---
# System prepended metadata

title: Midterm Review
tags: [Lecture HCMUS, Probability & Statistics]

---

# :loudspeaker: ÔN TẬP ĐỀ THI GIỮA HỌC KỲ II
## ĐỀ THI GIỮA KỲ I 2023 - 2024 CA :one:
### ==**++Câu 01++**== *(3,0 điểm)*
:::info
Một công ty sản xuất ô tô thực hiện khảo sát ý kiến của khách hàng về các sản phẩm của mình. Kết quả thu được như sau: $90\%$ số sản phẩm loại 1 nhận được đánh giá tích cực; $60\%$ số sản phẩm loại 2 nhận được đánh giá tích cực, và $10\%$ số sản phẩm loại 3 nhận được đánh giá tích cực. Giả sử, công ty sản xuất $40\%$ sản phẩm loại 1, $40\%$ sản phẩm loại 2 và $20\%$ sản phẩm loại 3. Một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên để kiểm tra.
a) Tính xác suất sản phẩm được chọn nhận được đánh giá tích cực? 
b) Tính xác suất sản phẩm được chọn nhận được đánh giá tích cực hoặc thuộc loại 1. 
c) Nếu sản phẩm được chọn nhận được đánh giá tích cực, thì xác suất sản phẩm đó thuộc loại 1 là bao nhiêu?
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
Gọi $A_1$ là biến cố để một sản phẩm được chọn là sản phẩm loại 1.
$\implies \mathbb{P}(A_1) = 0.4$
Gọi $A_2$ là biến cố để một sản phẩm được chọn là sản phẩm loại 2.
$\implies \mathbb{P}(A_2) = 0.4$
Gọi $A_3$ là biến cố để một sản phẩm được chọn là sản phẩm loại 3.
$\implies \mathbb{P}(A_3) = 0.2$
Gọi $G$ là biến cố để một sản phẩm được đánh giá tích cực.
Theo đề bài, ta có:
* $90\%$ số sản phẩm loại 1 nhận được đánh giá tích cực $\implies \mathbb{P}(G|A_1) = 0.9$
* $60\%$ số sản phẩm loại 2 nhận được đánh giá tích cực $\implies \mathbb{P}(G|A_2) = 0.6$
* $10\%$ số sản phẩm loại 3 nhận được đánh giá tích cực $\implies \mathbb{P}(G|A_3) = 0.1$

a) Xác suất sản phẩm được chọn nhận được đánh giá tích cực là: $$\begin{split} \mathbb{P}(G) &= \mathbb{P}(G|A_1) \times \mathbb{P}(A_1) + \mathbb{P}(G|A_2) \times \mathbb{P}(A_2) + \mathbb{P}(G|A_3)  \times \mathbb{P}(A_3) \\ &= 0.9 \times 0.4 + 0.6 \times 0.4 + 0.2 \times 0.1 \\ &= 0.62\end{split}$$
b) Xác suất sản phẩm được chọn nhận được đánh giá tích cực hoặc thuộc loại 1 là: $$\begin{split} \mathbb{P}(G + A_1) &= \mathbb{P}(G) + \mathbb{P}(A_1) - \mathbb{P}(G \times A_1) \\ &= \mathbb{P}(G) + \mathbb{P}(A_1) - \mathbb{P}(G | A_1) \times \mathbb{P}(A_1) \\ &= 0.62 + 0.4 - 0.9 \times 0.4 \\&= 0.66 \end{split}$$
c) Nếu sản phẩm được chọn nhận được đánh giá tích cực, thì xác suất sản phẩm đó thuộc loại 1 là: $$\begin{split} \mathbb{P}(A_1|G) &= \displaystyle \frac{\mathbb{P}(G|A_1) \times \mathbb{P}(A_1)}{\mathbb{P}(G)} \\ &= \displaystyle \frac{0.9 \times 0.4}{0.62} = \displaystyle \frac{18}{31} \end{split}$$
:::
### ==**++Câu 02++**== *(3,0 điểm)*
:::info
Đường kính ($X$) của một phân tử (đv: $\mu m$) được mô hình hoá bởi hàm mật độ xác suất $$\begin{split} f(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{C}{(x-6)^2} &, nếu \quad 0 \leq x \leq 4 \\ 0 &, nơi \quad khác \end{cases} \end{split}$$
a) Tìm hằng số $C$; 
b) Tính giá trị của hàm phân phối xác suất tại $3$; 
c) Cho $Y = 2X + 3$. Tính kỳ vọng của Y.
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
Gọi $X$ là biến ngẫu nhiên liên tục thể hiện đường kính trung bình của một phân tử (đơn vị: $\mu m$)
a) Vì $f$ là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục $X$ nên $$\begin{split} \begin{cases} f(x) \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1\end{cases}\end{split}$$
* Ta có: $f(x) \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$
	* (1) Đối với $$\begin{split}\forall x \in [0;4] \subset \mathbb{R} \Leftrightarrow (x - 6)^2 \geq 0 \end{split}$$ mà $$f(x) = \displaystyle \frac{C}{(x-6)^2} \geq 0 \quad \forall x \in [0;4] \subset \mathbb{R}$$ nên $$C \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$
	* (2) Đối với $\forall x \in (-\infty;0] \vee [4;+\infty) \subset \mathbb{R} \implies f(x) = 0 \geq 0 \to$ thỏa.
* Ta có: $$\begin{split}\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1 \quad \forall x \in \mathbb{R} &\Leftrightarrow \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle \frac{C}{(x - 6)^2} dx = 1 \\ &\Leftrightarrow \displaystyle \int_{-\infty}^{0}\displaystyle \frac{C}{(x - 6)^2}dx + \displaystyle \int_{0}^{4}\displaystyle \frac{C}{(x - 6)^2}dx \\ &+ \displaystyle \int_{4}^{+\infty}\displaystyle \frac{C}{(x - 6)^2}dx = 1 \\ &\Leftrightarrow (\displaystyle -\frac{C}{x-6})\displaystyle |_{x=0}^{x=4} = 1 \\ &\Leftrightarrow C = 3 \end{split}$$
b) Tính giá trị của hàm phân phối xác suất tại $3$.
Ta có: $\begin{split} f(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{3}{(x-6)^2} &, nếu \quad 0 \leq x \leq 4 \\ 0 &, nơi \quad khác \end{cases} \end{split}$
Lúc này, $$\begin{split}F(3) &= \mathbb{P}(X \leq 3) \\ &= \displaystyle \int_{-\infty}^{3}f(x)dx \\ &= \displaystyle \int_{-\infty}^{0}f(x)dx + \displaystyle \int_{0}^{3}f(x)dx \\ &= \displaystyle \int_{0}^{3} \displaystyle \frac{3}{(x-6)^2}dx \\ &= \displaystyle \frac{1}{2}\end{split}$$
c) Cho $Y = 2X + 3$. Tính kỳ vọng của Y.
