工程數學ODE

--- tags: 數學 title: 工程數學ODE --- <style> html, body, .ui-content { background-color: #333; color: #ddd; } body > .ui-infobar { display: none; } .ui-view-area > .ui-infobar { display: block; } .markdown-body h1, .markdown-body h2, .markdown-body h3, .markdown-body h4, .markdown-body h5, .markdown-body h6 { color: #ddd; } .markdown-body h1, .markdown-body h2 { border-bottom-color: #ffffff69; } .markdown-body h1 .octicon-link, .markdown-body h2 .octicon-link, .markdown-body h3 .octicon-link, .markdown-body h4 .octicon-link, .markdown-body h5 .octicon-link, .markdown-body h6 .octicon-link { color: #fff; } .markdown-body img { background-color: transparent; } .ui-toc-dropdown .nav>.active:focus>a, .ui-toc-dropdown .nav>.active:hover>a, .ui-toc-dropdown .nav>.active>a { color: white; border-left: 2px solid white; } .expand-toggle:hover, .expand-toggle:focus, .back-to-top:hover, .back-to-top:focus, .go-to-bottom:hover, .go-to-bottom:focus { color: white; } .ui-toc-dropdown { background-color: #333; } .ui-toc-label.btn { background-color: #191919; color: white; } .ui-toc-dropdown .nav>li>a:focus, .ui-toc-dropdown .nav>li>a:hover { color: white; border-left: 1px solid white; } .markdown-body blockquote { color: #bcbcbc; } .markdown-body table tr { background-color: #5f5f5f; } .markdown-body table tr:nth-child(2n) { background-color: #4f4f4f; } .markdown-body code, .markdown-body tt { color: #eee; background-color: rgba(230, 230, 230, 0.36); } a, .open-files-container li.selected a { color: #5EB7E0; } </style> # <center>工程數學ODE</center> ## <center>微分</center> ### 常數 :::spoiler 顯示更多內容 $f(x)=3$，$f'(x)=0$ ::: ### 單一未知數 :::spoiler 顯示更多內容 $f(x)=x$，$f'(x)=1$ $f(x)=x^2$，$f'(x)=2x$ $f(x)=\sqrt{x}$，$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ::: ### 指數函數(e) :::spoiler 顯示更多內容 :sparkles:**自然常數(e)上的次方項先微分並與常數項相乘**:sparkles: $f(x)=e^x$，$f'(x)=e^x$ $f(x)=e^{x^2}$，$f'(x)=2xe^{x^2}$ $f(x)=e^{2x}$，$f'(x)=2e^{2x}$ $f(x)=e^{2x^{2}}$，$f'(x)=4xe^{2x^2}$ ::: ### 對數函數(ln) :::spoiler 顯示更多內容 :sparkles:**自然對數($ln$)微分時，可以不用看常數項**:sparkles: $f(x)={\ln}(x)$，$f'(x)=\dfrac{1}{x}$ $f(x)={\ln}(2x)$，$f'(x)=\dfrac{1}{x}$ $f(x)={\ln}(x^2)$，$f'(x)=\dfrac{2}{x}$ $f(x)={\ln}(2x^2)$，$f'(x)=\dfrac{2}{x}$ ::: ### 三角函數 :::spoiler 顯示更多內容 $f(x)={\sin}x$，$f'(x)={\cos}x$ $f(x)={\cos}x$，$f'(x)=-{\sin}x$ $f(x)=-{\sin}x$，$f'(x)=-{\cos}x$ $f(x)=-{\cos}x$，$f'(x)={\sin}x$ ::: ### 反三角函數(arc) :::spoiler 顯示更多內容 $f(x)={\sin}^{-1}x$，$f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $f(x)={\cos}^{-1}x$，$f'(x)=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ $f(x)={\tan}^{-1}x$，$f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ $f(x)={\sec}^{-1}x$，$f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ $f(x)={\cot}^{-1}x$，$f'(x)=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ $f(x)={\csc}^{-1}x$，$f'(x)=\dfrac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ ::: ## <center>積分</center> ### 常數 :::spoiler 顯示更多內容 $f(x)=\int3dx$，$3x=c$ ::: ### 單一未知數 :::spoiler 顯示更多內容 **:sparkles:次方項先+1，在放至常數項的分母**:sparkles: $f(x)=\int xdx$，$\dfrac{1}{2}x^2=c$ $f(x)=\int x^2dx$，$\dfrac{1}{3}x^3=c$ $f(x)=\int 2x^2dx$，$\dfrac{2}{3}x^3=c$ $f(x)=\int{\sqrt{x}}dx$，$\dfrac{2}{3}x^{\dfrac{3}{2}}=c$ ::: ### 指數函數(e) :::spoiler 顯示更多內容 $f(x)=\int e^xdx$，$e^x=c$ $f(x)=\int 2xe^xdx$，$2e^x(x-1)=c$ (分部積分) $f(x)=\int {4x^2}e^{2x}dx$，$e^{2x}(2x^2-2x+1)=c$ (分部積分) $f(x)=\int xe^{x^{2}}dx$，$\dfrac{1}{2}e^{2x}=c$ (變數變換) ::: ### 對數函數(ln) :::spoiler 顯示更多內容 :sparkles:**自然對數($ln$)積分時，80%使用分部積分**:sparkles: $f(x)=\int{\ln}(x)$，$x({\ln}x-1)=c$ (分部積分) ::: ## <center>小技巧</center> ### <center>部分分式展開</center> :::spoiler 顯示範例 $\dfrac{1}{x(x-2)}=0$ Step1．將分式看成$\dfrac{1}{x}與\dfrac{1}{x-2}$兩項 Step2．計算$x$項的分子時，$\dfrac{1}{x}$要為$0$，所以$x$要設為$0$，將$x=0$帶入$\dfrac{1}{x-2}$，得出$x$項分子為$\dfrac{1}{2}$ Step3．計算$x-2$項的分子時，$\dfrac{1}{x-2}$要為$0$，所以$x$要設為$2$，將$x=2$帶入$\dfrac{1}{x}$，得出$x-2$項分子為$\dfrac{1}{2}$ ::: ## <center>重點觀念</center> ### <center>指數函數次方相加減</center> :::spoiler 顯示觀念 指數函數的次方相加可以視為底數相乘 例題：$e^{y^2-2x}$ 可視為：$e^{y^2}*e^{-2x}$ ::: ### <center>指數函數與對數函數的關係</center> :::spoiler 顯示觀念 若指數函數的次方項為對數函數則可相消 例題：$e^{-2ln2}$ 可視為：$2^{-2}$ ::: ### <center>對數函數基本規則</center> :::spoiler 顯示觀念 $ln(xy)=ln(x)+ln(y)$ $ln(\dfrac{x}{y})=ln(x)-ln(y)$ $ln(x^y)=yln(x)$ ::: ### <center>對數函數消除方法</center> :::spoiler 顯示觀念 同取e為底數則可與ln消除 例題：$ln|x|=ln|1-cos\theta|+c$ Step1．將ln相關的移至同側$\dfrac{ln|x|}{ln|1-cos\theta|}=c$ Step2．等式左右同取e為底，$\dfrac{x}{1-cos\theta}=e^c$ Step3．因為e為常數所以也可寫作c，所以本題答案為$\dfrac{x}{1-cos\theta}=c$ ::: ### <center>分子分母皆為三角函數的積分</center> :::spoiler 顯示觀念 大多數情況使用變數變換將分母換為u即可 例題：$\int\dfrac{sin\theta}{1-cos\theta}d\theta$ Step1．將$1-cos\theta$設為$u$，$du=sin\theta d\theta$ Step2．計算$\int \dfrac{1}{u}du$，得出$ln|u|$ Step3．將$u$換回$(1-cos\theta)$，本題答案為$ln|1-cos\theta|$ :::