Lista 6 - HackMD

###### tags: `Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka` # Lista 6 ## Zadanie 1 :::info Niech $X$ ∼ $Geom(p)$ (rozkład geometryczny). Wykazać, że $M_X (t) = \frac{pe^t}{1 − qe^t}$. ::: $q=1-p$ $X$ ~ $Geom(p)$ Czyli $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ $M_X(t)=E(e^{tX})=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}e^{tk}q^{k-1}p=\frac pq\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}e^{tk}q^k=\frac pq\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}(e^{t}q)^k\stackrel{\text{The sum of infinite geometric serie}}{=}\\=\frac pq*\frac{e^tq}{1-e^tq}=\frac{pe^t}{1-e^tq}$ $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare$ ## Zadanie 2 :::info Niech $X ∼ Geom(p)$. Korzystając z funkcji $M_X (t)$ obliczyć $E(X)$ oraz $V(X)$. ::: $M_X(t)'=(\frac{pe^t}{1-e^tq})'=p(\frac{e^t}{1-e^tq})'=p(\frac{e^t(1-e^tq)-e^t(-qe^t)}{(1-e^tq)^2})=p(\frac{e^t(1-e^tq+qe^t)}{(1-e^tq)^2})=\\=p(\frac{e^t(1-e^tq+qe^t)}{(1-e^tq)^2})=p(\frac{e^t}{(1-e^tq)^2})$ $E(X)=M_X(0)'=p(\frac{1}{(1-q)^2})=\frac{p}{(1-(1-p))^2}=\frac{p}{(-p)^2}=\frac1p$ $M_X(t)''=p(\frac{e^t}{(1-e^tq)^2})'=-\frac{pe^t(qe^t+1)}{(qe^t-1)^3}$ $E(X^2)=M_X(0)''=-\frac{p(q+1)}{(q-1)^3}=-\frac{p(1-p+1)}{(-p)^3}=\frac{1-p+1}{p^2}=\frac{2-p}{p^2}$ $V(X)=E(X^2) - E(X)=\frac{2-p}{p^2}-\frac1{p^2}=\frac{1-p}{p^2}$ ## Zadanie 3 :::info Dla $X ∼ N(μ, σ^2)$ mamy $f(x) = \frac1{\sqrt{2π}σ}exp(−\frac{(x − μ)^2}{2σ^2})$, $x ∈ R$. Udowodnić, że postać $M_X (t)$ jest następująca: $M_X (t) = exp(μt + \frac12 σ^2t^2)$. ::: $M_X(t)=\displaystyle\int_{\mathbb{R}}e^{xt}f(x)dx=\displaystyle\int_{\mathbb{R}}e^{xt}\frac1{\sqrt{2π}σ}exp(−\frac{(x − μ)^2}{2σ^2})dx=*$ Podstawienie: $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ $x=z\sigma+\mu$ $dx=\sigma dz$ $*=\displaystyle\int_{\mathbb{R}}e^{(z\sigma+\mu)t}\frac1{\sqrt{2π}σ}exp(−\frac{z^2}{2})\sigma dz=e^{\mu t}\displaystyle\int_{\mathbb{R}}e^{z\sigma t}\frac1{\sqrt{2π}}exp(−\frac{z^2}{2}) dz=\\=e^{\mu t}\displaystyle\int_{\mathbb{R}}e^{z*(\sigma t)}\frac1{\sqrt{2π}}exp(−\frac{z^2}{2}) dz=*$ ![](https://i.imgur.com/gCgAmg0.png) *Fragment notatek z wykładu 24.03.2022r.