Ta có: $$\begin{split}\mathbb{E}(X) &= \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx \\ &= \displaystyle \int_{-\infty}^{0}xf(x)dx + \displaystyle \int_{0}^{4}xf(x)dx + \displaystyle \int_{4}^{+\infty}xf(x)dx \\ &= \displaystyle \int_{0}^{4}\displaystyle \frac{3x}{(x-6)^2}dx \\ &= 6 - 3ln(3) \end{split}$$
Ta có: $$\begin{split}Y = 2X + 3 &\Leftrightarrow \mathbb{E}(Y) = \mathbb{E}(2X + 3) \\ &\Leftrightarrow \mathbb{E}(Y) = 2\mathbb{E}(X) + 3 \\ &\Leftrightarrow \mathbb{E}(Y) = 2 \times (6 - 3ln(3)) + 3 = 15 - 6ln(3) \end{split}$$
:::
### ==**++Câu 03++**== *(3,0 điểm)*
:::info
Giả sử thời gian hoàn thành đường chạy cự li $100m$ của các nam sinh trường $T$ là một biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn với trung bình là $15$ giây và độ lệch chuẩn là $1.5$ giây. Những nam sinh có thành tích chạy dưới 11,5 giây sẽ được chọn vào đội tuyển của trường. 
a) Tính tỷ lệ nam sinh được chọn vào đội tuyển; 
b) Trong một nhóm gồm $30$ nam sinh được chọn ngẫu nhiên, hãy tính xác suất để có ít nhất hai nam sinh được chọn vào đội tuyển. Gọi $Y$ là tổng thời gian hoàn thành đường chạy của $30$ sinh viên này. Tính $\mu_Y – \sigma_Y$, với $\mu_Y$ và $\sigma_Y$ lần lượt là kỳ vọng và độ lệch chuẩn của $Y$.

:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
:::
### ==**++Câu 04++**== *(1,0 điểm)*
:::info
Tuổi trung bình của sinh viên một trường đại học là $22.3$ với độ lệch chuẩn là $4$. Chọn ngẫu nhiên $64$ sinh viên. Tính xác suất tuổi trung bình của các sinh viên này lớn hơn $23$.
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
Gọi $X_1, X_2, ..., X_m$ lần lượt là các biến ngẫu nhiên liên tục thể hiện số tuổi của từng sinh viên một trường đại học trong tổng số $m = 64$ $(m \leq 64)$ sinh viên được chọn ngẫu nhiên.
	$\implies X_1, X_2,..., X_{64}$ là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng một phân phối xác suất nào đó với trung bình $\mu = 22.3$ và độ lệch chuẩn $\sigma = 4$, tức là $X_i \sim \mathcal{N}(22.3; 4^2)$ với $i = \overline{\rm 1, 2, ..., 64}$.
	* Đặt $\overline{\rm X} = \displaystyle \frac{X_1 + X_2 + ... + X_m}{m}$ có phân phối chuẩn với độ trung bình $\mu_{\overline{\rm X}} = \mu = 22.3$ và độ lệch chuẩn $\sigma^2_{\overline{\rm X}} = \displaystyle \frac{\sigma^2}{m} = 0.25$
		$\implies \overline{\rm X} \sim \mathcal{N}(22.3;0.25)$
	Xác suất tuổi trung bình của các sinh viên này lớn hơn $23$ là: $$\begin{split}\mathbb{P}(\overline{\rm X} > 23) &= 1 - \mathbb{P}(\displaystyle \frac{\overline{\rm X} - 22.3}{\sqrt{0.25}} \leq \displaystyle \frac{23 - 22.3}{\sqrt{0.25}}) \\ &= 1 - \mathbb{P}(Z \leq 1.4) = 1 - \Phi(1.4) \approx 0.0808\end{split}$$
:::
## ĐỀ THI GIỮA KỲ I 2023 - 2024 CA :two:
### ==**++Câu 01++**== *(3,0 điểm)*
:::info
Một nhà máy có bốn ca làm việc. Trung bình mỗi ngày, tỉ lệ phế phẩm của bốn ca lần lượt là $4\%$, $3\%$, $2\%$ và $1\%$ tương ứng từ ca $1$ đến ca $4$. Giả sử số lượng sản phẩm của bốn ca có tỉ lệ $3:3:2:2$ tương ứng từ ca $1$ đến ca $4$. Một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên để kiểm tra.
a) Tính xác suất sản phẩm được chọn là phế phẩm. 
b) Tính xác suất sản phẩm được chọn là phế phẩm hoặc được sản xuất bởi ca $3$. 
c) Nếu sản phẩm được chọn là phế phẩm, thì xác suất nó là sản phẩm của ca $3$ là bao nhiêu?
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
Gọi $A_1$ là biến cố để "một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm ca 1"
$\implies \mathbb{P}(A_1) = \displaystyle \frac{3}{3 + 3 + 2 + 2} = 0.3$
Gọi $A_2$ là biến cố để "một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm ca 2"
$\implies \mathbb{P}(A_2) = \displaystyle \frac{3}{3 + 3 + 2 + 2} = 0.3$
Gọi $A_3$ là biến cố để "một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm ca 3"
$\implies \mathbb{P}(A_3) = \displaystyle \frac{2}{3 + 3 + 2 + 2} = 0.2$
Gọi $A_4$ là biến cố để "một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm ca 4"
$\implies \mathbb{P}(A_4) = \displaystyle \frac{2}{3 + 3 + 2 + 2} = 0.2$
Gọi $G$ là biến cố để "một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là phế phẩm".$$\implies \begin{cases} \mathbb{P}(G|A_1) = 0.04 \\  \mathbb{P}(G|A_2) = 0.03 \\ \mathbb{P}(G|A_3) = 0.02 \\ \mathbb{P}(G|A_4) = 0.01\end{cases}$$
a) Xác suất để sản phẩm được chọn là phế phẩm là: $$\begin{split} \mathbb{P}(G) &= \mathbb{P}(G|A_1) \times \mathbb{P}(A_1) + \mathbb{P}(G|A_2) \times \mathbb{P}(A_2) + \mathbb{P}(G|A_3)  \times \mathbb{P}(A_3) + \mathbb{P}(G|A_4) \times \mathbb{P}(A_4) \\ &= 0.04 \times 0.3 + 0.03 \times 0.3 + 0.02\times 0.2 + 0.01 \times 0.2 \\ &= 0.027 \end{split} $$
b) Xác suất để sản phẩm được chọn là phế phẩm hoặc được sản xuất bởi ca $3$ là : $$\begin{split} \mathbb{P}(G + A_3) &= \mathbb{P}(G) + \mathbb{P}(A_3) - \mathbb{P}(G \times A_3) \\ &= \mathbb{P}(G) + \mathbb{P}(A_3) - \mathbb{P}(G | A_3) \times \mathbb{P}(A_3) \\ &= 0.027 + 0.2 - 0.02 \times 0.2 \\&= 0.223 \end{split}$$
c) Nếu sản phẩm được chọn là phế phẩm, xác suất nó là sản phẩm của ca $3$ là: $$ \begin{split} \mathbb{P}(A_3|G) &= \displaystyle \frac{\mathbb{P}(G|A_3) \times \mathbb{P}(A_3)}{\mathbb{P}(G)} \\ &= \displaystyle \frac{0.02 \times 0.2}{0.027} \\ &= \displaystyle \frac{4}{27} \approx 0.148 \end{split} $$
:::
### ==**++Câu 02++**== *(3,0 điểm)*
:::info
Tổng số bức xạ mặt trời hằng ngày ($X$) đến một địa điểm $D$ trong tháng Mười có hàm mật độ xác suất là (với các số đo theo đơn vị: 100 calories) $$\begin{split} f(x) = \begin{cases} C.(x - 2).(6 - x) &, nếu \quad 2 \leq x \leq 6 \\ 0 &, nơi \quad khác \end{cases} \end{split}$$
a) Tìm hằng số $C$
b) Tính giá trị hàm phân phối xác suất tại $5$.
c) Cho $Y = 3.X^2 + 4$. Tính kỳ vọng $Y$.
