---
# System prepended metadata

title: Lista 7
tags: [Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka]

---

###### tags: `Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka`

# Lista 7

## Zadanie 1
:::info
Wykazać, że dla rozkładu Cauchy’ego wartość oczekiwana nie istnieje.
$f(x) = \frac{1}{\pi*(1+x^2)},\space x ∈\mathbb{R}$
:::

Załóżmy nie wprost, że wartość oczekwina istnieje. Wtedy:
$E(X)=\displaystyle\int_\mathbb{R} \frac{x}{\pi*(1+x^2)}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_\mathbb{R} \frac{x}{(1+x^2)}=\\=\frac1\pi*(\frac{\ln(x^2+1)}{2}\Big|_\mathbb{R})=+\infty\implies \text{Sprzeczność}$ 

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare$

## Zadanie 2
:::info
Zmienne losowe $X_1, X_2, . . . , X_n$ są niezależne i mają ten sam rozkład. Dodatkowo, $E(X_i) \neq 0$. Znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej $Y_k=\frac{\displaystyle\sum_{j=1}^kX_j}{\displaystyle\sum_{i=1}^nX_i}$.
:::

$E(Y_k)=E(\frac{\displaystyle\sum_{j=1}^kX_j}{\displaystyle\sum_{i=1}^nX_i})\stackrel{\text{Law of total expectation}}{=}\displaystyle\sum_{m=0}^\infty E(\frac{\displaystyle\sum_{j=1}^kX_j}{\displaystyle\sum_{i=1}^nX_i}\space \Big|\space \displaystyle\sum_{i=1}^n)P(\displaystyle\sum_{i=1}^nX_i=m)=\\=\displaystyle\sum_{m=0}^\infty E(\frac{\displaystyle\sum_{j=1}^kX_j}{m}\space \Big|\space \displaystyle\sum_{i=1}^n)P(\displaystyle\sum_{i=1}^nX_i=m)=\displaystyle\sum_{m=0}^\infty \frac1m E(\displaystyle\sum_{j=1}^kX_j\space \Big|\space \displaystyle\sum_{i=1}^n)P(\displaystyle\sum_{i=1}^nX_i=m)=\\=\displaystyle\sum_{m=0}^\infty \frac1m \frac{km}{n}P(\displaystyle\sum_{i=1}^nX_i=m)=\frac kn\displaystyle\sum_{m=0}^\infty P(\displaystyle\sum_{i=1}^nX_i=m)=\frac kn * 1 = \frac kn$

## Zadanie 3
:::info
Załóżmy, że istnieje $E(X^2)$. Udowodnić, że istnieje też $E(X)$.
:::

Założenie: $E(X^2)<\infty$
Teza: $E(X)<\infty$

$\displaystyle\forall_{x\in\mathbb{R}}\space |x|\leq1+x^2$
$E(|X|)\leq E(1+X^2)$
$E(X)\leq E(|X|)\leq 1+E(X^2)<\infty$
Czyli $E(X)<\infty$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare$

## Zadanie 4
:::info
Dystrybuanta zmiennej losowej X to $F_X (x) = 1 − \frac9{x^2}$ , dla $x \in [3, \infty)$. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej.
:::
$f(x)=(1 − \frac9{x^2})'=\frac{18}{x^3}$

$E(X)=\displaystyle\int_{x=3}^\infty x*\frac{18}{x^3}dx=\displaystyle\int_{x=3}^\infty \frac{18}{x^2}dx=18\displaystyle\int_{x=3}^\infty \frac{1}{x^2}dx=18*(-\frac1x\Big|_3^\infty)=\\=0-18*\frac{-1}3=6$

$E(X^2)=\displaystyle\int_{x=3}^\infty x^2*\frac{18}{x^3}dx=\displaystyle\int_{x=3}^\infty \frac{18}{x}dx=18\displaystyle\int_{x=3}^\infty \frac{1}{x}dx=18*(\ln x\Big|_3^\infty )=+\infty$
Czyli wariancja nie istnieje

