---
# System prepended metadata

title: Lista 2
tags: [Analiza Numeryczna (L)]

---

###### tags: `Analiza Numeryczna (L)`
# Lista 2

## 1
**Ustalmy liczbęB∈{2,3,4,...}.  Pokaż, że każda niezerowa liczba rzeczywistaxma jednoznaczne przedstawienie w postaci $x=smB^c$, gdzies=sgnx,c∈Z,m∈[$\frac{1}{B}$,1).**

Dowód:
Musimy pokazać 2 rzeczy: że każdą każdą niezerową liczbę rzeczywistą można zapisać w tym systemie oraz że nie istnieje inna postać $x=smB^c$, które obliczają się do tej samej liczby.

**1$^\circ$** T: Każdą niezerową liczbę rzeczywistą można zapisa w postaci $x=smB^c$.
Weźmy dowolną liczbę i zapiszmy ją w systemie $_B$. Wtedy aby zapisać tę liczbę przesuwamy tę liczbę o tyle miejsc, aby liczba była postaci $0,B_0B_1B_2...$ Gdzie $B_0 \neq 0$. Można tak zrobić, ponieważ $x \neq 0$. Wtedy ilość przesunięć w prawo, to jest nasza cecha c (przesunięcia w prawo uznajemy za ujemne). Mając taką postać zamieniamy naszą liczbę $0,B_0B_1B_2...$ z powrotem na system $_{10}$. Takim sposobem uzyskaliśmy postać $x=smB^c$.

**2$^\circ$** T: Nie istnieją dwie różne postaci $x=smB^c$, które obliczają się do tej samej liczby.
Dowód przeprowadzę nie wprost.
Załóżmy, że istnieje liczba p, która jest zapisana w dwóch różnych postaciach.
Czyli $p = sm_1B^{c_1}$ oraz $p = sm_2B^{c_2}$, $m_1$ i $c_1 \neq m_2$ i $c_2$
$sm_2B^{c_2} = sm_1B^{c_1} \Leftrightarrow m_2B^{c_2} = m_1B^{c_1}$

$m_2B^{c_2} = m_1B^{c_1}$ / $:(B^{c_2} \times m_1)$

$\frac{m_2}{m_1} = B^{c_1-c_2}$

Rozpatrzmy 3 przypadki:

**1$^{\circ\circ}$** $c_1-c_2 = 0$
Wtedy $\frac{m_2}{m_1} = 1 \Leftrightarrow m_2 = m_1$ sprz. bo cechy i mantysy nie mogą być jednakowe.

**2$^{\circ\circ}$** $c_1-c_2 < 0$
$c_1-c_2 < 0 \implies c_1-c_2 \leq -1$
Wtedy $\frac{m_2}{m_1} = B^{c_1-c_2}$ wtedy $m_2 = B^{c_1-c_2} \times m_1$
Wtedy $m_2 \leq  B^{-1} \times m_1$ wtedy $m_2 \leq  \frac{m_1}{B}$ Wtedy 
$m_2 \leq  \frac{m_1}{B} < \frac{1}{B}$ Czyli $m_2 < \frac{m_1}{B}$ sprz.


**3$^{\circ\circ}$** $c_1-c_2 > 0$
$c_1-c_2 > 0 \implies c_1-c_2 \geq 1$
Wtedy $\frac{m_2}{m_1} = B^{c_1-c_2}$ wtedy $m_2 = B^{c_1-c_2} \times m_1$
Wtedy $m_2 \geq  B^{1} \times m_1$ wtedy $m_2 \geq  m_1\times B$ Wtedy 
$m_2 \geq  m_1\times B \geq 1$ Czyli $m_2 \geq 1$ sprz.

$\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\blacksquare$

## 2
**Znajdź wszystkie liczby zmiennopozycyjne, które można przedstawić w postaci
x=±(0.1e−2e−3e−4)2·2±c,   e−2,e−3,e−4,c∈{0,1},
gdzie (...)_{2} oznacza zapis dwójkowy.  
Jaki jest najmniejszy przedział[A,B], zawierającyte liczby?
Jak liczby (1) rozkładają się w[A,B](wykonaj odpowiedni rysunek)?  Co z tego wynika?**

każdą z tych 8 liczb można przemnożyć przez $2^0$ lub $2^1$ lub $2^{-1}$ oraz przez znak, co daje nam 48 różnych liczb.

