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# 물리학

## 물리학을 하기 위해 염두에 두어야 하는 것

물리학은 과학의 한 분야로, 물리량을 활용해 물질의 존재나 물질 간의 상호작용으로 나타나는 현상을 설명하는 학문이다.

과학은 관측할 수 있는 사실로부터 어떤 법칙이나 원리를 도출하고, 이를 모아 체계화하여 이론을 세운다. 이론은 오랜 기간 검증을 거쳐 과학으로 받아들여진다.

관측은 관찰하고 측정하는 것을 말한다. 관찰은 눈으로 보는 것뿐만 아니라 소리를 듣고, 냄새를 맡는 등 인간의 감각으로 느끼는 그 모든 것을 의미한다. 때로는 인간의 감각으로 느끼기 어려운 것들이 있다. 너무 작거나, 너무 크거나, 너무 멀거나, 너무 가깝거나, 너무 위험하거나, 인간의 감각 기관으로 느낄 수 없는 것인 경우가 있다. 그럴 때는 관찰을 돕는 도구를 사용하곤 한다. 현미경이나 전류계 등이 관찰 도구이다. 측정은 관찰한 것의 크기를 수치화하는 것을 말한다. 수치화하는 방법은 크기를 나타낼 기준(단위)을 설정하고, 기준보다 크고 작은 정도를 배수로 나타낸다. 예를 들어 운동장의 길이를 측정할 때, 한 걸음을 기준으로 삼아 120배 만큼 되면, "120 걸음"이라고 할 수 있다.

이때 관측한 것을 사실이라고 하기 위해서는 같은 환경이라면 누구나 반복적으로 동일하게 관측할 수 있어야 한다. 예를 들어 태양은 하늘이 맑은 낮이라면 누구나, 언제나 고개를 들어 같은 태양을 관찰할 수 있다. 그래서 저 하늘에 태양이 있다는 것은 사실이다. 하지만, 지난 밤 가위에 눌리며 본 귀신은 내가 다시 가위에 눌린다 하여도, 누군가 가위에 눌린다 하여도, 내가 가위에 눌려 귀신을 보고 있다고 하여도 그것을 누구나 언제나 관찰할 수 없으므로 과학에서는 사실로 여기지 않으며, 과학에서 다루지 않는다.

법칙과 원리, 이론은 각각을 분명히 구분하여 사용하지 않는 경우가 많다. 나는 법칙과 원리, 이론을 다음과 같이 구분하여 사용한다. 법칙과 원리, 이론은 모두 자연 현상의 규칙을 설명한다. 법칙과 원리는 한 문장의 명제이고, 이론은 여러 문장으로 이루어진다. 원리는 일종의 공리로, 검증하지 않아도 사실이라 여길 수 있는 것이다. 법칙은 검증하여 사실인 것으로 여기는 것이다. 이론은 법칙이나 원리를 활용해 자연 현상의 규칙성을 설명하는 체계나 방법을 말한다. 한편, 법칙과 원리, 이론과 별개로 약속과 정의라는 용어도 사용한다. 약속은 나와 당신이 어떠한 것을 일시적으로 사실이라 인정하는 것이다. 정의는 나와 당신이 어떠한 것을 영구적으로 사실이라 인정하는 것이다.

검증은 사실인지 모르는 것을 사실인지 증명하는 과정이다. 보통은 사실이라는 것을 증명하기보다 사실이 아니라는 것을 증명하는 것이 수월하다. 하여, 보통은 검증 과정은 기존의 이론으로 설명하지 못하는 것(반례)으로 보이는 것을 기존의 이론으로 설명해내며 이뤄진다. 하지만, 기존의 이론으로 설명하지 못하는 것으로 여겨지는 것은 기존의 이론이 틀린 것인 경우도 있지만, 기존의 이론을 연구한 사람들이 미처 생각하지 못한 것인 경우도 있으므로, 반례는 언제 어떤 부분에 대해 나타날 지 알 수 없고, 반례를 설명해 내는 방식의 검증은 영원히 끝날 수 없다. 현대 과학은 이러한 방식을 활용하고 있기 때문에 아무리 정확하고 절대적인 것처럼 보이는 과학 이론도 언제든 어떤 반례로 뒤집힐 수 있다는 것을 염두에 두고 있어야 한다.