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
a) Gọi $X$ là biến ngẫu nhiên thể hiện tổng số bức xạ mặt trời hằng ngày đến một địa điểm $D$ trong tháng Mười (đơn vị: 100 calories)
$\implies X$ là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất $f_X$ đã cho 
Vì $f$ là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục $X$ nên $$\begin{split} \begin{cases} f(x) \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1\end{cases}\end{split}$$
* Ta có: $f(x) \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$
	* (1) Đối với $$\begin{split}\forall x \in [2;6] \subset \mathbb{R} \Leftrightarrow (x - 2).(6 - x) \geq 0 \end{split}$$ mà $$f(x) = C.(x - 2).(6-x) \geq 0 \quad \forall x \in [2;6] \subset \mathbb{R}$$ nên $$C \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$
	* (2) Đối với $\forall x \in (-\infty;2] \vee [6;+\infty) \subset \mathbb{R} \implies f(x) = 0 \geq 0 \to$ thỏa.
* Ta có: $$\begin{split}\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1 \quad \forall x \in \mathbb{R} &\Leftrightarrow \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}C.(x - 2).(6 - x)dx = 1 \\ &\Leftrightarrow \displaystyle \int_{-\infty}^{2}C.(x - 2).(6 - x)dx + \displaystyle \int_{2}^{6}C.(x - 2).(6 - x)dx \\ &+ \displaystyle \int_{6}^{+\infty}C.(x - 2).(6 - x)dx = 1 \\ &\Leftrightarrow (4Cx^2 - \displaystyle \frac{C.x^3}{3} -12Cx)\displaystyle |_{x=2}^{x=6} = 1 \\ &\Leftrightarrow C = \displaystyle \frac{3}{32} \end{split}$$
b) Tính giá trị hàm phân phối xác suất tại 5.
Ta có: $\begin{split} f(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{3}{32}.(x - 2).(6 - x) &, nếu \quad 2 \leq x \leq 6 \\ 0 &, nơi \quad khác \end{cases} \end{split}$$
Lúc này, $$\begin{split}F(5) &= \mathbb{P}(X \leq 5) \\ &= \displaystyle \int_{-\infty}^{5}f(x)dx \\ &= \displaystyle \int_{-\infty}^{2}f(x)dx + \displaystyle \int_{2}^{5}f(x)dx \\ &= \displaystyle \int_{2}^{5}\displaystyle \frac{3}{32}.(x - 2).(6 - x)dx \\ &= \displaystyle \frac{27}{32}  \end{split}$$
c) Tính kỳ vọng $X$.
Ta có: $$\begin{split} \mathbb{E}(X^2) &= \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}x^2.f(x)dx \\ &= \displaystyle \int_2^6x^2.(\displaystyle \frac{3}{32}.(x - 2).(6 - x))dx \\ &= \displaystyle \frac{84}{5}\end{split}$$
Ta có: $$\begin{split} Y = 3.X^2 + 4 &\Leftrightarrow \mathbb{E}(Y) = \mathbb{E}(3.X^2 + 4) \\ &\Leftrightarrow \mathbb{E}(Y) = 3.\mathbb{E}(X^2) + 4 \\ &\Leftrightarrow \mathbb{E}(Y) = 3.(\displaystyle \frac{84}{5}) + 4 \\ &\Leftrightarrow \mathbb{E}(Y) = \displaystyle \frac{272}{5}\end{split}$$
:::
### ==**++Câu 03++**== *(3,0 điểm)*
:::info
Một công ty điện gia dụng ghi nhận rằng thời gian giữa hai lượt bảo hành liên tiếp cho các sản phẩm của họ là một biến ngẫu nhiên có phân phối mô với trung bình $1.5$ ngày (1 ngày = 24 giờ).
a) Tính xác suất để không có lượt bảo hành nào được tiếp nhận bởi công ty này trong khoảng thời gian $5$ giờ.
b) Tính xác suất để công ty này tiếp nhận ít nhất $2$ lần bảo hành trong khoảng thời gian $5$ giờ.
c) Một ngày ngẫu nhiên được chọn để khảo sát, biết rằng công ty này đã tiếp nhận nhiều hơn $1$ lần bảo hành trong ngày đó. Tính xác suất để công ty này không tiếp nhận quá $3$ lần bảo hành trong ngày đó.
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
Gọi $X$ là biến ngẫu nhiên liên tục thể hiện thời gian giữa hai lượt bảo hành liên tiếp cho các sản phẩm của công ty điện dụng (đơn vị : giờ).
	$\implies X$ có phân phối mũ với trung bình $\mathbb{E}(X) = \displaystyle \frac{1}{\lambda} = 1.5 \times 24 = 36> 0 \Leftrightarrow \lambda = \displaystyle \frac{1}{36}$ 
	$\implies X \sim Exp(\lambda) = Exp(\displaystyle \frac{1}{36})$
	a) Xác suất để không có lượt bảo hành nào trong được tiếp nhận bởi công ty này trong khoảng thời gian 5 giờ nghĩa là xác suất để thời gian giữa hai lượt bảo hành liên tiếp lớn hơn 5 giờ là: $$\begin{split} \mathbb{P}(X \geq 5) &= 1 - \mathbb{P}(X < 5) \\&= 1 - \displaystyle \int_{-\infty}^5(\lambda e^{-\lambda x}) dx \\ &= 1 - (-e^{-\lambda x})|_{x = 0}^{x = 5} \approx 0.87032\end{split}$$
	b) Gọi $Y$ là biến ngẫu nhiên rời rạc thể hiện số lượt bảo hành trong khoảng thời gian 5 giờ của công ty đó.
	$\implies Y$ có phân phối Poisson với $\lambda_p = \displaystyle \frac{5}{36}$
	$\implies Y \sim \mathcal{P}(\displaystyle \frac{5}{36})$
	Xác suất để công ty này đã tiếp nhận ít nhất $2$ lượt bảo hành trong khoảng thời gian 5 giờ là: $$\begin{split} \mathbb{P}(Y \geq 2) &= 1 - \mathbb{P}(Y < 2) \\ &= 1 - \mathbb{P}(Y = 0) - \mathbb{P}(Y = 1) \\ &= 1 - e^{-\lambda_p}.\displaystyle \frac{\lambda_p^0}{0!} -  e^{-\lambda_p}.\displaystyle \frac{\lambda_p^1}{1!} \\ &= 1 - e^{-\frac{5}{36}} - e^{-\frac{5}{36}}.(\displaystyle \frac{5}{36}) \approx 8.79684 \times 10^{-3} \end{split} $$
	c) Gọi $Z$ là biến ngẫu nhiên rời rạc thể hiện số lượt bảo hành trong một ngày được chọn để khảo sát.
	$\implies Z$ có phân phối Poisson với $\lambda_Z = \displaystyle \frac{24}{36} > 0$ 
	$\implies Z \sim \mathcal{P}(\displaystyle \frac{24}{36})$
	Xác suất để công ty này đã tiếp nhận không quá 3 luượt bảo hành trong ngày này khi biết rằng công ty này đã tiếp nhận nhiều hơn 1 lượt bảo hành trong ngày này là: $$\begin{split} \mathbb{P}(Z \leq 3 | Z > 1) &=  \displaystyle \frac{\mathbb{P}(Z \leq 3 \cap Z > 1)}{\mathbb{P}(Z > 1)} \\ &=  \displaystyle \frac{\mathbb{P}(1 < Z \leq 3)}{\mathbb{P}(Z > 1)} \\ &= \displaystyle \frac{\mathbb{P}(Z = 2) + \mathbb{P}(Z = 3)}{ 1- \mathbb{P}(Z = 0) - \mathbb{P}(Z = 1)} \approx 0.9663339  \end{split}$$
:::
### ==**++Câu 04++**== *(1,0 điểm)*
:::info
Một nhà máy sản xuất một loại điện trở với giá trị trung bình là $100$ ohm và độ lệch chuẩn là $10$ ohm. Tính xác suất giá trị trung bình của $50$ điện trở được chọn ngẫu nhiên là ít hơn $95$ ohm.
