###### tags: `Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka`

# Lista 2

## Zadanie 1
:::info
Niech $\sum$ będzie $\sigma$-ciałem zbiorów.
:::
### a)
:::info
Sprawdzić, że $\emptyset\in\Sigma$
:::

Wiemy z definicji ciała zbiorów, że $\Omega\in\Sigma$ oraz $A\in\Sigma\implies A^C= (\Omega\text{\\}A)\in\Sigma$

Czyli dla $A=\Omega$
$A^C=\Omega^C=\Omega\text{\\}\Omega=\emptyset\in\Sigma$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare$

### b)
:::info
Załóżmy, że $A_k\in\sum$, dla $k=1,2,3,...$. Wykazać, że $\displaystyle\bigcap_{k\in\mathbb{N}}$ $A_k\in\sum$
:::

Wiemy z definicji ciała zbiorów, że $A_i\in\Sigma,(i=1,2,...)\implies\displaystyle\bigcup^{\infty}_{i=1}A_i\in\Sigma$ oraz $\Omega\in\Sigma$ oraz $A\in\Sigma\implies A^C= (\Omega\text{\\}A)\in\Sigma$

Czyli

$A_i\in\Sigma,(i=1,2,...)\implies A_i^C\in\Sigma\implies\\\implies\displaystyle\bigcup^{\infty}_{i=1}A_i^C\in\Sigma\stackrel{De\space Morgan's \space law}{\implies}(\displaystyle\bigcap^{\infty}_{i=1}A_i)^C\in\Sigma\implies\displaystyle\bigcap^{\infty}_{i=1}A_i\in\Sigma$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare$
## Zadanie 2
:::info
Niech $\Omega=\{a,b,c\}$
:::
### a)

:::info
Opisać $\sigma$-ciała zbiorów tej przestrzeni zdarzeń.
:::
Niech $\mathcal{F}$ będzie $\sigma$-ciałem zbiorów tej przestrzeni zdarzeń. Musimy spełnić 3 warunki $\sigma$-ciała:
* $\Omega\in\mathcal{F}$
* $\Omega\in\mathcal{F}$ oraz $A\in\mathcal{F}\implies A^C= (\Omega\text{\\}A)\in\mathcal{F}$
* $A_i\in\mathcal{F},(i=1,2,...)\implies\displaystyle\bigcup^{\infty}_{i=1}A_i\in\mathcal{F}$

Istnieje pięć $\sigma$-ciał, które spełniają powyższe warunki:

$\mathcal{F_1}=\{\emptyset, \Omega\}$

$\mathcal{F_2}=\{\emptyset, \{a\},\{b,c\}, \Omega\}$

$\mathcal{F_3}=\{\emptyset, \{b\},\{a,c\}, \Omega\}$

$\mathcal{F_4}=\{\emptyset, \{c\},\{a,b\}, \Omega\}$

$\mathcal{F_5}=\{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}, \Omega\}$

### b)

:::info
Podać przykład funkcji X, Y takich, że X jest zmienną losową, a Y nie jest zmienną losową
:::

Weźmy $\sigma$-ciało $\mathcal{F}=\{\emptyset, \Omega\}$

Weźmy funkcję $X: \Omega\implies\mathbb{R}$ taka, że $\forall_{x\in\Omega} \space X(x)=1$ Dla sprawdzenia sprawdźmy przeciwobraz $X^{-1}(1)=\Omega\in\mathcal{F}$. Jest to więc zmienna losowa.

Weźmy funkcję $Y: \Omega\implies\mathbb{R}$ taka, że $\forall_{x\in\{a,b\}} \space Y(x)=1,\space Y(c)=0$ Wtedy przeciwobraz $Y^{-1}(1)=\{a,b\}\notin\mathcal{F}$. Czyli ta funkcja nie jest zmienną losową.