이따금 어떤 이들은 물리학만이 진짜 과학이고, 진리이며, 정의라고 하는 경우가 있다. 물리학은 과학의 한 분이며 진짜 과학이 맞다. 하지만, 관측하고, 이론을 세우며, 검증하는 등의 과학적 방법을 따르는 것이라면 그 모두를 과학이라 할 수 있다. 고로, 물리학만이 과학인 것은 아니다. 진리는 절대적이며 완전한 사실인 것이나, 과학에서의 사실이란 사람의 관측에서 시작하므로 언제나 불완전하며, 이론을 세우고 검증하는 과정 또한 사람들의 합의에 의한 것이므로 역시나 불완전하다. 고로, 진리가 아니다. 정의는 윤리적으로 옳은 것을 말한다. 과학을 하는 것도 사람이 하는 것이므로, 윤리가 기반이 되어야 하나, 물리학이나 과학 그 자체가 윤리이거나 정의일 수는 없다. 물리학을 사랑하고 찬양할지라도, 자만하거나 다른 것을 업신여겨서는 안될 것이다.

## 물리량

물리량은 측정할 수 있는 것을 말한다. 기본이 되는 물리량으로는 질량, 길이, 시간이 있다.

### 질량(mass)

질량은 물질의 양을 의미한다. 물질이 많을 수록 커지는 것은 다양하다. 길이, 면적, 부피 등이 변하는 것을 쉽게 알 수 있다. 하지만 길이, 면적, 부피로는 물질의 양이 많고 적은 것을 올바르게 나타낼 수 없다. 물질에 따라 물질의 양과 관계 없이 변할 수 있는 요소이기 떄문이다. 사람들은 경험적으로 물질의 양이 늘어남에 따라 무게가 늘어난다는 것을 알게 되었고, 무게와 밀접한 관계에 있는 '질량'이란 물리량을 정의하였다.

'질량'이란 용어는 'ㅈㅣㄹㄹㅑㅇ'이란 문자들을 조합하여 만든 단어이다. 우리나라 사람이라면 '질량'을 보고 그것이 문자이며 무언가를 의미하고 있다는 것을 알 수 있지만 다른 나라 사람이 본다면 언어가 다르기 때문에 쉽게 알 수 없을 것이다. 언어의 장벽을 허물기 위해 문자 대신 그림을 사용하는 경우가 있다. 예컨대 ♿는 장애인을 뜻한다. 어떤 의미를 담고 있는 문자나 그림을 기호라고 한다. 질량의 기호는 '질량'이라고 쓸 수도 있지만 '$m$'\[엠\]이라고도 쓴다. 질량을 의미하는 영단어 mass의 머릿글자를 활용한 것이다. 이와 같이 다른 물리량들도 적절한 기호를 사용할 것이다. 때로는 '나의 질량'을 나타내는 방법으로 '$m_{\rm{나}}$'와 같이 기호 주변에 부연 설명을 붙이기도 할 것이다.

질량의 크기를 나타내기 위한 단위로 주로 '$\text{kg}$'\[킬로-그램\]을 활용한다. 단위는 크기의 기준으로, 크기를 나타내기에 적절한 것을 사용하는 것이 유리하다. '$\text{kg}$'의 '$\text{k}$'\[킬로\]는 단위에 사용하는 접두어로 $1,000$을 의미한다. 즉, '$\text{kg}$'은 '$\text{g}$'\[그램\]의 $1,000$배 크기를 의미한다. 질량의 크기를 나타내는 단위는 그 외에도 '$\text{ton}$'\[톤\], '$\text{mg}$'\[밀리-그램\] 등이 있다.

정리하면 다음과 같다.

| 물리량(영어) | 기호 | 단위 | 설명 |
|:---------:|:---:|:---:|:----:|
| 질량(mass) | $m$ | $\text{kg}$| 물질의 양|

질량은 저울을 사용하여 측정할 수 있다. 저울의 한 쪽에 질량을 알고 싶은 물체를 두고, 다른 한 쪽에 기준으로 삼을 물체를 두어 수평을 이루면 양쪽의 무게가 같다는 사실로부터 양쪽의 질량이 같다는 것을 알 수 있다.

### 길이(Lenghth)

길이는 두 위치 사이의 거리를 의미한다. 기호는 $L$\[엘\]을, 단위는 $\text{m}$\[미터]를 사용한다. 위치는 어떤 기준점으로부터 어떤 방향으로 얼마나 떨어져 있는 지를 나타내는 물리량이다. 위치는 기호로 $P$\[피], 단위로 $\text{m}$를 사용한다.

