---
# System prepended metadata

title: Lista 12
tags: [Analiza Numeryczna (L)]

---

###### tags: `Analiza Numeryczna (L)`
# Lista 12

## 1

$\displaystyle\int_a^bg(x)dx=\begin{cases}
    y=-2+4\frac{x-a}{b-a}\\
    dy=\frac{4}{b-a}dx
  \end{cases}=\begin{cases}
    x=\frac{y+2}{4}(b-a)+a\\
    dx=\frac{1}{4}(b-a)dy
  \end{cases}=$
$=\displaystyle\int_{-2}^2g(\frac{y+2}{4}(b-a)+a)\times\frac{1}{4}(b-a)dy$

## 2

### **=>**
załóżmy że kwadratura ma rząd $\geq$ n+1

wtedy dla każdego $w_n \in\Pi_n \quad Q_n(w_n) = \displaystyle\int w_n(x)dx = I(f)$ 

więc zachodzi to też dla $w_n =\lambda_i(x_j)$ 

niech $w_n =\lambda_i(x_j)$ 
$\lambda_i= 0$ dla $i \neq j$ 
$\lambda_i= 1$ dla $i = j$

$\displaystyle\int \lambda_i(x) dx = Q_n(\lambda_i(x)) = \sum^n_{k=0} A_k \lambda_i(x_k) = A_i\lambda_i(x_i)=A_i$

Wtedy $Q_n(f) = \displaystyle\sum^n_{K=0} A_k f(x_k)=\displaystyle\sum^n_{k=0} \displaystyle\int \lambda_k(x) f(x_k) dx$ 

czyli kwadratura jest interpolacyjna


### **<=**

załóżmy że jest kwadraturą interpolacyjną

wtedy $Q_n(f) = Q_n(L(f)) = I(f) = \displaystyle\int f(x) dx$
jeżeli $f \in\Pi_n$ to $L(f)=f$
$Q(f)= Q(L(f)) = \displaystyle\sum^n_{k=0} f(x_k) * \displaystyle\int \lambda_k(x)dx =\displaystyle\int\sum^n_{k=0} f(x_k) *  \lambda_k(x)dx = I(L(f)) = I(f)$
czyli rząd jest $\geq n+1$


## 3
Weźmy wielomian postaci $w(x) = \displaystyle\prod_{i=0}^n(x-x_i)^2$, $\forall_{i=0,1,...,n}$ $w(x_i)=0$. Wtedy $Q_n(w) = \displaystyle\sum_{k=0}^n A_kw(x_k)=0$ Całka z w(x) jednak jest dodatnia (w(x) zawsze przyjmuje wartości nieujemne, a w punktach różnych od $x_i$ te wartości są dodatnie), co oznacza, że $\displaystyle\int_a^bw(x) > 0$ dla dowolnie dobranych punktów $a,b$ oraz $x_0, x_1, ... , x_n$ Czyli $0 = Q_n(w) \neq \displaystyle\int_a^bw(x) > 0$, czyli taki wielomian nie może mieć rzędu 2n + 2 i wyższego co należało pokazać.

## 5
![](https://i.imgur.com/uUw8SCo.png)

Skoro węzły są równoodległe można przyjąć, że $x_k=a+h\times k$ oraz $x=a+t\times h$ ($t\in\mathbb{R}$)

$L_n(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^ny_i\displaystyle\prod_{j=0 \\ j\neq i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}=\displaystyle\sum_{i=0}^ny_i\displaystyle\prod_{j=0 \\ j\neq i}^n\frac{x-(a+h\times j)}{a+h\times i-(a+h\times j)}=$
$=\displaystyle\sum_{i=0}^ny_i\displaystyle\prod_{j=0 \\ j\neq i}^n\frac{x-a-h\times j}{a+h\times i-a-h\times j)}=\displaystyle\sum_{i=0}^ny_i\displaystyle\prod_{j=0 \\ j\neq i}^n\frac{x-a-h\times j}{h(i-j)}=$
$=\displaystyle\sum_{i=0}^ny_i\displaystyle\prod_{j=0 \\ j\neq i}^n\frac{a+t\times h-a-h\times j}{h(i-j)}=\displaystyle\sum_{i=0}^ny_i\displaystyle\prod_{j=0 \\ j\neq i}^n\frac{h(t-j)}{h(i-j)}=\displaystyle\sum_{i=0}^ny_i\displaystyle\prod_{j=0 \\ j\neq i}^n\frac{t-j}{i-j}$