## Zadanie 3
:::info
Niech $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ oraz $S = \{1, 4\}$. Wyznaczyć najmniejsze $\sigma$-ciało zbiorów zawierające $S$.
:::

Niech $\mathcal{F}$ będzie $\sigma$-ciałem zbiorów tej przestrzeni zdarzeń zawierające $S$. Musimy spełnić 4 warunki:
* $\Omega\in\mathcal{F}$
* $\Omega\in\mathcal{F}$ oraz $A\in\mathcal{F}\implies A^C= (\Omega\text{\\}A)\in\mathcal{F}$
* $A_i\in\mathcal{F},(i=1,2,...)\implies\displaystyle\bigcup^{\infty}_{i=1}A_i\in\mathcal{F}$
* $S\in\mathcal{F}$

Takie $\sigma$-ciało $\mathcal{F}$ musi więc zawierać dwa zbiory: $\Omega, S=\{1,4\}$. Aby spełnic warunek drugi musimy dodać do tego zbioru każde dopełnienie zbiorów, które już się tam znajdują, czyli $\Omega^C=\emptyset,\space S^C=\{2,3,5\}$. Czyli $\sigma$-ciało $\mathcal{F}$ musi zawierać $\Omega, \{1,4\}, \emptyset,\{2,3,5\}$ . Zauważmy, że warunek trzeci jest już spełniony, dla dowolnych zbiorów wybranych z $\Omega, \{1,4\}, \emptyset,\{2,3,5\}$ ich suma znajduje się wśród tych zbiorów również. Czyli najmniejsze takie $\sigma$-ciało $\mathcal{F}=\{\Omega, \{1,4\}, \emptyset,\{2,3,5\}\}$

## Zadanie 4
:::info
Wyznaczyć dystrybuantę i obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej $X$ o rozkładzie
$x_i\quad\space 2\quad\space\space\space 3\quad\space\space\space 4\quad\space\space\space 5$
$p_i\quad 0.2\quad 0.4\quad 0.1\quad 0.3$
:::

Dystrybuanta

| $x$ | $(-\infty;2>$ | $(2;3>$ | $(3;4>$ | $(4;5>$ | $(5;+\infty)$ |
| ------ | ------------- | ------- | ------- | ------- | ------------- |
| $F(x)$ | $0$ | $0.2$ | $0.6$ | $0.7$ | $1$ |

Wartość oczekiwana $EX=E(X) =\displaystyle\Sigma x_ip_i=2*0.2 + 3*0.4+4*0.1+5*0.3=0.4+1.2+0.4+1.5=3.5$

## Zadanie 5

:::info
Dystrybuanta $F$ zmiennej losowej $X$ określona jest następująco:

| $x$ | $(-\infty,-2>$ | $(−2; 3>$ | $(3; 5>$ | $(5; +\infty)$ |
| ------ | -------------- | --------- | -------- | -------------- |
| $F(x)$ | $0$ | $0.2$ | $0.7$ | $1$ |

Podać postać funkcji gęstości $f(x)$

:::

| $x$ | $-2$ | $3$ | $5$ |
| ------ | -------------- | --------- | -------- |
| $p_i$ | $0.2$ | $0.5$ | $0.3$ |

## Zadanie 6

:::info
Niech $X$ będzie zmienną losową typu dyskretnego. Udowodnić, że $E(aX + b) = aE(X) + b$.
:::

$E(aX + b)=\Sigma (ax_i+b)p_i=\Sigma ax_ip_i+\Sigma bp_i=a\Sigma x_ip_i+b\Sigma p_i=\\=aE(X)+b*1=aE(X)+b$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare$
## Zadanie 7

:::info
Niech $X$ będzie zmienną losową typu ciągłęgo, udowodnić, że $\mathbb{E}(aX+b)=a\mathbb{E}(X)+b$
:::

$\mathbb{E}(aX+b)=\displaystyle\int_\mathbb{R}(ax+b)f(x)dx=\displaystyle\int_\mathbb{R}ax*f(x)+b*f(x)dx=\\=a\displaystyle\int_\mathbb{R}x*f(x)+\displaystyle\int_\mathbb{R}b*f(x)dx=a\mathbb{E}(X)+b\displaystyle\int_\mathbb{R}f(x)dx=a\mathbb{E}(X)+b*1=a\mathbb{E}(X)+b$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare$
## Zadanie 8

:::info
$B(p,q)=\displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt,\quad$ $p>0, q>0$
$\Gamma(p)=\displaystyle\int_0^\infty t^{p-1}e^{-t}dt,\quad p>0$
Udowodnić, że $\Gamma(p)\Gamma(q)=\Gamma(p+q)B(p,q)$, gdzie $p,q\in\mathbb{R}^+$ (czyli wszystkie potrzebne całki istnieją).
:::