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
Gọi $X_1, X_2, ..., X_m$ lần lượt là biến ngẫu nhiên liên tục thể hiện các giá trị của các điện trở được sản xuất bởi một nhà máy trong tổng số $m = 50$ điện trở được chọn ngẫu nhiên (đơn vị: $ohm$)
	Giá trị trung bình của $m = 50$ điện trở được chọn ngẫu nhiên là: $$\overline{\rm X} = \displaystyle \frac{X_1 + X_2 + ... + X_m}{m}$$ có phân phối chuẩn với độ trung bình $\mu_{\overline{\rm X}} = \mu = 100$ (ohm) và độ lệch chuẩn $\sigma^2_{\overline{\rm X}} = \displaystyle \frac{\sigma^2}{m} = \displaystyle \frac{10^2}{50} = 2 \implies \overline{\rm X} \sim \mathcal{N}(\mu_{\overline{\rm X}}; \sigma^2_{\overline{\rm X}}) = \mathcal{N}(100; 2)$
	Xác suất giá trị trung bình của $50$ điện trở được chọn ngẫu nhiên nhỏ hơn $95$ ohm là: $$\begin{split}\mathbb{P}(\overline{\rm X} < 95) &= \mathbb{P}(\displaystyle \frac{\overline{\rm X} - \mu_{\overline{\rm X}}}{\sigma_{\overline{\rm X}}} < \displaystyle \frac{95 - 100}{\sqrt{2}}) \\&= \Phi(\displaystyle \frac{-5\sqrt{2}}{2}) \\ &= 1 - \Phi(\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}) \approx 2.03476 \times 10^{-4}\end{split}$$
:::

---
## ĐỀ THI GIỮA KỲ I 2022 - 2023 CA :one:
### ==**++Câu 01++**== *(4,0 điểm)*
:::info
Một bài báo được đăng trên trang Vietnamnet.vn ngày 11/10 với tiêu đề "Bộ GD-ĐT đề nghị ..." có đăng số liệu của Tổng cục Thống kê tại Bác cáo điều tra lao động việc làm năm 2020. Theo đó, tỷ lệ thất nghiệp trong lực lượng lao động là $2.19\%$. Tỷ lệ lao động có trình độ cao đẳng, đại học trở lên là $14.9\%$. Trong số những người thất nghiệp, thì tỷ lệ người có trình độ cao đẳng, đại học trở lên chiếm $30.8\%$. Chọn ngẫu nhiên một người trong lực lượng lao động.
a) Xác suất người này có trình độ cao đẳng, đại học trở lên **và** thất nghiệp là bao nhiêu?
b) Xác suất người này có trình độ cao đẳng, đại học trở lên **hoặc** thất nghiệp là bao nhiêu?
c) Nếu **biết** người này có trình độ cao đẳng, đại học trở lên thì xác suất người này thất nghiệp là bao nhiêu?
d) Nếu **biết** người này không thất nghiệp, thì xác suất người này có trình độ cao đẳng, đại học trở lên là bao nhiêu?
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
Gọi $A$ là biến cố để một người trong lực lượng lao động thất nghiệp.
Gọi $B$ là biến cố để một người trong lực lượng lao động có trình độ cao đẳng, đại học trở lên.
Theo đề bài, ta có:
* Tỷ lệ thất nghiệp trong lực lượng lao động là $2.19\%$ $\implies \mathbb{P}(A) = 0.0219$
* Tỷ lệ lao động có trình độ cao đẳng, đại học trở lên là $14.9\%$ $\implies \mathbb{P}(B) = 0.149$
* Tỷ lệ người có trình độ cao đẳng, đại học trở lên trong số những người thất nghiệp chiếm $30.8\% \implies \mathbb{P}(B|A) = 0.308$

a) Xác suất người này có trình độ cao đẳng, đại học trở lên **và** thất nghiệp là: $$\begin{split} \mathbb{P}(AB) &= \mathbb{P}(B|A) \times\mathbb{P}(A) \\ &= 0.308 \times 0.0219 = 6.7452 \times 10^{-3}\end{split}$$
b) Xác suất người này có trình độ cao đẳng, đại học trở lên **hoặc** thất nghiệp là: $$\begin{split} \mathbb{P}(A + B) &= \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(AB) \\&= \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(B|A) \times\mathbb{P}(A) \\ &= 0.0219 + 0.149 - 0.308 \times 0.0219 \\ &\approx 0.164 \end{split}$$
c) Nếu **biết** người này có trình độ cao đẳng, đại học trở lên thì xác suất người này thất nghiệp là: $$ \begin{split} \mathbb{P}(A|B) &= \displaystyle \frac{\mathbb{P}(B|A) \times \mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)} \\ &= \displaystyle \frac{0.308 \times 0.0219}{0.149} \approx 0.0452698 \end{split} $$
d) Nếu **biết** người này không thất nghiệp, thì xác suất người này có trình độ cao đẳng, đại học trở lên là: $$\begin{split}\mathbb{P}(B|\overline{\rm A}) &= \displaystyle \frac{\mathbb{P}(B.\overline{A})}{\mathbb{P}(\overline{A})} \\ &= \displaystyle \frac{\mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(AB)}{1 - \mathbb{P}(A)} \\ &= \displaystyle \frac{0.0219 - 6.7452 \times 10^{-3}}{1 - 0.0219} \approx 0.01549 \end{split}$$
:::
### ==**++Câu 02++**== *(3,0 điểm)*
:::info
Thời gian cần thiết để sinh viên hoàn thành một bài kiểm tra $60$ phút là một biến ngẫu nhiên liên tục $X$ (đơn vị: giờ) với hàm mật độ xác suất cho bởi $$\begin{split} f(x) = \begin{cases} c.x^2 + x &, nếu \quad 0 \leq x \leq 1 \\ 0 &, nơi \quad khác \end{cases} \end{split}$$
a) Tìm $c$.
b) Tìm xác suất để một sinh viên được chọn ngẫu nhiên sẽ hoàn thành trong ít hơn $30$ phút.
c) Cho biết sinh viên A cần ít nhất $15$ phút để hoàn thành bài kiểm tra, tìm xác suất để sinh viên $A$ sẽ cần ít nhất $30$ phút để hoàn thành.
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
Gọi $X$ là biến ngẫu nhiên liên tục thể hiện thời gian cần thiết để sinh viên hoàn thành một bài kiểm tra $60$ phút.
a) Vì $f$ là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục $X$ nên $$\begin{split} \begin{cases} f(x) \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1\end{cases}\end{split}$$
* Ta có: $f(x) \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$
	* (1) Đối với $$\begin{split}\forall x \in [0;1] \subset \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 0 \\ 0\leq x^2 \leq 1 \end{cases}\end{split}$$ mà $$f(x) = c.x^2 + x \geq 0 \quad \forall x \in [0;1] \subset \mathbb{R}$$ nên $$c \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$
	* (2) Đối với $\forall x \in (-\infty;0] \vee [1;+\infty) \subset \mathbb{R} \implies f(x) = 0 \geq 0 \to$ thỏa.