## 6 

$A_k = h* \frac{(-1)^{n-k}}{k!(n-k)!} \displaystyle\int^n_0 \prod^n_{j=0 \\ j\neq k}(t-j)dt=$
$t = n-s$
$dt = -ds$

$= h* \frac{(-1)^{n-k}}{k!(n-k)!} \displaystyle\int^n_0 \prod^n_{j=0 \\ j\neq k}(n-s-j)ds=$

$= h* \frac{(-1)^{2n-k}}{k!(n-k)!} \displaystyle\int^n_0 \prod^n_{j=0 \\ j\neq k}(s-(n-j))ds=$

$= h* \frac{(-1)^{2n-k}}{k!(n-k)!} \displaystyle\int^n_0 \prod^n_{l=0 \\ l\neq n-k}(s-l )ds$

$A_{n-k}= h* \frac{(-1)^{k}}{k!(n-k)!} \displaystyle\int^n_0 \prod^n_{j=0 \\ j \neq n-k}(t-j)dt$

$\frac{(-1)^{2n-k}}{(-1)^k} =(-1)^{2n-2k}=1$

$A_{n-k} =A_k$


## 7

$A_k = h\displaystyle\int_0^n\displaystyle\prod_{i=0 \\ i \neq k}^n\frac{t-i}{k-i}$ dla $t=\frac{x-a}{h}$, $h=\frac{b-a}{n}$

$\frac{A_k}{b-a}=\frac{h}{b-a}\displaystyle\int_0^n\displaystyle\prod_{i=0 \\ i \neq k}^n\frac{t-i}{k-i}=\frac{h}{b-a}\displaystyle\int_0^n\displaystyle\prod_{i=0 \\ i \neq k}^n\frac{t-i}{k-i}=\frac1n\displaystyle\int_0^n\displaystyle\prod_{i=0 \\ i \neq k}^n\frac{t-i}{k-i}\space dt$

skoro $n\in\mathbb{N}$ to $\frac1n \in \mathbb{Q}$

$\displaystyle\int_0^n\displaystyle\prod_{i=0 \\ i \neq j}^n\frac{t-i}{k-i}\space dt=$
$=\displaystyle\int_0^n\frac{t(t-1)(t-2)...(t-k+1)(t-k-1)...(t-n+1)(t-n)}{k(k-1)(k-2)...(k-n+1)(k-n)}\space dt$ 

Mianownik można wyłączyć przed całkę  lecz jest on iloczynem liczb całkowitych co daje nam liczbę całkowitą, a jak zaraz pokażę, jeżeli licznik jest wymierny to wiemy, że liczba wymierna podzielona przez liczbę całkowitą daje liczbę wymierną. Na moment obliczeń więc pominę mianownik.

$\displaystyle\int_0^n\displaystyle\prod_{i=0 \\ i \neq j}^n\frac{t-i}{k-i}\space dt=$
$=\displaystyle\int_0^nt(t-1)(t-2)...(t-k+1)(t-k-1)...(t-n+1)(t-n)\space dt=$
$=\displaystyle\int_0^n a_nt^n + a_{n-1}t^{n-1}+...+a_1t+a_0 \space dt=$
$a_n\frac{n^{n+1}}{n+1}+a_{n-1}\frac{n^n}{n}+...+a_1\frac{n^2}{2}+a_0n$
Współczynniki są wynikiem operacji mnożenia i dodawania liczb całkowitych co oznacza, że są wymierne. Potęgi liczb naturalnych podzielone przez liczby naturalne również daje liczby całkowite. Mnożenie i dodawanie liczb wymiernych daje liczbę wymierną, więc $\displaystyle\int_0^n\displaystyle\prod_{i=0 \\ i \neq j}^n\frac{t-i}{k-i}$ jest wymierna. Co kończy dowód.


<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>