0,1111
0,1110
0,1101
0,1100
0,1011
0,1010
0,1001
0,1000

Najmniejsza liczba: $- 0,1111 \times 2^1$
Największa liczba: $0,1111 \times 2^1$
Czyli najmneisjzy przedział zawierający te liczby to $<- 0,1111 \times 2^1$, $0,1111 \times 2^1>$ Czyli $<-\frac{15}{8}, \frac{15}{8}>$
![](https://i.imgur.com/08mEbEr.png)
najmniejsza liczba dodatnia to 1/4
 tyle samo kropek pomiedzy przedziałami 
 wynika im bliżej 0 tym możemy dokładniej okreslic liczbe
## 3
**Zaokrągleniem niezerowej  liczby  rzeczywistej $x=sm2^c$,  gdzie s=sgnx,c jest liczbą całkowitą, a $m∈[\frac{1}{2},1)$, jest liczba zmiennopozycyjna $rd(x) =sm_r^t2^c$, gdzie $m_r^t∈[\frac{1}{2},1)$ oraz $|m−m_r^t|≤\frac{1}{2}2^{−t}$.  Wykaż, że $\frac{|rd(x)−x|}{|x|} ≤ 2^{−t}$**

$\frac{|rd(x)−x|}{|x|} = \frac{|sm_r^t2^c − sm2^c|}{|sm2^c|} = \frac{|m_r^t − m|}{|m|} \leq \frac{\frac{2^{-t}}{2}}{|m|} = \frac{2^{-t}}{2|m|} \leq \frac{2^{-t}}{2\frac{1}{2}} = 2^{-t}$
Czyli 
$\frac{|rd(x)−x|}{|x|} \leq 2^{-t}$
$\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\blacksquare$

## 4
Podczas Wojny w Zatoce Perskiej iracka rakieta trafiła w amerykańskie baraki w Dhahran.

a to przez błąd komputera ktory źle obliczył czas uderzenia pocisku. Zegar, który liczy czas w dziesiętnych sekundy musiał czas pomnożyć przez $\frac{1}{10}$, co dało osiągnięcie nieskończonego rozwinięcia binarnego. Błąd, który początkowo był mały, pomnożony przez 100 godzin(czas, który pocisk leciał) osiągnał czas 0,34 sekundy, co przy dużej prędkości pocisku pozwoliło mu na pokonanie pół kilometra, co koniec końców skończyło się katastrofą.

## 5
![](https://i.imgur.com/aZ31EKk.png)
![](https://i.imgur.com/qRcIoyr.png)
![](https://i.imgur.com/AMaNcYX.png)


znak, wykładnik + BIAS, część ułamkowa mantysy 

$(-1)^s\times(frac+1)\times 2^{exp-BIAS}$
FLOAT - BIAS = 127
DOUBLE - BIAS = 1023

+0 – wszystkie bity są zerami
−0 – bit znaku jest ustawiony, reszta jest zerami
liczby małe - liczby zdenormalizowane, które mają exp = 0, oraz ich mantysa zaczyna się domyślnie od 0, zamiast od 1  (-0,+0, 0 są liczbami małymi). One mają mantysę zaczynającą się od 0! 
$\pm \infty$ – specjalna liczba oznaczona jako exp- same 1, frac- same 0. Np. $\frac{1.0}{0.0}$
NaN - specjalna liczba oznaczona jako exp- same 1, frac $\neq$ same 0. Np. $\sqrt{-1}$


## 6
**Załóżmy,  że x,y są  liczbami  maszynowymi.   Podaj  przykład  pokazujący,  że przy obliczaniu wartośc id:=$\sqrt{x^2 + y^2}$ algorytmem postaci...
może wystąpić zjawisko nadmiaru, mimo tego, że szukana wielkość d należy do zbioru Xfl.**

x = y = $\frac{MAXDOUBLE}{2}$
$x^2$ > MAXDOUBLE

Wtedy $\sqrt{x^2 + y^2}$ = $\frac{MAXDOUBLE}{\sqrt{2}}$ < MAXDOUBLE

ALGORYTM:
Jeżeli y > x: swap(x,y)
    