* Ta có: $$\begin{split}\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1 \quad \forall x \in \mathbb{R} &\Leftrightarrow \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}c.x^2 + x dx = 1 \\ &\Leftrightarrow \displaystyle \int_{-\infty}^{0}c.x^2 + x dx + \displaystyle \int_{0}^{1}c.x^2 + x dx \\ &+ \displaystyle \int_{1}^{+\infty}c.x^2 + x dx = 1 \\ &\Leftrightarrow \displaystyle \int_{0}^{1} c.x^2 + x dx = 1\\ &\Leftrightarrow (c\times \displaystyle \frac{x^3}{3} + \displaystyle \frac{x^2}{2})\displaystyle |_{x=0}^{x=1} = 1 \\ &\Leftrightarrow c = \displaystyle \frac{3}{2} \end{split}$$
b) Xác suất để một sinh viên được chọn ngẫu nhiên sẽ hoàn thành bài kiểm tra trong ít hơn $30$ phút ($= \displaystyle \frac{1}{2}$ giờ) là: $$\begin{split} \mathbb{P}(X < \displaystyle \frac{1}{2}) &= \displaystyle \int_{-\infty}^{\displaystyle \frac{1}{2}}f(x)dx \\ &= \displaystyle \int_{0}^{\displaystyle \frac{1}{2}}(\displaystyle \frac{3}{2}.x^2 + x)dx \\ &= 0.1875\end{split}$$
c) Cho biết sinh viên A cần ít nhất $15$ phút ($\displaystyle \frac{1}{4}$ giờ) để hoàn thành bài kiểm tra, xác suất để sinh viên $A$ sẽ cần ít nhất $30$ phút ($= \displaystyle \frac{1}{2}$ giờ) để hoàn thành là: $$\begin{split} \mathbb{P}(X \geq \displaystyle \frac{1}{2} | X \geq \displaystyle \frac{1}{4}) &= \displaystyle \frac{\mathbb{P}(X \geq \displaystyle \frac{1}{2})}{\mathbb{P}(X \geq \displaystyle \frac{1}{4})} \\ &= \displaystyle \frac{1 - \displaystyle \int_{-\infty}^{\displaystyle \frac{1}{2}}f(x)dx}{1 - \displaystyle \int^{\displaystyle \frac{1}{4}}_{-\infty}f(x)dx} \\ &= \displaystyle \frac{1 - \displaystyle \int_{0}^{\displaystyle \frac{1}{2}}(\displaystyle \frac{3}{2}.x^2 + x)dx}{1 - \displaystyle \int^{\displaystyle \frac{1}{4}}_{0}(\displaystyle \frac{3}{2}.x^2 + x)dx} \\ &= \displaystyle \frac{104}{123} \end{split}$$
:::

### ==**++Câu 03++**== *(3,0 điểm)*
:::info
Đường kính của một sợi bán dẫn được giả sử có phân phối chuẩn với trung bình $0.5\mu m$ và độ lệch chuẩn $0.05\mu m$.
a) Tính xác suất để đường kính của một sợi lớn hơn $0.62\mu m$. 
b) Tính xác suất để đường kính của một sợi nằm giữa $0.47\mu m$và $0.63\mu m$.
c) Đường kính sợi của $90\%$ mẫu nhỏ hơn giá trị nào? (Tức là, tìm $x$ sao cho $\mathbb{P}(X < x) = 0.9$)
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
Gọi $Y$ là biến ngẫu nhiên liên tục thể hiện đường kính của một sợi bán dẫn (đơn vị: $\mu m$)
	$\implies$ $Y$ có phân phối chuẩn
	$\implies$ $Y \sim \mathcal{N}(0.5; 0.05^2)$.
	* Xác suất để đường kính của một sợi lớn hơn $0.62 \mu m$ là: $$\begin{split}\mathbb{P}(X > 0.62) &= 1 - \mathbb{P}(X \leq 0.62) 1 - \mathbb{P}(\displaystyle \frac{X - 0.5}{0.05} \leq \displaystyle \frac{0.62 - 0.5}{0.05}) \\ &= 1 - \mathbb{P}(Z \leq 2.4) \\ &= 1 - \Phi(2.4) \\ &= 1 - 0.9918 \\ &= 8.2 \times 10^{-3}\end{split}$$
	* Xác suất để đường kính của một sợi nằm giữa $0.47$ và $0.63 \mu m$ là: $$\begin{split}\mathbb{P}(0.47 < X < 0.63) &= \mathbb{P}(\displaystyle \frac{0.47 - 0.5}{0.05} < \displaystyle \frac{X - 0.5}{0.05} < \displaystyle \frac{0.63 - 0.5}{0.05}) \\ &= \mathbb{P}(-0.6 < Z < 2.6) \\ &= \mathbb{P}(Z < 2.6) - \mathbb{P}(Z \leq -0.6) \\ &= \Phi(2.6) - \Phi(-0.6) \\ &=  0.9953 - (1 - 0.7257) \\ &= 0.721\end{split}$$
	* Đường kính sợi của $90\%$ mẫu nhỏ hơn giá trị nào ?
		* Tìm $x$ thỏa $\mathbb{P}(X < x) = 0.9$
		* Ta có: $$\begin{split}\mathbb{P}(X < x) = 0.9 &\Leftrightarrow \mathbb{P}(\displaystyle \frac{X - 0.5}{0.05} < \displaystyle \frac{x - 0.5}{0.05}) = 0.9 \\ &\Leftrightarrow \Phi(\displaystyle \frac{x - 0.5}{0.05}) = 0.9 \\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x - 0.5}{0.05} = 1.285 \\ &\Leftrightarrow x = 0.56425\end{split}$$
		* Vậy đường kính sợi của $90\%$ mẫu nhỏ hơn 0.56425 $\mu m$.
:::
## ĐỀ THI GIỮA KỲ I 2022 - 2023 CA :two:
### ==**++Câu 01++**== *(4,0 điểm)*
:::info
Một bài báo được đăng trên trang Vietnamnet.vn ngày 11/10 với tiêu đề "Bộ GD-ĐT đề nghị ..." có đăng số liệu của Tổng cục Thống kê tại Bác cáo điều tra lao động việc làm năm 2020. Theo đó, tỷ lệ thất nghiệp trong lực lượng lao động là $2.19\%$. Tỷ lệ lao động có trình độ cao đẳng, đại học trở lên là $14.9\%$. Trong số những người thất nghiệp, thì tỷ lệ người có trình độ cao đẳng, đại học trở lên chiếm $30.8\%$. Chọn ngẫu nhiên một người trong lực lượng lao động.
a) Xác suất người này có trình độ cao đẳng, đại học trở lên **và KHÔNG** thất nghiệp là bao nhiêu?
b) Xác suất người này có trình độ cao đẳng, đại học trở lên **hoặc KHÔNG** thất nghiệp là bao nhiêu?
c) Nếu **biết** người này có trình độ cao đẳng, đại học trở lên thì xác suất người này thất nghiệp là bao nhiêu?
d) Nếu **biết** người này không thất nghiệp, thì xác suất người này có trình độ cao đẳng, đại học trở lên là bao nhiêu?
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
:::
### ==**++Câu 02++**== *(3,0 điểm)*
:::info
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
:::

## ĐỀ THI GIỮA KỲ II 2022 - 2023
### ==**++Câu 01++**== *(3,0 điểm)*
:::info
Xét một dân số nhất định, một bệnh **B** và một triệu chứng **T** nào đó. Ta biết rằng $85\%$ số người mắc bệnh **B** có triệu chứng **T**, trong khi $15\%$ còn lại không có. Giả sử rằng $95\%$ số người không mắc bệnh **B** không có triệu chứng **T**, trong khi $5\%$ có triệu chứng **T** (do một nguyên nhân nào khác). Giả sử rằng $10\%$ dân số mắc bệnh **B**. Chọn ngẫu nhiên một người từ dân số.
a) Hỏi xác suất để người ấy không có bệnh **B** và không có triệu chứng **T**?
b) Hỏi xác suất để người ấy có triệu chứng **T** là bao nhiêu?
c) Biết rằng người ấy có triệu chứng **T**, hỏi xác suất để người ấy mắc bệnh **B** là bao nhiêu?
