---
# System prepended metadata

title: Zadanie Obliczeniowe 1
tags: [Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka]

---

###### tags: `Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka`

# Zadanie Obliczeniowe 1

:::info
Proszę napisać funkcję, która dla podanej gęstości oblicza wartość dystrybuanty.
**4k+3:** $f(x)=\frac1{2^\frac n2\Gamma(\frac n2)}x^{\frac n2 - 1}e^{-\frac12x}$, $x\in (0; +\infty)$
Parametry: $n\in\mathbb N$, $x\in(0, +\infty)$.
:::

## Problem

Problem policzenia dystrybuanty dla podanej gęstości polega na policzeniu całki z tej funkcji. Do wykonania obliczeń wykorzystałem język Python. Kod znajduje się w pliku $\text{program.py}$. Aby przybliżyć wartość całki skorzystałem ze wzoru trapezów, który polega na rozbiciu całej całki na mniejsze fragmenty o stałej długości. Pole każdego takiego fragmentu przybliżamy polem trapezu, o podstawach równych wartości funkcji w granicach odcinka i wysokości równej długości odcinka. Po zastosowaniu wzoru na pole trapezu ($\frac{a+b}{2}*h$) i wyciągnięciu tych samych czynników przed nawias otrzymujemy taki wzór

$\displaystyle\int_a^b f(x)dx\approx\frac{b-a}{2n}(f(x_o) + f(x_1) + 2f(x_1) + ... + 2f(x_{n-1}))$

Teraz musimy wybrać liczbę, która odpowiada za ilość podziałów takiej funkjci na "trapezy". W moich obliczeniach wziąłem liczbę divisions = $10000$. Następnie dla pewnych wartości parametru $n\in\{3,5,10,20,30\}$ obliczam dystybuantę w wartoścach $F(x)$ dla $x\in[1;50]$, $x\in\mathbb N$ stosując wyżej opisany wzór trapezów. 

Do obliczenia wartości funkcji korzystam z własności funkcji $\Gamma$-Eulera:
$\Gamma(n)=(n-1)!$
$\Gamma(n+\frac12)=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt n$
## Uzyskane wyniki

Wyniki jakie uzyskałem:

* Na wykresie

![](https://i.imgur.com/s93pOzz.png)