#### 방향(direction)

모든 물리량은 크기 요소를 가지고 있다. 그런데 어떤 물리량은 크기 요소뿐 아니라 방향 요소도 가지고 있다. 크기 요소만 가진 물리량을 특히 '스칼라 물리량'이라고 하고, 크기 요소와 방향 요소를 가진 물리량을 특히 '벡터 물리량'이라고 한다. 질량과 길이는 스칼라 물리량이고, 위치는 벡터 물리량이다. 벡터 물리량은 기호로 나타낼 때 $\vec{P}$와 같이 위에 화살표를 붙여 나타낸다. 방향을 나타내는 방법으로 오른쪽, 왼쪽, 동쪽, 서쪽과 같은 용어를 사용할 수도 있지만, 좌표계를 활용하여 $+x$ 방향, $-x$ 방향, $+y$ 방향, $-y$ 방향과 같이 표현할 수도 있다.

| 물리량(영어) | 기호 | 단위 | 설명 |
|:---------:|:---:|:---:|:----:|
| 길이(Length) | $L$ | $\rm{m}$| 두 점 사이의 거리 |
| 위치(Position) | $\vec{P}$ | $\rm{m}$| 기준점으로부터 떨어진 거리와 방향 |

### 시간(time)

시간은 시각과 시각 사이의 간격을 의미한다. 시각은 어떤 때를 의미한다. 시각은 $t$\[티]를 기호로, $\rm{s}$\[세컨드]를 단위로 사용한다.

#### 변화량

두 물리량의 차이를 변화량이라고 한다. 기호로 $\Delta$\[델타]를 사용하나, $\Delta$만으로 나타내지 않고, 시각의 변화량은 $\Delta t$와 같이 나타낸다. 변화량을 구하는 방법은 나중 상태의 물리량에서 이전 상태의 물리량을 빼는 것이다. 즉, 시간 $\Delta t$는 다음과 같이 구한다.
$$
\Delta t = t_{\rm{나중}} - t_{\rm{이전}}
$$
보통 $t_{\rm{나중}}$과 $t_{\rm{나중}}$을, $t_{\rm{2}}$와 $t_{\rm{1}}$이나, $t$와 $t_{\rm{0}}$으로 나타내기도 한다. 또한, 처음 시각을 $0$으로 약속하면, $\Delta t = t_{\rm{나중}} - 0 = t_{\rm{나중}}$이므로, '나중'이란 부연 설명이 불필요하므로, 이를 생략하고, 시각과 시간을 구분하지 않고 사용하기도 한다.

| 물리량(영어) | 기호 | 단위 | 설명 |
|:---------:|:---:|:---:|:----:|
| 시각(at time) | $t$ | $\rm{s}$| 때 |
| 시간(time duration) | $\Delta t$ | $\rm{s}$| 두 시각 사이의 간격 |

### 물리량의 연산

물리량은 서로 더하고, 빼고, 곱하고, 나누는 등의 연산이 가능하다. 그러나, 특히, 더하고 뺄 때는 두 물리량의 종류가 같아야 한다. 예를 들어 질량이 $1 \rm{kg}$이고 길이가 $2 \rm{m}$인 물체 A와 질량이 $3 \rm{kg}$이고 길이가 $1 \rm{m}$인 물체 B가 있을 때, 두 물체의 총 질량은 $m_A +m_B = 1 \rm{kg} + 3 \rm{kg} = 4 \rm{kg}$으로 구할 수 있다. 같은 방식으로 두 물체의 총 길이는 $3 \rm{m}$이고, 길이 차이는 $1 \rm{m}$임을 쉽게 구할 수 있다. 그러나 물체 A의 질량과 길이를 더하거나 빼는 연산은 불가능하다. 질량, 길이, 시간과 같은 물리량의 종류를 차원이라고 한다. 더하고 빼는 연산은 차원이 같은 물리량끼리만 가능하다.