$|x|\sqrt{1 + (\frac{y}{x})^2}$

ALGORYTM wyznaczania dlugosci euklidesowej:

$||x_n||=\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ...+x_n^2}$


swap($x_1$, MAX($x_1, x_2, ..., x_n$))
   
$|x_1|\sqrt{1 + (\frac{x_2}{x_1})^2 + (\frac{x_3}{x_1})^2 + ... + (\frac{x_n}{x_1})^2}$



## 7
**Dla jakich wartości x obliczanie wartości wyrażeń 
a) $x^3−\sqrt{x^6+ 2020}$,
b) $x^{−4}(cosx−1 +\frac{x^2}{2})$,
c) $log_5x−6$
może wiązać się z utratą cyfr znaczących wyniku?  
Zaproponuj sposoby obliczenia wy-niku dokładniejszego.  
Pokaż, że sposoby te działają w praktyce.**

a) 
$x^3−\sqrt{x^6+ 2020} = \frac{(x^3−\sqrt{x^6+ 2020})(x^3+\sqrt{x^6+ 2020})}{x^3+\sqrt{x^6+ 2020}}= \frac{x^6-x^6-2020}{{x^3+\sqrt{x^6+ 2020}}} = \frac {-2020}{{x^3+\sqrt{x^6+ 2020}}}$

$\sqrt{x^6+ 2020}$ dla duzych x to jest bliskie $x^3$ wiec otrzymujemy 0



b)
$x^{−4}(cosx−1 +\frac{x^2}{2}) = x^{−4}((1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \frac{x^8}{40320} - ...)−1 +\frac{x^2}{2}) = x^{−4}(\frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \frac{x^8}{40320} - ...) \approx x^{−4}(\frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \frac{x^8}{40320})$

dla małego x to co w nawiasie sie zeruje 


c)
$log_5(x)−6 = log_5(x) - log_5(5^6) = log_5(\frac{x}{5^6})$

jak log jest blisko 6 to sie zeruje 
## 8
**Niech będzie $f(x) = 4040\frac{\sqrt{x^{11}+ 1}−1}{x^{11}}$.  Jak już wiadomo z zadania L1.1, obliczanie przy pomocy komputera (tryb podwójnej precyzji) wartości f(0.001) daje niewiarygodny wynik. Wytłumacz dlaczego tak się dzieje i zaproponuj sposób obliczenia  wyniku dokładniejszego. Przeprowadź odpowiednie eksperymenty numeryczne.**

Dzieje się tak, gdyż dla małych x wartość $\sqrt{x^{11}+ 1}$ komputer policzy jako $\sqrt{1}$ co jak podstawimy we wzorze daje nam w liczniku 0.

Po przekształceniu wzoru możemy uniknąć tego odejmowania, który psuje nam wynik.
$f(x) = 4040\frac{\sqrt{x^{11}+ 1}−1}{x^{11}} =4040\frac{x^{11}+ 1−1}{x^{11}*({\sqrt{x^{11}+ 1}+1})} =4040\frac{1}{{\sqrt{x^{11}+ 1}+1}} = \frac{4040}{{\sqrt{x^{11}+ 1}+1}}$

## 9

$x_{k+1} = 2^k\sqrt{2(1-\sqrt{1-(\frac{x_k}{2^k})^2})} = 2^k\sqrt{2 \frac{1-1+(\frac{x_k}{2^k})^2}{1+\sqrt{1-(\frac{x_k}{2^k})^2}}} = 2^k\sqrt{ \frac{2(\frac{x_k}{2^k})^2}{1+\sqrt{1-(\frac{x_k}{2^k})^2}}} = \sqrt{ \frac{2\times 2^{2k}(\frac{x_k}{2^k})^2}{1+\sqrt{1-(\frac{x_k}{2^k})^2}}} = \sqrt{ \frac{2\times x_k^2}{1+\sqrt{1-(\frac{x_k}{2^k})^2}}}$

$1-(\frac{x_k}{2^k})^2$ dla duzych k = 28 to jest 1


<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>