$\Gamma(p)\Gamma(q)=\displaystyle\int_0^\infty t^{p-1}e^{-t}dt*\displaystyle\int_0^\infty t^{q-1}e^{-t}dt=\displaystyle\int_0^\infty t^{p-1}e^{-t}dt*\displaystyle\int_0^\infty s^{q-1}e^{-s}ds=\\=\displaystyle\int_0^\infty \displaystyle\int_0^\infty t^{p-1}e^{-t}* s^{q-1}e^{-s}dt\space ds=\displaystyle\int_0^\infty \displaystyle\int_0^\infty t^{p-1}e^{-t-s}* s^{q-1}dt\space ds$

podstawienie:
$t=x*y$
$s=(1-x)*y$
\begin{bmatrix}
\frac{d(x*y)}{dx} & \frac{d(x*y}{dy} \\[0.3em]
\frac{d(1-x)*y}{dx} & \frac{d(1-x)*y}{dy}
\end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix}
y & x \\[0.3em]
-y & 1-x
\end{bmatrix}
$=y(1-x)-(-y)*x=y$
$dtds=ydxdy$

$\displaystyle\int_0^\infty \displaystyle\int_0^\infty t^{p-1}e^{-t-s}* s^{q-1}ds\space dt=\displaystyle\int_0^\infty \displaystyle\int_0^1 (x*y)^{p-1}e^{-y}* ((1-x)*y)^{q-1}ydx\space dy=\\=\displaystyle\int_0^\infty \displaystyle\int_0^1x^{p-1}y^{p-1}e^{-y}(1-x)^{q-1}y^qdxdy=\displaystyle\int_0^\infty \displaystyle\int_0^1x^{p-1}y^{p+q-1}e^{-y}(1-x)^{q-1}dxdy=\\=\displaystyle\int_0^\infty y^{p+q-1}e^{-y} dy\displaystyle\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx=\Gamma(p+q)B(p,q)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare$
## Zadanie 9
:::info
$B(p,q)=\displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt,\quad$ $p>0, q>0$
Sprawdzić, że
:::
### a)
:::info
$B(p,q+1)=B(p,q)\frac{q}{p+q}$
:::

$\text{*}$ $t^p=t^{p-1}-t^{p-1}(1-t)$

$B(p,q+1)=\displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^qdt=\displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^qdt=\displaystyle\int_0^1(\frac{t^p}{p})'(1-t)^qdt=\\=\frac{t^p}{p}(1-t)^q\Big|_0^1-\displaystyle\int_0^1(\frac{t^p}{p})*q*(1-t)^{q-1}*(-1)dt=\frac{t^p}{p}(1-t)^q\Big|_0^1+\displaystyle\int_0^1(\frac{t^p}{p})*q*(1-t)^{q-1}dt=\\=0-0+\displaystyle\int_0^1(\frac{t^p}{p})*q*(1-t)^{q-1}dt=\displaystyle\int_0^1(\frac{t^p}{p})*q*(1-t)^{q-1}dt=\\=\frac{q}{p}\displaystyle\int_0^1t^p(1-t)^{q-1}dt=*=\frac{q}{p}\displaystyle\int_0^1(t^{p-1}-t^{p-1}(1-t))(1-t)^{q-1}dt=\\=\frac{q}{p}\displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}-t^{p-1}(1-t)(1-t)^{q-1}dt=\frac{q}{p}\displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}-t^{p-1}(1-t)^qdt=\\=\frac{q}{p}(\displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}-\displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^qdt)=\frac{q}{p}(B(p,q)-B(p,q+1))$

$B(p,q+1)=\frac{q}{p}(B(p,q)-B(p,q+1))$ / $*\frac{p}{q}$
$\frac{p*B(p,q+1)}{q}=B(p,q)-B(p,q+1)$ / $+B(p,q+1)$
$\frac{p*B(p,q+1)+q*B(p,q+1)}{q}=B(p,q)$
$\frac{B(p,q+1)(p+q)}{q}=B(p,q)$ / $*\frac{q}{p+q}$
$B(p,q+1)=B(p,q)\frac{q}{p+q}$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare$

### b)
:::info
$B(p,q)=B(p,q+1)+B(p+1,q)$
:::
$\text{*}$ $t^p=t^{p-1}-t^{p-1}(1-t)$

$B(p,q+1)+B(p+1,q)=\displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^qdt+\displaystyle\int_0^1t^p(1-t)^{q-1}dt=\\=\displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^q+t^p(1-t)^{q-1}dt=\displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q}+(t^{p-1}-t^{p-1}(1-t))(1-t)^{q-1}dt=\\=\displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q}+t^{p-1}(1-t)^{q-1}-t^{p-1}(1-t)^qdt=\\=\displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt=B(p,q)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare$

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>