* $*=e^{\mu t}*e^{\frac{(\sigma t)^2}{2}}=exp(\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2)$ $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare$ ## Zadanie 4 :::info Zmienne $X_1, . . . , X_n$ są niezależne i $X_k ∼ N(μ, σ2)$. Znaleźć funkcję tworzącą momenty $M_{\stackrel{\_}{X}} (t)$ zmiennej $\stackrel{\_}{X}$ ($\stackrel{\_}{X}$ to średnia z $X_1, . . . , X_n$), a następnie zidentyfikować rozkład zmiennej $\stackrel{\_}{X}$. ::: $\stackrel{\_}{X}=\frac1n\displaystyle\sum_{k=1}^nX_k$ $M_\stackrel{\_}{X}(t)=\displaystyle\prod_{k=1}^nM_X(\frac tn)=exp(\frac{\mu t}{n}+\frac12\sigma^2\frac {t^2}{n^2})^n=exp(\mu t+\frac12\sigma^2\frac {t^2}{n})$ $\stackrel{\_}{X}\text{~}N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$ ## Info do zadań 5,6 :::info **[Z. 5–6]** Zmienna $Z$ ∼ $Gamma(b, p)$ ma $MGF$ postaci $M_Z(t) =(1 − \frac tb)^{−p}$. Dodatkowo wiemy że: $Γ(1/2) = \sqrt π$ ::: ## Zadanie 5 :::info Niech $X ∼ N(μ, σ2)$. Znaleźć rozkład zmiennej $Y =(\frac{X − μ}{σ})^2$. ::: Niech $Z=\frac{X − μ}{σ}$ Wtedy: $M_Z(t)=M_\frac{X − μ}{σ}(t)=M_{\frac{1}{σ}X-\frac{\mu}{\sigma}}(t)=e^{(-\frac{\mu}{\sigma})t}M_X(\frac{1}{σ}t)=e^{(-\frac{\mu}{\sigma})t}M_X(\frac{t}{σ})=\\=e^{(-\frac{\mu}{\sigma})t}*exp(\mu \frac{t}{σ}+\frac{1}{2}\sigma^2(\frac{t}{σ})^2)=e^{(-\frac{\mu}{\sigma})t}*exp(\mu \frac{t}{σ}+\frac{1}{2}t^2)=e^{(-\frac{\mu}{\sigma})t}*e^{ \frac{t\mu}{σ}+\frac{1}{2}t^2}=e^{(-\frac{\mu}{\sigma})t+ \frac{t\mu}{σ}+\frac{1}{2}t^2}=\\=e^{\frac12t^2}$ $Z$~$N(0,1)$ $Y=Z^2$ Z zadania $5.4$ wiemy, że zmienna $Y=Z^2$, gdzie $Z$~$N(0,1)$ ma rozkład $Gamma(\frac12, \frac12)$ ## Zadanie 6 :::info Zmienne $X_1, . . . , X_n$ są niezależne oraz $X_k ∼ N(μ, σ^2)$. Znaleźć rozkład zmiennej $Z_n =\displaystyle\sum_{k=1}^n(\frac{X_k − μ}{σ} )^2$. ::: $M_G(t)=(1 − \frac tb)^{−p}$ gdzie $G$ ~ $Gamma(b, p)$ Z zadanie $6.5$ $Y = (\frac{X_k − μ}{σ} )^2$, $Y$ ~ $Gamma(\frac12, \frac12)$ Czyli $M_Y(t)=(1-\frac{t}{\frac12})^{-\frac12}$ $M_Z(t)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1-\frac{t}{\frac12})^{-\frac12}=(1-\frac{t}{\frac12})^{-\frac n2}$ $Z$ ~ $Gamma(\frac12, \frac n2)$ ## Info do zadań 7 i 8 :::info **[Z. 7–8]** Znaleźć rozkład, któremu podlega zmienna $Z =\displaystyle\sum_{k=1}^nX_k$. O występujących w tych zadaniach zmiennych zakładamy, że są niezależne. Rozwiązujemy zadania używając ”MGFy” (funkcje generujące momenty). ::: ## Zadanie 7 :::info $X_k ∼ Gamma(b, p_k),\space k = 1, . . . , n$. ::: $M_G(t)=(1 − \frac tb)^{−p_k}$ gdzie $G$ ~ $Gamma(b, p_k)$ $M_Z(t)=\displaystyle\prod_{k=1}^nM_{X_k}(t)=\displaystyle\prod_{k=1}^n(1- \frac