* W tabeli

| x   | F(x), k = 3 | F(x), k = 5 | F(x), k = 10 | F(x), k = 20 | F(x), k = 30 |
| --- | ----------- |:-----------:|:------------:| ------------ | ------------ |
| 1   | 0,19874796  | 0,037434227 | 0,000172116  | 1,71E-10     | 1,46E-17     |
| 2   | 0,427593061 | 0,150854964 | 0,003659847  | 1,11E-07     | 3,00E-13     |
| 3   | 0,608374392 | 0,300014164 | 0,018575936  | 4,10E-06     | 8,24E-11     |
| 4   | 0,738535206 | 0,450584048 | 0,052653018  | 4,65E-05     | 3,87E-09     |
| 5   | 0,828201928 | 0,584119812 | 0,108821982  | 0,000277352  | 6,92E-08     |
| 6   | 0,888388555 | 0,693781081 | 0,184736756  | 0,001102488  | 6,70E-07     |
| 7   | 0,928100691 | 0,779359691 | 0,274555047  | 0,003314944  | 4,26E-06     |
| 8   | 0,953986417 | 0,843764371 | 0,371163065  | 0,008132243  | 1,99E-05     |
| 9   | 0,970706874 | 0,890935841 | 0,467896423  | 0,017092733  | 7,37E-05     |
| 10  | 0,981431242 | 0,924764753 | 0,559506714  | 0,031828058  | 0,000226254  |
| 11  | 0,988271099 | 0,948620016 | 0,642481997  | 0,05377747   | 0,00059857   |
| 12  | 0,992613392 | 0,965212219 | 0,714943498  | 0,083924018  | 0,001400354  |
| 13  | 0,995359507 | 0,976621231 | 0,776328182  | 0,122615952  | 0,002955757  |
| 14  | 0,997090503 | 0,984390583 | 0,827008391  | 0,169504064  | 0,005717203  |
| 15  | 0,998178533 | 0,989637661 | 0,867938142  | 0,223592388  | 0,010260428  |
| 16  | 0,998860708 | 0,993155925 | 0,900367598  | 0,283375742  | 0,017256991  |
| 17  | 0,999287445 | 0,995500202 | 0,925636019  | 0,347026342  | 0,027425354  |
| 18  | 0,999553818 | 0,997053595 | 0,945036357  | 0,412591756  | 0,041466327  |
| 19  | 0,999719733 | 0,998077863 | 0,959737317  | 0,478173977  | 0,05999199   |
| 20  | 0,999822841 | 0,998750269 | 0,970747311  | 0,542070284  | 0,083458475  |
| 21  | 0,999886744 | 0,99918994  | 0,978906434  | 0,602867399  | 0,112112124  |
| 22  | 0,999926212 | 0,999476401 | 0,984895399  | 0,659489356  | 0,145955991  |
| 23  | 0,99995047  | 0,999662433 | 0,989253421  | 0,711205458  | 0,184740124  |
| 24  | 0,99996527  | 0,999782886 | 0,992399609  | 0,757607836  | 0,22797547   |
| 25  | 0,999974194 | 0,999860665 | 0,994654494  | 0,798568892  | 0,274968117  |
| 26  | 0,999979469 | 0,999910763 | 0,996259814  | 0,834188121  | 0,324868469  |
| 27  | 0,999982479 | 0,999942956 |  0,99739566  | 0,864736002  | 0,376728875  |
| 28  | 0,999984082 |  0,9999636  | 0,998194751  | 0,890600628  | 0,429563287  |
| 29  | 0,999984811 | 0,999976811 | 0,998753955  | 0,912240636  | 0,482403301  |
| 30  | 0,999984995 | 0,99998525  | 0,999143359  | 0,930146337  | 0,53434629   |
| 31  | 0,999984838 | 0,999990631 | 0,999413274  | 0,944809542  | 0,584592888  |
| 32  | 0,999984467 | 0,999994057 | 0,999599562  | 0,956701682  | 0,632472638  |
| 33  | 0,999983959 | 0,999996234 | 0,999727614  | 0,966259253  | 0,6774579    |
| 34  | 0,999983363 | 0,999997617 | 0,999815302  | 0,973875312  | 0,719167167  |
| 35  | 0,999982709 | 0,999998493 | 0,999875135  | 0,979895723  | 0,757359559  |
| 36  | 0,999982015 | 0,999999048 | 0,999915824  | 0,984618902  | 0,791922634  |
| 37  | 0,999981293 | 0,999999398 | 0,999943407  | 0,988297967  | 0,82285567   |
| 38  | 0,999980549 | 0,99999962  | 0,999962048  | 0,991144415  | 0,850250457  |
| 39  | 0,999979788 | 0,999999759 | 0,999974611  | 0,993332613  | 0,874271315  |
| 40  | 0,999979014 | 0,999999847 | 0,999983055  | 0,995004587  | 0,895135715  |
| 41  | 0,999978226 | 0,999999903 | 0,999988716  | 0,996274766  | 0,913096488  |
| 42  | 0,999977428 | 0,999999937 | 0,999992501  | 0,997234419  | 0,928426268  |
| 43  | 0,999976619 | 0,999999959 | 0,999995027  | 0,997955678  | 0,941404485  |
| 44  | 0,999975799 | 0,999999972 | 0,999996708  | 0,998495068  | 0,952306995  |
| 45  | 0,999974971 | 0,999999981 | 0,999997825  | 0,998896531  | 0,961398239  |
| 46  | 0,999974132 | 0,999999986 | 0,999998566  | 0,99919398   | 0,968925696  |
| 47  | 0,999973285 | 0,999999989 | 0,999999056  | 0,999413406  | 0,975116326  |
| 48  | 0,999972428 | 0,999999991 | 0,999999379  | 0,999574603  | 0,980174665  |
| 49  | 0,999971562 | 0,999999992 | 0,999999593  | 0,999692551  | 0,984282235  |
| 50  | 0,999970687 | 0,999999993 | 0,999999733  | 0,999778523  | 0,987597938  |

Patrząc na tabelę i wykres możemy zauważyć, że im większy dobierzemy parametr $n$ tym dystrybuanta wolniej zbiega do $1$.

<!-- <br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br> -->