---
# System prepended metadata

title: Zadanie Obliczeniowe 2
tags: [Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka]

---

###### tags: `Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka`

# Zadanie Obliczeniowe 2

:::info
$X$~$\chi^2(n),\space Y~\chi^2(k),\space X,\space Y$-niezależne
Znaleźć gęstość zmiennej losowej
$F=\frac XY * \frac kn$.
:::
Wiemy, że rozkład zmiennej $X$ wynosi:
$f_X(x)=\frac{(\frac12)^{\frac k2}}{\Gamma(\frac k2)}x^{\frac k2-1}e^{-\frac x2}$, gdzie $k$ jest stopniem swobody
Analogicznie rozkład zmiennej $Y$:
$f_Y(y)=\frac{(\frac12)^{\frac n2}}{\Gamma(\frac n2)}y^{\frac n2-1}e^{-\frac y2}$, gdzie $n$ jest stopniem swobody

Zmienne $X,\space Y$ są niezależne więc gęstość dwuwymarowej zmiennej $X,\space Y$ wynosi:
$f_{X\space Y}(x,y)=\frac{(\frac12)^{\frac k2}}{\Gamma(\frac k2)}x^{\frac n2-1}e^{-\frac k2} * \frac{(\frac12)^{\frac n2}}{\Gamma(\frac n2)}y^{\frac k2-1}e^{-\frac y2}=\frac{(\frac12)^{\frac {k+n}2}}{\Gamma(\frac k2)\Gamma(\frac n2)}x^{\frac n2-1}y^{\frac k2-1}e^{-\frac {x+y}2}$

Weźmy takie $U$, że $U=\frac XY$ oraz $V$ takie, że $V=Y$
Wtedy $X=U*V$
Czyli:
$X=U*V$
$Y=V$

$|J|=|\begin{bmatrix}
       \frac{\partial\space uv}{\partial\space u}    & \frac{\partial\space uv}{\partial\space v} \\[0.3em]
       \frac{\partial\space v}{\partial\space u}           & \frac{\partial\space v}{\partial\space v}
     \end{bmatrix}|=|\begin{bmatrix}
      v    & u \\[0.3em]
       0           & 1
     \end{bmatrix}|=|v*1-u*0|=v$
     
$f_{U,\space V}(u,v)=\frac{(\frac12)^{\frac {k+n}2}}{\Gamma(\frac k2)\Gamma(\frac n2)}(uv)^{\frac n2-1}v^{\frac k2-1}e^{-\frac {uv+v}2} * v=\frac{(\frac12)^{\frac {k+n}2}}{\Gamma(\frac k2)\Gamma(\frac n2)}u^{\frac n2-1}v^{\frac k2+\frac n2-1}e^{-\frac {uv+v}2}$

Interesuje nas rozkład zmiennej $\frac{X}{Y} * \frac kn$, czyli zmiennej $U$, dlatego:

Na podstawie wykładu
$f_F(x)=f_U(\frac nkx)*\frac{\partial \frac{n}{k}x}{\partial x}=\frac nkf_U(\frac {nx}k)=*$

Aby policzyć $f_U(u)$ wykorzystam gęstość dwuwymariowej zmiennej $f_{U,\space V}(u,v)$, którą policzyłem wyżej.

$f_U(u)=\frac{(\frac12)^{\frac {k+n}2}}{\Gamma(\frac k2)\Gamma(\frac n2)}u^{\frac n2-1}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}v^{\frac k2+\frac n2-1}e^{-\frac {uv+u}2}\space dv=\\=\frac{(\frac12)^{\frac {k+n}2}}{\Gamma(\frac k2)\Gamma(\frac n2)}u^{\frac n2-1}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}v^{\frac{k+n}{2}-1}e^{-v*\frac{(u+1)}{2}}\space dv=\\=\frac{(\frac12)^{\frac {k+n}2}}{\Gamma(\frac k2)\Gamma(\frac n2)}u^{\frac n2-1}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}v^{\frac{k+n}{2}-1}e^{-v*\frac{(u+1)}{2}}\space dv=\\=\frac{(\frac12)^{\frac {k+n}2}}{\Gamma(\frac k2)\Gamma(\frac n2)}u^{\frac n2-1}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}v^{\frac{k+n}{2}-1}e^{-v*\frac{(u+1)}{2}} * \frac{(\frac{(u+1)}2)^{\frac{k+n}{2}}}{(\frac{(u+1)}2)^{\frac{k+n}{2}}}\space dv=\\=\frac{(\frac12)^{\frac {k+n}2}}{\Gamma(\frac k2)\Gamma(\frac n2)}u^{\frac n2-1}*\frac{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}(v*\frac{(u+1)}2)^{\frac{k+n}{2}-1}e^{-v*\frac{(u+1)}{2}}\space dv}{(\frac{(u+1)}2)^{\frac{k+n}{2}}}=\\=\frac{u^{\frac n2-1}}{\Gamma(\frac k2)\Gamma(\frac n2)}*\frac{\Gamma(\frac{k+n}{2})}{(u+1)^{\frac{k+n}{2}}}=\frac{\Gamma(\frac{k+n}{2})}{\Gamma(\frac k2)\Gamma(\frac n2)}*\frac{u^{\frac n2-1}}{(u+1)^{\frac{k+n}{2}}}=\frac{u^{\frac n2-1}}{B(\frac n2, \frac k2)*(u+1)^{\frac{k+n}{2}}}=\\=\frac{\frac {u^{\frac n2}}{(u+1)^{\frac{k+n}{2}}}*\frac1u}{B(\frac n2, \frac k2)}=\frac{\sqrt{\frac{u^n}{(u+1)^{n+k}}}}{uB(\frac n2, \frac k2)}$

$*=\frac nkf_U(\frac {nx}k)=\frac nk*\frac{\sqrt{\frac{(\frac {nx}k)^n}{((\frac {nx}k)+1)^{n+k}}}}{(\frac {nx}k)B(\frac n2, \frac k2)}=\frac{\sqrt{\frac{(\frac {nx}k)^n}{((\frac {nx}k)+1)^{n+k}}*\frac{k^{n+k}}{k^{n+k}}}}{xB(\frac n2, \frac k2)}=\frac{\sqrt \frac{(nx)^n * k^k}{(nx+k)^{n+k}}}{xB(\frac n2, \frac k2)}=f_F$, gdzie $F$ jest rozkładem $Fishera-Snedecora$ ze stopnaimi swobody równymi $n$ i $k$.


<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>