차원이 다른 물리량은 더하고 빼는 것이 불가능하지만, 곱하고 나누는 것은 가능하다. 예를 들어, 물체 A의 질량과 길이를 곱하여 $1 \rm{kg} \times 2 \rm{m} = 2 \rm{kg \cdot m}$를, 나누어 $1 \rm{kg} \div 2 \rm{m} = 0.5 \rm{kg/m}$를 구할 수 있다. 그렇게 구한 값이 어떤 의미를 갖는 지가 문제일 뿐이다. 전자와 같은 것은 별 의미가 없지만, 후자의 경우에는 길이에 대한 밀도를 의미한다.

### 여러 가지 물리량

물리학은 여러 분야가 있다. 역학, 전자기학, 파동학 등이 있는데, 그 중 물체에 작용하는 힘과 그로 인한 물체의 운동에 관한 분야인 역학에서는 다음과 같은 물리량을 활용한다. 아래 물리량 외에도 몇가지 물리량이 더 있으나, 특별한 상황에서 사용되는 물리량은 그때 더 소개하기로 한다.

| 물리량(영어) | 기호 | 단위 | 설명 |
|:---------:|:---:|:---:|:----:|
| 질량(mass) | $m$ | $\rm{kg}$| 물질의 양|
| 길이(Length) | $L$ | $\rm{m}$| 두 점 사이의 거리 |
| 위치(Position) | $\vec{P}$ | $\rm{m}$| 기준점으로부터 떨어진 거리와 방향 |
| 변위(displacement) | $\Delta \vec{P}$ | $\rm{m}$ | 위치의 변화량 |
| 시각(at time) | $t$ | $\rm{s}$| 때 |
| 시간(time duration) | $\Delta t$ | $\rm{s}$| 두 시각 사이의 간격 |
| 속력(speed) | $v$ | $\rm{m/s}$ | 빠르기, 시간 변화에 따른 위치의 변화율의 크기 |
| 속도(velocity) | $\vec{v}$ | $\rm{m/s}$ | 빠르기와 방향 |
| 가속도(acceleration) | $\vec{a}$ | $\rm{m/s^2}$ | 시간 변화에 따른 속도의 변화율 |
| 운동량(momentum) | $\vec{p}$ | $\rm{kg\cdot m/s}$ | 물체의 질량과 속도의 곱 |
| 힘(Force) | $\vec{F}$ | $\rm{N} = \rm{kg\cdot m/s^2}$ | 물체의 모양이나 운동 상태를 변화시키는 원인 |
| 충격량(Impulse) | $\vec{I}$ | $\rm{N \cdot s}$ | 힘과 힘이 작용한 시간의 곱 |
| 일(Work) | $W$ | $\rm{J} = \rm{N\cdot m}$ | 힘의 크기와 힘이 작용한 방향으로의 변위의 크기의 곱 |
| 에너지(Energy) | $E$ | $\rm{J}$ | 일을 할 수 있는 능력 |

## 역학(mechanics)

역학은 물체에 작용하는 힘과 그로 인한 물체의 운동을 다루는 분야이다. 때문에 물체에 작용하는 힘과 물체의 운동을 파악하고 그들의 관계를 설명하는 것이 중요하다. 힘은 물체의 모양이나 운동 상태를 변화시키는 원인이다. 운동은 물체의 위치가 달라지는 것을 의미한다. 우리는 아직까지 시간의 흐름 아래에 자유롭지 않다. 그래서 물체의 운동도 시간의 흐름에 따라 보아야 한다. 물체의 위치가 달라졌다는 것을 알기 위해서는 최소한 두 번의 관찰이 필요하다. 그런데 두 번의 관찰에는 그 사이에 시간의 흐름이 있어야 한다. 따라서 물체의 운동 상태란 물체의 위치 변화를 시간 흐름에 따라 관찰하고 그 정도가 얼마나 크고 작은 지를 설명하는 물리량이 되는 것이 타당할 것이다.

### 이동 거리(distance), 변위(displacement)

물체가 이동한 경로를 따라 측정한 길이를 이동거리라고 한다. 기호로 $s$를 사용한다. 변위는 물체의 위치 변화량이다. 기호로 $\Delta \vec P$를 사용한다. 변위는 다음과 같이 구한다.

$$
\Delta \vec P = \vec{P}_{\rm{2}} - \vec{P}_{\rm{1}}
$$

###### QUIZ

물체 A는 동쪽으로 $300\rm{m}$ 움직이고, 이어서 서쪽으로 $100\rm{m}$ 움직였다. 이때 A의 이동거리와 변위를 구하시오.
> 답: 이동거리는 $400\rm{m}$, 변위는 동쪽으로 $200\rm{m}$이다.