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
Gọi $B$ là biến cố để một người được chọn ngẫu nhiên từ dân số mắc bệnh **B**.
Gọi $T$ là biến cố để một người được chọn ngẫu nhiên từ dân số mắc triệu chứng **T**.
Theo đề bài, ta có:
* $85\%$ người mắc bệnh **B** có triệu chứng **T**
	$\implies \mathbb{P}(T|B) = 0.85$
	$\implies \mathbb{P}(\overline{T}|B) = 1 - \mathbb{P}(T|B) = 1 - 0.85 = 0.15$
* $95\%$ số người không mắc bệnh **B** không có triệu chứng **T**
	$\implies \mathbb{P}(\overline{T}|\overline{B}) = 0.95$
	$\implies \mathbb{P}(T | \overline{B}) = 1 - \mathbb{P}(\overline{T}|\overline{B}) = 1 - 0.95 = 0.05$
*  $10\%$ dân số mắc bệnh **B** 
	$\implies \mathbb{P}(B) = 0.1$
a) Xác suất để người ấy không có bệnh **B** và không có triệu chứng **T** là: $$\begin{split}\mathbb{P}(\overline{B}.\overline{T}) &= \mathbb{P}(\overline{T} | \overline{B}) \times \mathbb{P}(\overline{B}) \\ &=  \mathbb{P}(\overline{T} | \overline{B}) \times (1 - \mathbb{P}(B)) \\ &=  0.95 \times (1 - 0.1) = 0.855\end{split}$$
b) Ta thấy các biến cố $B$ và $\overline{B}$ tạo thành một hệ đầy đủ các biến cố, do đó, áp dụng công thức xác suất đầy đủ (toàn phần), ta có xác suất để người ấy có triệu chứng **T** là: $$\begin{split} \mathbb{P}(T) &= \mathbb{P}(T|B) \times \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(T | \overline{B}) \times \mathbb{P}(\overline{B}) \\ &= 0.85 \times 0.1 + 0.05 \times 0.9 = 0.13 \end{split}$$

c) Biết rằng người ấy có triệu chứng **T**, xác suất để người ấy mắc bệnh **B** là: $$\begin{split} \mathbb{P}(B|T) &= \displaystyle \frac{\mathbb{P}(T|B) \times \mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(T)} \\&= \displaystyle \frac{0.85 \times 0.1}{0.13} \approx 0.6538 \end{split}$$
:::
### ==**++Câu 02++**== *(3,0 điểm)*
:::info
Khi một loại cây bụi được trồng, xác suất nó lên rễ là $0.8$. Nếu năm cây bụi được trồng độc lập nhau, tính xác suất để
a) mọi cây đều lên rễ, 
b) có đúng một cây lên rễ, 
c) có ít nhất ba cây lên rễ.
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
Ta quan tâm số cây ra rễ trong tổng số 5 cây được trồng.
	Gọi $Y$ là biến ngẫu nhiên rời rạc thể hiện số cây ra rễ trong tổng số 5 cây được trồng độc lập.
	$\implies Y$ có phân phối nhị thức $\mathcal{B}(n;p)$ với $n = 5$ và $p =$ `"xác suất để một cây ra rễ"` $= 0.8$.
	$\implies Y \sim \mathcal{B}(5;0.8)$
	a) Xác suất để mọi cây đều lên rễ là: $$\begin{split}\mathbb{P}(Y=5)&=C^5_n \times p^5 \times (1-p)^{n-5} = C^5_5\times 0,8^5 \times (1-0,8)^{5-5} \\&= 0,8^5 = 0,32768\end{split}$$
	b) Xác suất để có đúng một cây lên rễ là: $$\begin{split}\mathbb{P}(Y=1) &= C^1_n \times p^1 \times (1-p)^{n-1} \\ &= C^1_5 \times 0,8^1 \times (1-0,8)^{5-1} \approx 6,4 \times 10^{-3}\end{split}$$
	c) Xác suất để có ít nhất ba cây lên rễ là: $$\begin{split}\mathbb{P}(Y\geq3) &= \mathbb{P}(Y = 3) + \mathbb{P}(Y=4)+\mathbb{P}(Y=5) \\ &= C^3_5 \times 0,8^3 \times(1-0,8)^{5-3} + C^4_5 \times 0,8^4 \times (1-0,8)^{5-4} \\ &+ C^5_5 \times 0,8^5 \times (1-0,8)^{5-5} \approx 0,94208\end{split}$$
:::
### ==**++Câu 03++**== *(4,0 điểm)*
:::info
Chiều dài (đv: $cm$) của một loài sâu tuân theo phân phối chuẩn $\mathcal{N}(\mu; \sigma^2)$.
a) Bắt ngẫu nhiên một con sâu. Nếu $\mu = 15 cm$ và $\sigma = 3.5 cm$, hãy tính xác suất để chiều dài sâu
* (i) ngắn hơn $18.5 cm$,
* (ii) ít nhất $16.75 cm$, 
* (iii) từ $11.5 cm$ đến $18.5 cm$.

b) Biết rằng $30\%$ số sâu dài ít nhất $16cm$, và $15\%$ số sâu ngắn hơn $10 cm$. Tìm trung bình $\mu$ và độ lệch chuẩn $\sigma$ của chiều dài của các con sâu.
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
Gọi $X$ là biến ngẫu nhiên liên tục thể hiện chiều dài của một con sâu (đơn vị: $cm$)
	$\implies X$ có phân phối chuẩn với độ trung bình $\mu$ và độ lệch chuẩn $\sigma$
	$\implies X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$
	1. Nếu $\mu = 15cm$ và $\sigma = 3.5cm$
	a. Xác suất để chiều dài con sâu ngắn hơn $18.5 cm$ là: $$\begin{split}\mathbb{P}(X < 18.5) &= \mathbb{P}(\displaystyle \frac{X - 15}{3.5} < \displaystyle \frac{18.5 - 15}{3.5}) \\&= \mathbb{P}(Z < 1)\\ &= \Phi(1) \\ &\approx 0.84134\end{split}$$
	b. Xác suất để chiều dài con sâu ít nhất $16.75 cm$ là: $$\begin{split}\mathbb{P}(X \geq 16.75) &= 1 - \mathbb{P}(X < 16.75) \\ &= 1 - \mathbb{P}(Z < 0.5) \\ &= 1 - \Phi(0.5) \\ &\approx 1 - 0.6915 \\ &= 0.3085 \end{split}$$
	c. Xác suất để chiều dài sâu từ $11.5 cm$ đến $18.5 cm$ là: $$\begin{split}\mathbb{P}(11.5 < X < 18.5) &= \mathbb{P}(\displaystyle \frac{11.5 - 15}{3.5} < \frac{X - 15}{3.5} < \frac{18.5 - 15}{3.5}) \\ &= \mathbb{P}(-1 <  Z < 1) \\ &= \Phi(1) - \Phi(-1) \\ &= 2\Phi(1) - 1 \\ &\approx 0.68268\end{split}$$