## Zadanie 5
:::info
Dane są niezależne zmienne losowe $X$, $Y$ o rozkładzie $U [0, 1]$. Niech $x$, $y$ będą wylosowanymi wartościami zmiennych $X$, $Y$ . Odcinek $[0, 1]$ podzielony jest zatem na trzy części (być może jedna część ma długość $0$). Jakie jest prawdopodobieństwo, że z tych trzech części można utworzyć trójkąt?
:::

Załóżmy bez straty ogólności, że $x\leq y$. Wtedy $0\leq x \leq y \leq 1$. Przedziały, które zostaną utworzone mają odpowiednio długości: $x; y-x; 1-y$ Aby taki trójkąt można było utworzyć to żaden z powstałych przedziałow nie może być $\geq\frac12$. Czyli $x<\frac12$; $y-x<\frac12$; $1-y<\frac12$. Narysujmy te proste i zaznaczmy obszar, który spełnia powyższe nierówności:
![](https://i.imgur.com/5uMGbwu.png)

Zauważmy, że z założenia $x\leq y$ Czyli bierzemy pod uwagę tylko obszar nad prostą $y=x$. Rozwiązaniem jest $\frac{\text{Pole}\space \text{obszaru}\space \text{szarego}}{\text{Pole}\space \text{obszaru}\space \text{nad}\space \text{prostą}\space y=x}=\frac14$

## Info do zadań 6, 7

:::info
Niech $(X_1, X_2)$ będzie dwuwymiarową zmienną losową o gęstości $f (x_1, x_2) = C * x^2y^2$, dla $0 < x_1^2 + y_2^2 < 1$.
:::

## Zadanie 6 X
:::info
Znaleźć wartość stałej $C$.
:::

## Zadanie 7 X
:::info
Znaleźć wartość oczekiwaną $E(X_1)$
:::

## Zadanie 8
:::info
Zmienna $(X_1, X_2)$ ma gęstość postaci $f (x_1, x_2) = \frac1\pi$, dla $0 < x^2_1 + x^2_2 < 1$. Niech $X_1 = Y_1\cos Y_2$, $X_2 = Y_1\sin Y_2$, gdzie $0 < Y_1 < 1$, $0 \leq Y_2 \leq 2π$. Znaleźć gęstość $g(y_1, y_2)$ zmiennej $(Y_1, Y_2)$. Sprawdzić czy zmienne $Y_1$, $Y_2$ są niezależne.
:::

$g(y_1, y_2)=f(x_1(y_1, y_2), x_2(y_1, y_2))*|J|=*$

$J=\begin{bmatrix}
       \cos y_2 & -y_1 \sin y_2           \\[0.3em]
       \sin y_2 & y_1\cos y_2
     \end{bmatrix}=y_1 \cos^2y_2+y_1\sin^2y_2=y_1(\cos^2y_2+\sin^2y_2)=y_1*1=y_1$

$*=\frac1\pi*|J|=\frac{y_1}\pi$

$g_{Y_1}(y_1)=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\frac{y_1}{\pi}dy_2=\frac{y_1}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}1dy_2=\frac{y_1}{\pi}*(y_2\Big|_{0}^{2\pi})=\frac{y_1}{\pi}*2\pi=2y_1$

$g_{Y_2}(y_2)=\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{y_1}{\pi}dy_1=\frac1\pi\displaystyle\int_{0}^{1}y_1dy_1=\frac1\pi*(\frac{y_1^2}{2}\Big|_0^1)=\frac1\pi*\frac12=\frac1{2\pi}$

$g_{Y_1}(y_1)*g_{Y_2}(y_2)=2y_1*\frac1{2\pi}=\frac{y_1}\pi=g(y_1, y_2)$
Zmienne są niezależne


## Zadanie 9 X
:::info
Dana jest n-wymiarowa zmienna losowa $X = (X_1, . . . , X_n)^T$ . Zmienną $Y = (Y_1, . . . , Y_n)^T$ określamy następująco: 
$Y_1 = \overline X, Y_k = X_k − \overline X$, dla $k = 2, . . . , n$.
Znaleźć wartość Jacobianu
M = \begin{bmatrix}
       \frac{∂x_1}{∂y_1} & \frac{∂x_1}{∂y_2} & ... & \frac{∂x_1}{∂y_n}           \\[0.3em]
       \frac{∂x_2}{∂y_1} & \frac{∂x_2}{∂y_2} & ... & \frac{∂x_2}{∂y_n}           \\[0.3em]
       \vdots & \vdots & \ddots & \vdots           \\[0.3em]
       \frac{∂x_n}{∂y_1} & \frac{∂x_n}{∂y_2} & ... & \frac{∂x_n}{∂y_n}
     \end{bmatrix}
:::