> 풀이: 이동거리는 물체가 이동한 경로를 따라 길이를 측정한다. 먼저 $300\rm{m}$ 움직이고, 이어서 $100\rm{m}$ 움직였으므로 이동거리 $s=300\rm{m}+100\rm{m}=400\rm{m}$이다. 변위는 나중 위치와 처음 위치의 차이이다. 먼저 동쪽으로 $300\rm{m}$ 움직였으므로, 기준점인 처음 위치로부터 동쪽으로 $300\rm{m}$ 떨어진 곳에 있다. 이어서 서쪽으로 $100\rm{m}$ 움직였으므로, 처음 위치로부터 동쪽으로 $200\rm{m}$ 떨어진 곳에 있다. 따라서 변위는 동쪽으로 $200\rm{m}$이다. 동쪽 방향을 $+x$ 방향으로 취급한다면 계산은 다음과 같다. $\Delta \vec P = (+300\rm{m}) +(-100\rm{m}) = +200\rm{m}$

### 속력(speed), 속도(velocity)

물체가 운동하는 동안 물체가 이동한 거리와 운동하는 데 걸린 시간의 비율을 속력이라고 한다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

$$
\rm{속력} = \frac{\rm{이동\ 거리}}{\rm{걸린\ 시간}}
$$

속력은 $v$를 기호로 사용한다. 위 식을 기호로 나타내면 다음과 같다.

$$
v = \frac{s}{\Delta t}
$$

물체가 운동하는 동안 물체의 변위와 걸린 시간의 비율을 속도라고 한다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

$$
\rm{속도} = \frac{\rm{변위}}{\rm{걸린\ 시간}}
$$

속도는 $\vec v$를 기호로 사용한다. 위 식을 기호로 나타내면 다음과 같다.

$$
\vec v = \frac{\Delta \vec P}{\Delta t}
$$

### 속력이 일정한 운동

속력이 일정하면 속력을 구하는 식 또한 일정하다.

$$
\rm{속력}=\rm{일정} \rightarrow \frac{\rm{이동\ 거리}}{\rm{걸린\ 시간}}=\rm{일정}
$$

이를 기호로 나타내면 다음과 같다.

$$
v = \rm{일정} \rightarrow \frac{s}{\Delta t} = \rm{일정}
$$

그리고 속력의 정의로서 여전히 다음과 같은 식이 성립한다.

$$
v = \frac{s}{\Delta t}
$$

또한, 다음과 같은 식도 성립한다.

$$
s = v \cdot \Delta t ,~~~~~~~~ \Delta t = \frac{s}{v}
$$

이러한 운동을 등속 운동이라 한다.

### 평균 속력, 순간 속력

만일, 물체 A가 $30\rm{s}$ 동안 일정한 속력으로 동쪽으로 $300\rm{m}$ 움직이고, 이어서 $1\rm{s}$ 동안 일정한 속력으로 서쪽으로 $100\rm{m}$ 움직였면, 동쪽으로 이동하는 동안은 속력이 $300\rm{m}/30\rm{m} = 10\rm{m/s}$이고, 서쪽으로 이동하는 동안은 속력이 $100\rm{m}/1\rm{s}=100\rm{m/s}$이다. 전체를 두고 보면 $400\rm{m}$를 $31\rm{s}$ 동안 이동했으므로, 속력이 약 $400\rm{m}/31\rm{s}=13\rm{m/s}$이다. 이렇게 꽤 긴 시간 동안의 속력을 평균 속력이라고 한다. 꽤 긴 시간이란 순간이 아닌 시간이다. 순간이란 시간은 $0\rm{s}$이라 해도 될 만큼 아주 짧은 시간이다. 굳이 나타내자면, 순간은 $0.\underbrace{000\cdots0}_{\rm{무한\ 개}}1\rm{s}$ 라고 표현하면 될 것 같다.

순간 속력도 아주 짧지만 어쨌거나 어떤 시간 동안의 이동 거리와 시간의 비율로 구한다. 하지만 시간이 너무 짧기 때문에 이를 구하기 어려울 수 있다. 위 A와 같은 경우에는 동쪽으로 이동하는 $30\rm{s}$ 동안 일정한 속력으로 이동했으므로, 그 사이 $10\rm{s}$가 지난 순간의 속력은 $30\rm{s}$ 동안의 평균 속력과 같은 값이다.