	2. Tìm trung bình $\mu$ và độ lệch chuẩn $\sigma$ của chiều dài các con sâu.
		* Giả thiết $30\%$ số sâu dài ít nhất $16cm$, tức là ta có: $$\mathbb{P}(X \geq 16) = 0.3$$
		* Tương tự, $15\%$ số sâu ngắn hơn $10cm$, tức là ta có: $$\mathbb{P}(X < 10) = 0.15$$
		* Do đó, ta có hệ phương trình sau $$\begin{split}\begin{cases}\mathbb{P}(Z < \displaystyle \frac{16 - \mu}{\sigma}) = 1 - 0.3 = 0.7\\\mathbb{P}(Z < \displaystyle\frac{10 - \mu}{\sigma}) = 0.15\end{cases} &\Leftrightarrow \begin{cases}\Phi(\displaystyle\frac{16 - \mu}{\sigma}) = 0.7 \\ \Phi(\displaystyle\frac{10 - \mu}{\sigma}) = 0.15 \end{cases}\end{split}$$ vì $\Phi$ là hàm đồng biến (hàm tăng) nên ta suy ra $$\begin{split}\begin{cases}\displaystyle\frac{16 - \mu}{\sigma} = \Phi^{-1}(0.7)\\\displaystyle\frac{10 - \mu}{\sigma} = \Phi^{-1}(0.15)\end{cases} &\Leftrightarrow \begin{cases}\mu + \Phi^{-1}(0.7) \times \sigma = 16 \\ \mu + \Phi^{-1}(0.15) \times \sigma = 10\end{cases} \\&\Leftrightarrow \begin{cases}\sigma = \displaystyle\frac{16-10}{\Phi^{-1}(0.7) - \Phi^{-1}(0.15)} \\ \mu = 10 - \sigma \times \Phi^{-1}(0.15)\end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} \sigma \approx 3.846 \\ \mu \approx 13.981 \end{cases}\end{split}$$ (vì $\Phi^{-1}(0.7) \approx 0.525$ và $\Phi^{-1}(0.15) \approx -1.035$)
:::

---
## ĐỀ THI GIỮA KỲ I 2021 - 2022 CA :one:
### ==**++Câu 01++**==
:::info
Người ta thu hoạch dưa từ một vườn nông trại rồi sắp vào vào các hộp có chiều dài $41cm$ để chuyển đi bán. Những trái dưa vượt quá chiều dài của hộp phải để lại. Biết rằng chiều dài của các trái dưa là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng là $39cm$ và độ lệch chuẩn là $2cm$.
a) Tính tỉ lệ trái dưa có chiều dài vượt quá chiều dài của hộp? 
b) Hãy ước tính số dưa cần phải để lại trong $3500$ trái dưa đã thu hoạch? 
c) Người ta cần thiết kế hộp có chiều dài bao nhiêu để có thể đựng được $97.5\%$ số trái dưa thu hoạch được?
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
Gọi $X$ là biến ngẫu nhiên liên tục thể hiện chiều dài của các trái dưa (đơn vị: $cm$).
	$\implies X$ có phân phối chuẩn với giá trị trung bình (kỳ vọng) $\mu = 39cm$ và độ lệch chuẩn $\sigma = 2cm$.
	$\implies X \sim \mathcal{N}(39; 2^2)$
	* Tỷ lệ trái dưa có chiều dài vượt qua chiều dài hộp là: $$\begin{split}\mathbb{P}(X > 41) &= 1 - \mathbb{P}(X \leq 41) \\ &= 1 - \mathbb{P}(\displaystyle \frac{X - 39}{2} \leq \displaystyle \frac{41 - 39}{2}) \\ &= 1 - \mathbb{P}(Z \leq 1) \\ &= 1 - \Phi(1) \\ &= 1 - 0.8413 \\ &= 0.1587\end{split}$$
		* Vậy tỉ lệ trái dưa có chiều dài vượt quá chiều dài của hộp là khoảng $15.87\%$.
	* Số dưa phải để lại trong $3500$ trái dưa đã thu hoạch là: $$15.87\% \times 3500 \approx 555.45$$
		Vậy số dưa phải để lại khoảng $556$ trái dưa.
	* Gọi $x$ là chiều dài cần được thiết kế hộp sao cho có thể đựng được $97.5\%$ số trái dưa thu hoạch được (đơn vị: $cm$)
		* Tìm $x$ thỏa $\mathbb{P}(X \leq x) = 0.975$, tức là $$\Phi(\displaystyle \frac{x - 39}{2}) = 0.975 \Leftrightarrow \displaystyle \frac{x - 39}{2} = 1.96 \Leftrightarrow x = 42.92$$
		* Vậy chiều dài cần thiết là $42.92cm$
:::
### ==**++Câu 02++**==
:::info
Một giảng viên nào đó không bao giờ kết thúc bài giảng trước $9:50$ AM nhưng luôn kết thúc bài giảng trong $07$ phút sau $9:50$ AM. Giả sử rằng thời gian mà giảng viên này giảng bài sau $9:50$ AM là biến ngẫu nhiên $X$ có hàm mật độ xác suất sau $$\begin{split} f(x) = \begin{cases} k.x^2&, nếu \quad 0 \leq x \leq 7 \\ 0 &, nơi \quad khác \end{cases} \end{split}$$ với $k$ là hằng số.
a) Tìm $k$.
b) Tìm xác suất để giảng viên này kết thúc bài giảng dưới $1.9$ phút sau $9:50$ AM.
c) Tính kỳ vọng của $X$. 
d) Tính $\mathbb{E}(X^2)$. 
e) Tính phương sai của $X$.
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
Gọi $X$ là biến ngẫu nhiên liên tục thể hiện thời gian mà giảng viên này giảng bài sau $9:50$ AM.
a) Vì $f$ là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục $X$ nên $$\begin{split} \begin{cases} f(x) \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1\end{cases}\end{split}$$
* Ta có: $f(x) \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$
	* (1) Đối với $$\begin{split}\forall x \in [0;7] \subset \mathbb{R} \Leftrightarrow 0\leq x^2 \leq 49 \end{split}$$ mà $$f(x) = k.x^2 \geq 0 \quad \forall x \in [0;7] \subset \mathbb{R}$$ nên $$k \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$
	* (2) Đối với $\forall x \in (-\infty;0] \vee [7;+\infty) \subset \mathbb{R} \implies f(x) = 0 \geq 0 \to$ thỏa.
* Ta có: $$\begin{split}\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1 \quad \forall x \in \mathbb{R} &\Leftrightarrow \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}k.x^2 dx = 1 \\ &\Leftrightarrow \displaystyle \int_{-\infty}^{0}k.x^2 dx + \displaystyle \int_{0}^{7}k.x^2 dx + \displaystyle \int_{7}^{+\infty}k.x^2 dx = 1 \\ &\Leftrightarrow \displaystyle \int_{0}^{7} k.x^2 dx = 1\\ &\Leftrightarrow (k\times \displaystyle \frac{x^3}{3})\displaystyle |_{x=0}^{x=7} = 1 \\ &\Leftrightarrow k = \displaystyle \frac{3}{343} \end{split}$$
b) Xác suất để giảng viên này kết thúc bài giảng dưới $1.9$ phút sau $9:50$ AM là: $$\begin{split}\mathbb{P}(X < 1.9) &= \displaystyle \int_{-\infty}^{1.9}f(x)dx \\ &= \displaystyle \int_{0}^{1.9}\displaystyle \frac{3}{343}x^2dx \approx 0.019997\end{split}$$
c) Kỳ vọng của X là: $$\begin{split} \mathbb{E}(X) &= \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx \\ &= \displaystyle \int_{0}^{7}\displaystyle \frac{3x^3}{343}dx = \displaystyle \frac{21}{4}\end{split}$$
d) Tính $\mathbb{E}(X^2)$: $$\begin{split} \mathbb{E}(X^2) &= \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}x^2.f(x)dx \\ &= \displaystyle \int_{0}^{7}\displaystyle \frac{3x^4}{343}dx \\&= \displaystyle \frac{147}{5} \end{split}$$
e) Tính phương sai của $X$: $$\begin{split} Var(X) &= \mathbb{E}(X^2) - (\mathbb{E}(X))^2 \\ &= (\displaystyle \frac{147}{5}) - (\displaystyle \frac{21}{4})^2 = \displaystyle \frac{147}{80} \end{split} $$
:::
### ==**++Câu 04++**==
:::info
Cạnh quạt trên thị trường có hai loại: loại 3 cánh và loại 5 cánh. Tại một cửa hàng điện dân dụng có bán cánh quạt thuộc hai nhà sản xuất **A** và **B** chiếm tỷ lệ về số lượng lần lượt là $10\%$ và $90\%$. Cánh quạt 3 cánh của nhà sản xuất **A** chiếm $39\%$ và của nhà sản xuất **B** chiếm $54\%$. Một khách hàng đến và chọn mua ngẫu nhiên một cánh quạt tại cửa hàng này.
a) Tính xác suất khách hàng mua loại cánh quạt 3 cánh?
b) Nếu khách hàng muốn mua loại 3 cánh, tính xác suất cạnh quạt đó thuộc nhà sản xuất **A**?
