)`

# Lista 9

## 1
Wytłumacz na przykładzie, dlaczego operacja dodawania punktów po współrzędnych nie jest dobrym pomysłem

z def nie mamy takiej operacji jak dodawanie punktow.
Gdy dodamy pkt po współrzędnych możemy wyjść poza podprzestrzeń punktow
np.
wezmy pkt A(0,1) i B(1,2)
dodajac po wektorach otrzymujemy C(1,3)


## 2

Sprawdź, że wielomiany Bernsteina $B^n_i$ mają następujące własności:
### a)

$B^n_i$ jest nieujemny w przedziale [0,1] i osiąga w nim dokładnie jedno maksimum.

#### $B^n_i$ jest nieujemny w przedziale [0,1]
wiemy, że $B_i^n=\binom ni\times t^i\times(1-t)^{n-i}$
Dla $t\in<0,1>$ $\binom ni\times t^i\times(1-t)^{n-i}$ daje nam iloczyn liczby nieujemnej, nieujemnej oraz nieujemej co daje ywnik nieujemny.

#### osiąga w nim dokładnie jedno maksimum

$(B^n_i)'=n\times(B^{n-1}_{i-1}-B^{n-1}_i)=0$
$B^{n-1}_{i-1}=B^{n-1}_i$

$\binom {n-1}{i-1}\times t^{i-1}\times(1-t)^{n-i}=\binom {n-1}{i}\times t^i\times(1-t)^{n-1-i}$

$\binom {n-1}{i-1}\times(1-t)^{n-i}=\binom {n-1}{i}\times t\times(1-t)^{n-1-i}$

$\binom {n-1}{i-1}\times(1-t)=\binom {n-1}{i}\times t$
$\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}\times(1-t)=\frac{(n-1)!}{i!(n-1-i)!}\times t$

$\frac{1}{n-i}\times(1-t)=\frac{1}{i}\times t$

$\frac{1-t}{n-i}=\frac{t}{i}$

$i-it=tn-it$
$i=tn$
$t=\frac in$

Czyli mamy jedno miejsce zerowe.

### b)

$∑^n_{i=0} B^n_i(t)≡1$,

$\displaystyle\sum^n_{i=0}B^n_i(t)=\displaystyle\sum^n_{i=0}\binom ni\times t^i\times(1-t)^{n-i} = (t+1-t)^n=1^n=1$

### c)
$B^n_i(u) = (1−u)B^{n−1}_i(u) +uB^{n−1}_{i−1}(u)$ (0≤i≤n)

$(1−u)B^{n−1}_i(u) +uB^{n−1}_{i−1}(u)=(1-u)\times\binom {n-1}i\times u^i\times(1-u)^{n-i-1} + u\times\binom {n-1}{i-1}\times u^{i-1}\times(1-u)^{n-i}=$
$=u^i\times(1-u)^{n-i}(\binom {n-1}i + \binom {n-1}{i-1})=u^i\times(1-u)^{n-i}\binom ni=B^n_i(u)$

co należało dowieść.

### d)
$B^n_i(u) =\frac{n+ 1−i}{n+ 1}B^{n+1}_i(u) + \frac{i+ 1}{n+ 1} B^{n+1}_{i+1}(u)$ (0≤i≤n)

$\frac{n+ 1−i}{n+ 1}B^{n+1}_i(u) + \frac{i+ 1}{n+ 1} B^{n+1}_{i+1}(u)= \frac{n+ 1−i}{n+ 1}\binom {n+1}i\times u^i\times(1-u)^{n-i+1} + \frac{i+ 1}{n+ 1} \binom {n+1}{i+1}\times u^{i+1}\times(1-u)^{n-i}=$
$=u^i\times(1-u)^{n-i}(\frac{n+ 1−i}{n+ 1}\binom {n+1}i\times(1-u) + \frac{i+ 1}{n+ 1} \binom {n+1}{i+1}\times u)=$
$=u^i\times(1-u)^{n-i}(\binom {n}i\times(1-u) + \binom {n}{i}\times u)=u^i\times(1-u)^{n-i}\binom {n}i\times(1-u + u)=u^i\times(1-u)^{n-i}\binom {n}i=B^n_i(u)$

co należało dowieść

## 3
Udowodnij, że wielomiany$B^n_0, B^n_1, . . . , B^n_n$ tworzą bazę przestrzeni $Πn$.

wiemy że, $B_i^n=\binom ni\times t^i\times(1-t)^{n-i}$

$B_0^n=\binom n0 t^0(1-t)^{n-0} =\binom n0 1(1-t)^{n}$
$B_1^n=\binom n1 t^1(1-t)^{n-1}$
...
$B_n^n=\binom nn t^n(1-t)^{n-n}$

$\alpha_n B_n^n + ... + \alpha_1 B_1^n +\alpha_0 B_0^n = 0$

$\alpha_0 = 0$, ponieważ tylko w $B_0^n$ występuję 1, którego jak się nie pozbędziemy to suma nie będzie miała możliwości się wyzerować
$\alpha_0 + \alpha_1= 0$ czyli $\alpha_1= 0$, ponieważ jak $\alpha_0 = 0$, to jedyne wystąpienie t w potędze 1 jest w $B_1^n$ oraz w $B_0^n$, które wyzerowaliśmy, czyli, aby ta równość była spełniona, to $\alpha_1$ musi być równe 0. Itd..
...
$\alpha_0 + \alpha_1 +...+\alpha_n =0$

ponieważ nie istnieje inna kombinaja $\alpha_i$ ktora spelnia rownania,wynika że:
$\alpha_0 = \alpha_1 =...=\alpha_n =0$

dlatego, te wielomiany są liniowo niezależne, czyli :
$B^n_0, B^n_1, . . . , B^n_n$ tworzą bazę przestrzeni $Πn$

co należało dowieść