### 순간과 극한, 미분, 평균
순간을 수학적으로 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$
\Delta t_\rm{순간}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} {\Delta t}
$$
이때 $\lim$\[limit; 리미트]는 극한을 의미한다. 임의의 시각 $t$에 대해 그 때는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$
t = \lim_{\Delta t \rightarrow 0}{(t+\Delta t)}
$$
이렇게 짧은 순간 $\lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\Delta t}$는 $dt$라고도 쓴다. 이런 변화량을 미소 변화량이라고도 부른다. 앞으로 변화량 기호 $\Delta$는 꽤 큰 변화량을 다루거나, 변화량의 의미를 강조할 때 사용한다. 움직이는 물체를 관찰한 시간이 짧을 수록($\Delta t \rightarrow 0$) 이동 거리도 작아진다. 미소 변화량이라 부를 만큼 짧으면 이동 거리도 $0$에 가깝게 작아진다. 이런 미소 변화량의 비율을 순간 변화율, 미분값 등으로 부른다. 순간 속력을 미분 표현으로 나타내면 다음과 같다. 단, 이때 이동 거리 $s$도 변화량으로 취급하여 $\Delta s$라 쓰는 것으로 약속한다.
$$
v_{\rm{순간}}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0 }{\frac{\Delta s}{\Delta t}} = \frac{ds}{dt}
$$
미분 표현은 $\dfrac{dy}{dx}$와 같은 꼴로 쓰며, $\dfrac{d}{dx} y$와 같이 쓸 수도 있다. 읽을 때는 \[디와이-디엑스]라고 하며, $y$를 $x$에 대해 미분한다고도 한다.

순간 속력은 $v_{\rm {순간}}$, 평균 속력은 $v_{\rm{평균}}$이라고 쓸 수 있다. 때로는 순간 속력은 $v$, 평균 속력은 $\bar{v}$와 같이 쓰기도 한다. 고로, 일반적으로 $v$라 쓰인 것은 순간 속력을 의미한다고 보아도 된다.

### 속도가 일정한 운동

속력이 일정한 운동에서와 같은 이유로 속도가 $\vec v$로 일정한 운동은 다음과 같은 식이 성립한다.

$$
\vec v = \frac{\Delta \vec P}{\Delta t} = \rm{일정}
$$
$$
\vec P= \vec v \cdot \Delta t, ~~~~~~~~ \Delta t = \frac{\vec P}{\vec v}
$$
이러한 운동을 등속도 운동, 또는 등속 직선 운동이라 한다.

### 합계, 디지털, 양자, 아날로그, 연속, 적분

자연수를 $1$부터 $n$까지 모두 더하는 식은 $1+2+3+\cdots+n$이다. 이것을 간단하게 다음과 같이 나타내기도 한다.
$$
1+2+3+\cdots+n = \sum_{n=1}^{n}{n}
$$
이때 $\sum$\[sigma; 시그마]는 뒤에 나온 것을 모두 더한다는 의미를 가지고 있고, 그 아래와 위에 시작 조건과 끝 조건을 작성한다. 시작 조건부터 끝 조건에 도달할 때까지 뒤에 나온 변수를 $1$씩 증가한 수를 모두 더하는 것이 위 식을 조금 더 명료하게 표현하면 다음과 같다.
$$
\sum_{\rm{시작\ 조건:\ }m=1}^{\rm{끝\ 조건:\ }m=n}{m}
$$
위 식은 변수 $m$이 처음에는 $1$이고, $m$이 $n$이 될 때까지 $1$씩 증가시키며, 이때 나오는 모든 $m$을 더한다는 의미를 가지고 있다. 첫번째 $m$을 $m_1$, 두번째 $m$을 $m_2$, $n$ 보다 작은 임의의 자연수 $i$에 대하여 $i$번째 $m$을 $m_i$라 하였을 때 위 식은 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$
\sum_{m=1}^{n}{m} = m_1 + m_2 + m_3 + \cdots + m_i + \cdots + m_n
$$
이때 $m_1 = 1$이고, $m_2 = m_1 + 1 = 1+1=2$, $m_3 = m_2 +1 = 2 + 1$, ..., $m_i = m_{i-1} +1 = (i-1)+1 = i$, ..., $m_n = (n-1) + 1 = n$이므로, 위 식은 $1+2+3+ \cdots + i + \cdots + n =1+2+3+\cdots +n$이다.
이렇게 값을 모두 더하는 것을 합계라고 한다.

