Lista 4 - HackMD

###### tags: `Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka` # Lista 4 ## Zadanie 1 X :::info Dla funkcji $f(x, y) = 0.5 * (x + y)\exp{(−(x + y))}$, gdzie $x > 0$, $y > 0$ ::: ### a) X :::info Sprawdzić, czy zmienne losowe $X$, $Y$ są niezależne. ::: ### b) X :::info Obliczyć momenty $m_{10}$, $m_{01}$ ::: ## Zadanie 2 X :::info Dana jest funkcja $f(x, y) = C \exp {(−\frac12 (x^2 + 2xy + 5y2))}$ dla $(x, y) \in R^2$ ::: ### a) X :::info Wyznaczyć stałą $C$. ::: ### b) X :::info Wyznaczyć rozkłady brzegowe. ::: ## Zadanie 3 X :::info Czy można tak dobrać stałą $C$, aby funkcja $f_{XY} (x, y) = Cxy + x + y$, dla $0 \leq x \leq 3$, $1 \leq y \leq 2$, była gęstością dwuwymiarowej zmiennej losowej? ::: ## Zadanie 4 X :::info Dana jest funkcja $f_{XY} (x, y) = −xy + x$ dla $0 \leq x \leq 2,\space 0 \leq y \leq 1$. Sprawdzić, czy zmienne $X$ i $Y$ są niezależne oraz obliczyć ppb $P (1 \leq X \leq 3, \space0 \leq Y \leq 0.5)$. ::: ## Zadanie 5 X :::info Załóżmy, że $X ∼ U [0, 1]$ i niech $Y = X_n$. Udowodnić, że $f_Y (y) = y^{\frac1n−1}n$ , dla $0 \leq y \leq 1$ ::: ## Zadanie 6 X :::info Niech $X ∼ Poisson(λ)$. Udowodnić, że $V (X) = λ$. ::: ## Zadanie 7 X :::info Niech X będzie ciągłą zmienną losową i niech $Y = F_X (X)$. Udowodnić, że $Y ∼ U [0; 1]$. ::: ## Zadanie 8 X :::info Niech $Y = X^2$ ($X$ określona na $R$). Wykazać, że $f_Y (y) = \frac{f_X (\sqrt y) + f_X (−\sqrt y)}{2\sqrt y}$ , dla $y > 0$. ::: ## Zadanie 9 X :::info Zmienna losowa $(X, Y)$ ma gęstość $f(x, y) = \frac1π$, dla $x^2 + y^2 \leq 1$. Obliczyć wartości $EX$, $EY$ , $E(X * Y)$. Czy zmienne $X$, $Y$ są niezależne? ::: ## Zadanie 10 X :::info Niech $X ∼ U [a; b]$. Obliczyć wartości $E(X)$, $V(X)$. ::: ## Zadanie 11 X :::info Niech $X$ podlega standardowemu rozkładowi Cauchy’ego, $f_X (x) = \frac1{π(1 + x^2)}$, $x ∈ \mathbb{R}$. Udowodnić, że $Y = \frac1X$ ma również standardowy rozkład Cauchy’ego. :::