tb)^{-p_k}=(1- \frac tb)^{-\displaystyle\sum_{k=1}^np_k}$ $Z$ ~ $Gamma(b, \displaystyle\sum_{k=1}^np_k)$ ## Zadanie 8 :::info $X_k ∼ B(m_k, p), k = 1, . . . , n$. ::: $M_B(t)=(1-p+pe^t)^{m_k}$, gdzie $B$ ~ $B(m_k, p), k = 1, . . . , n$ $M_Z(t)=\displaystyle\prod_{k=1}^nM_{X_k}(t)=\displaystyle\prod_{k=1}^n(1-p+pe^t)^{m_k}=(1-p+pe^t)^{\displaystyle\sum_{k=1}^nm_k}$ $Z$ ~ $B(\displaystyle\sum_{k=1}^nm_k, p)$ ## Zadanie 9 X :::info Zakładamy, że zmienne $X_1, X_2, . . . , X_n, Y_1, Y_2, . . . , Y_k$ są niezależne i podlegają rozkładowi $N (0, 1)$. W jaki sposób można utworzyć poniższe zmienne: ::: ### a) X :::info $U ∼ χ^2(k)$, ::: ### b) X :::info $T ∼ t(n)$, ::: ### c) X :::info $V ∼ F(k, n)$ ::: ## Zadanie 10 :::info Zmienna losowa $X$ ma $MGF$ o postaci $M_X (t)$. Zmienna losowa $Y$ jest pewną funkcją zmiennej $X$. Co można powiedzieć o $Y$ (założenia i od jakich zmiennych zależy $Y$) jeżeli: ::: ### a) :::info $M_Y (t) = M_X (2t) * M_X (4t)$, ::: $M_Y (t) = M_X (2t) * M_X (4t)=M_{2X} (t) * M_{4X} (t)$ Czyli $Y=2X+4X=6X$ ### b) :::info $M_Y (t) = e^{2t}M_X (t)$, ::: $M_Y (t) = e^{2t}M_X (t)=M_{X+2}(t)$ *https://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function#Linear_transformations_of_random_variables* czyli $Y=X+2$ ### c) :::info $M_Y (t) = 4M_X (t)$. ::: Nie istnieje taka zmienna losowa $Y$, ponieważ dla $t=0$ $M_Y (0)=1\neq4*1=4M_X (0)$ ## Info do zadań 11, 12 :::info **[Zadania 11–12]** Zakładamy, że niezależne zmienne losowe $X_k$ podlegają rozkładowi $N (μ, σ^2)$. **(1)** $\displaystyle\sum_{k=1}^n(X_k − μ)^2 =\displaystyle\sum_{k=1}^n(X_k − \stackrel{\_}{X})^2+ n ( \stackrel{\_}{X}− μ)^2.$ ::: ## Zadanie 11 :::info **E1** Znaleźć (wraz z uzasadnieniem) rozkład zmiennej $M = \frac n{σ^2} * ( \stackrel{\_}{X} − μ)^2$ ::: Z wykładu z 7 kwietnia wiemy, że jeżeli $Y=\frac{\overline X - \mu}{\sigma}\sqrt n\space$ to $Y$ ~ $N(0,1)$ Wtedy $Y^2=( \frac{\overline X - \mu}{\sigma}\sqrt n)^2=\frac n{σ^2} * ( \stackrel{\_}{X} − μ)^2=M$ Skoro $M=Y^2$ oraz $Y$ ~ $N(0,1)$ to z definicji $\chi^2\rightarrow$ $M$ ~ $\chi^2(1)$ ## Zadanie 12 X :::info **E1** Załóżmy, że zmienne $\stackrel{\_}{X}=\frac1n\displaystyle\sum_{k=1}^nX_k$ oraz $S^2 = \frac1n\displaystyle\sum_{k=1}^n(X_k − \stackrel{\_}{X})^2$ są niezależne. Korzystając z równania **(1)** udowodnić, że $\frac{nS^2}{σ^2} ∼ χ^2(n − 1) ≡ Gamma( \frac12 , \frac{n − 1}2)$ :::