위에서 더한 값들은 자연수로, $1$, $2$, $3$ 등이다. 자연수만 두고 봤을 때에는 $1$ 다음에 오는 수는 $2$, $2$ 다음에 오는 수는 $3$이므로, $1$, $2$, $3$, ..., $n$은 모두 연속적으로 있는 것처럼 여겨지기도 하나, 자연수는 수(일반적으로 '수'라 함은 '실수'를 말한다)의 일부로, $1$과 $2$ 사이에는 $1.1$, $1.2$, $1.3579$ 등의 수가 있다. 두 자연수 사이에는 무수히 많은 수가 있다. 우리가 다루는 수는 어떤 수 다음에 나오는 수를 표현할 수 없다. 예를 들어, $1$ 다음에 나올 자연수는 $2$지만, $1$ 다음에 나올 수는 굳이 표현하자면 $1.\underbrace{000\cdots0}_{\rm{무한\ 개}}1$이겠으나, 이 수는 $1$로 끝나는 수이다. 끝이 있는 무한은 그 자체로 모순이므로 $1$ 다음 수를 표현할 수 없다. 따라서 $1$ 다음 수는 $1.\underbrace{000\cdots0}_{\rm{무한히\ 많은\ 유한\ 개}}1$로 표현할 수 밖에 없고, 이 수는 엄밀히 $1$과는 연속적으로 이어진 수가 아니다. 즉, 우리가 표현하는 수는 불연속적이다. 이렇게 불연속적으로 표현된 것을 디지털 혹은 양자화되어 있다고 한다.

한편 우리가 살아가는 세상은 아날로그이며 연속적인 변화가 나타나는 것으로 보인다. 때문에, 자연 현상을 해석하는 데에는 연속적인 것에 대한 계산이 필요하고, 이를 위한 도구로 극한을 활용하여 정한 미소 변화량을 이용한다. 연속은 아니지만 거의 연속적인 것으로써 아날로그 세상을 표현하고, 해석하려는 것이다.

### 가속도

물체의 속도가 변한 정도와 걸린 시간의 비율을 가속도라고 한다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

$$
\rm{가속도} = \frac{속도\ 변화량}{걸린\ 시간}
$$

가속도는 $\vec a$를 기호로 사용한다. 위 식을 기호로 나타내면 다음과 같다.

$$
\vec a = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}
$$

이때 가속도는 평균 가속도이다. 순간 가속도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$
\vec a = \lim _{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}}=\frac{d\vec v}{dt}
$$

### 힘(Force)

물체의 모양이나 운동 상태를 변화시키는 원인을 힘이라고 한다. 물체는 물질이 모여 형체를 이룬 것을 말한다. 우린 일시적으로 모든 물체의 모양은 점이라고 가정한다. 점은 크기가 없는 것이므로, 물체의 모양이 변하는 것이 불가능하다고 가정한다. 고로, 힘을 물체의 운동 상태를 변화시키는 원인이라 하겠다.

다시, 힘은 '물체'의 '운동 상태'를 변화시키는 원인이므로 '물체'와 '운동 상태'를 고려하여야 한다. 물체의 운동을 기술함에 있어, '물체'를 고려하는 데에는 물체의 색깔이나 길이 등의 요소는 물체를 점이라 가정한 순간부터 의미가 없는 물리량이다. 물체에서 고려할 것은 단 하나, 질량뿐이다. 운동 상태는 시간 흐름에 따라 물체가 이동한 정도를 나타내는 개념인 속도가 가장 적절하겠다.

서로 차원이 다른 두 물리량, 질량과 속도를 동시에 고려하여야 하는데, 이럴 때에는 둘을 곱하여 나타낸다. 즉, 물체의 운동 상태는 $m\cdot \vec v$로 나타낼 수 있다.

힘은 이를 변화시키는 원인이라 하였으며, 변화는 시간 흐름에 따라 관찰하고, 변화 정도는 시간과의 비율로써 나타내는 것이 일반적이므로, 힘은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$
\vec F = \frac{\Delta (m \cdot \vec v)}{\Delta t}
$$