## Info do zadań 10, 11

:::info
Boki prostokąta są niezależnymi zmiennymi losowymi $X_1$ i $X_2$ o rozkładzie $U[1, 2]$. $Y_1 = 2X_1 + 2X_2$ jest obwodem tego prostokąta, $Y_2 = X_1X_2$ oznacza pole tego prostokąta.

:::

## Zadanie 10
:::info
**E1** Znaleźć wartości oczekiwane i wariancje zmiennych $Y_1$, $Y_2$. (Odp.: $6$, $\frac23$ dla $Y_1$, $\frac94$, $\frac{55}{144}$ dla $Y_2)$.
:::

$X\text{ ~ }U[a,b] \implies E(X)=\frac{a+b}{2}, Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$

$E(X_1)=E(X_2)=\frac{1+2}2=\frac32$
$Var(X_1)=Var(X_2)=\frac{(2-1)^2}{12}=\frac1{12}$

$E(Y_1)=E(2X_1+2X_2)=E(2X_1)+E(2X_2)=2E(X_1)+2E(X_2)=\\=2*\frac32+2*\frac32=3+3=6$

$E(Y_2)=E(X_1X_2)=E(X_1)*E(X_2)=\frac32*\frac32=\frac94$

$Var(Y_1)=Var(2X_1+2X_2)=Var(2(X_1+X_2))=4*Var(X_1+X_2)=\\=4(Var(X_1) + Var(X_2))=4(\frac1{12}+\frac1{12})=\frac{4}{6}=\frac23$

$E(X_1^2)=E(X_2^2)=\displaystyle\int_1^2 x^2\frac{1}{2-1}dx=\displaystyle\int_1^2 x^2dx=\frac{x^3}3\Big|_1^2=\frac{2^3-1^3}3=\frac{7}3$

$Var(Y_2)=E(Y_2^2)-E(Y_2)^2=E(X_1^2X_2^2)-(\frac94)^2=E(X_1^2)E(X_2^2)-\frac{81}{16}=\\=(\frac{7}3)^2 - \frac{81}{16}=\frac{49}{9} - \frac{81}{16}=\frac{784}{144}-\frac{729}{144}=\frac{55}{144}$

## Zadanie 11
:::info
**E1** Obliczyć wartość współczynnika korelacji $ρ$ zmiennych $Y_1$, $Y_2$. (Odp.: $\frac{3\sqrt{330}}{55}$).
:::

$\rho(Y_1, Y_2)=\frac{Cov(Y_1, Y_2)}{\sqrt{Var(Y_1)}\sqrt{Var(Y_2)}}=\frac{E(Y_1Y_2)-E(Y_1)*E(Y_2)}{\sqrt{\frac23*\frac{55}{144}}}=\frac{E(Y_1Y_2)-6*\frac94}{\sqrt{\frac{55}{216}}}=\frac{E(Y_1Y_2)-\frac{27}{2}}{\sqrt{\frac{55}{216}}}=\\=\frac{E((2X_1+2X_2)X_1X_2)-\frac{27}{2}}{\sqrt{\frac{55}{216}}}=\frac{E(2X_1^2X_2)+E(2X_1X_2^2)-\frac{27}{2}}{\sqrt{\frac{55}{216}}}=\frac{2E(X_1^2)E(X_2)+2E(X_1)E(X_2^2)-\frac{27}{2}}{\sqrt{\frac{55}{216}}}=\\=\frac{2*\frac{7}3*\frac32+2*\frac32*\frac{7}3-\frac{27}{2}}{\sqrt{\frac{55}{216}}}=\frac{7+7-\frac{27}{2}}{\sqrt{\frac{55}{216}}}=\frac{\frac12}{\sqrt{\frac{55}{216}}}=\frac{\frac12}{\sqrt{\frac{55}{216}}}=\frac{\frac12\sqrt{\frac{55}{216}}*216}{55}=\frac{3\sqrt{330}}{55}$

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>