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
Gọi $A$ là biến cố để một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên cánh quạt của nhà sản xuất **A**.
$\implies \mathbb{P}(A) = 0.1$
Gọi $B$ là biến cố để một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên cánh quạt của nhà sản xuất **B**
$\implies \mathbb{P}(B) = 0.9$
Gọi $G$ là biến cố để một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên cánh quạt loại 3 cánh.
Theo đề bài, ta có: cánh quạt 3 cánh của nhà sản xuất **A** chiếm $39\%$ và của nhà sản xuất **B** chiếm $54\%$ $\implies \mathbb{P}(G|A) = 0.39$ và $\mathbb{P}(G|B) = 0.54$
a) Xác suất khách hàng mua loại cánh quạt 3 cánh là: $$\begin{split} \mathbb{P}(G) &= \mathbb{P}(G|A) \times \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(G|B) \times \mathbb{P}(B) \\ &= 0.39 \times 0.1 + 0.54 \times 0.9 \\ &= 0.525 \end{split}$$
b) Nếu khách hàng muốn mua loại 3 cánh, xác suất cạnh quạt đó thuộc nhà sản xuất **A** là: $$\begin{split} \mathbb{P}(A|G) &= \displaystyle \frac{\mathbb{P}(G|A) \times \mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(G)} \\ &= \displaystyle \frac{0.39 \times 0.1}{0.525} \approx 0.0742857 \end{split}$$
:::
## ĐỀ THI GIỮA KỲ I 2021 - 2022 CA :two:
### ==**++Câu 01++**==
:::info
Đối với các cặp vợ chồng sống ở một vùng ngoại ô, xác suất để người chồng sẽ đi bỏ phiếu trong một cuộc trưng cầu dân ý là $0.35$, xác suất để người vợ sẽ bỏ phiếu là $0.45$ và xác suất để cả chồng và vợ sẽ bỏ phiếu là $0.18$.
a) Tính xác suất để ít nhất một trong hai vợ chồng sẽ đi bỏ phiếu.
b) Xác suất người vợ sẽ bỏ phiếu biết rằng người chồng đã bỏ phiếu.
c) Xác suất người chồng sẽ bỏ phiếu biết rằng vợ ông ấy đã không bỏ phiếu.
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
Gọi $A$ là biến cố để người chồng đi bỏ phiếu.
Gọi $B$ là biến cố để người vợ đi bỏ phiếu.
$\implies \begin{split} \begin{cases} \mathbb{P}(A) &= 0.35 \\ \mathbb{P}(B) &= 0.45 \\ \mathbb{P}(A.B) &= 0.18 \end{cases}\end{split}$
a) Xác suất để ít nhất một trong hai vợ chồng sẽ đi bỏ phiếu là: $$\begin{split} \mathbb{P}(A + B) &= \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(AB) \\ &= 0.35 + 0.45 - 0.18 = 0.62\end{split}$$
b) Xác suất người vợ sẽ bỏ phiếu biết rằng người chồng đã bỏ phiếu là: $$\begin{split} \mathbb{P}(B|A) &= \displaystyle \frac{\mathbb{P}(BA)}{\mathbb{P}(A)} \\ &= \displaystyle \frac{0.18}{0.35} \approx 0.5143\end{split}$$
c) Xác suất người chồng sẽ bỏ phiếu biết rằng vợ ông ấy đã không bỏ phiếu là: $$\begin{split} \mathbb{P}(A|\overline{B}) &= \displaystyle \frac{\mathbb{P}(A.\overline{B})}{\mathbb{P}(\overline{B})} = \displaystyle \frac{\mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(AB)}{1 - \mathbb{P}(B)} \\ &= \displaystyle \frac{0.35 - 0.18}{1 - 0.45} = \displaystyle \frac{17}{55} \approx 0.309091 \end{split}$$
:::
### ==**++Câu 02++**==
:::info
Giả sử số lần một sinh viên kiểm tra email mỗi ngày tuân theo** phân phối Poisson**. Biết rằng, trung bình một ngày một sinh viên kiểm tra email $7$ lần. Những ngày sinh viên kiểm tra email không quá $3$ lần được xem là ngày "ít hoạt động".
a) Khảo sát ngẫu nhiên hoạt động kiểm tra email trong 1 ngày của 1 sinh viên. Tính xác suất để ngày đó là ngày "ít hoạt động".
b) Giả sử việc kiểm tra email trong một ngày độc lập với các ngày khác trong tháng. Trung bình một sinh viên có bao nhiêu ngày ít hoạt động trong tháng 3 của năm 2021? (làm tròn đến số nguyên gân nhất)
c) Tính xác suất trong một năm sinh viên đó có từ 32 đến 86 ngày "ít hoạt động" (giả sử rằng một năm có 365 ngày).
:::
:100: ++**==Answer==**++
:::spoiler
Gọi $X$ là biến ngẫu nhiên rời rạc thể hiện số lần một sinh viên kiểm tra email mỗi ngày
	$\implies X$ có phân phối Poisson $P(\lambda)$ với tham số $\lambda > 0$
	Ta có: trung bình (kỳ vọng) $= \mathbb{E}(X) = \lambda = 7$
	a) Xác suất để ngày đó là "ít hoạt động" là: $$\begin{split}\mathbb{P}(X \leq 3) &= \displaystyle \sum_{k = 0}^{3} e^{-\lambda} \times \displaystyle\frac{\lambda^k}{k!} \approx 0.082 \end{split}$$
	b) Tháng 3 có 31 ngày. Gọi $Y$ là biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập thể hiện số ngày sinh viên ít hoạt động trong 1 tháng có $m$ ngày.
		$\implies Y$ có phân phối nhị thức $\mathcal{B}(n;p)$ với $n = 31$ và $p =$ `"xác suất để một ngày được xem là ít hoạt động"` $= 0.082$.
		$\implies Y \sim \mathcal{B}(31; 0.082)$
		Số ngày trung bình được xem là ít hoạt động trong tháng 3 năm 2021 là: $$\mathbb{E}(Y) = n \times p = 31 \times 0.082 \approx 2.542$$
	c) Gọi $Z$ là số ngày "ít hoạt động" của một sinh viên trong vòng một năm (365 ngày) (đơn vị : ngày)
		$\implies Z$ có phân phối nhị thức $\mathcal{B}(n_Z, p_Z)$ với $n_Z = 365$ và $p_Z =$ `"xác suất để một ngày được xem là ít hoạt động"` $= 0.082$.
		$\implies Z \sim \mathcal{B}(365; 0.082)$
	Xác suất trong một năm sinh viên đó có từ $32$ đến $86$ ngày "ít hoạt động" là: $$\begin{split} \mathbb{P}(32 \leq Z \leq 86) &= \displaystyle \sum_{k = 32}^{86} C^k_{365} \times p^k \times (1-p)^{365 - k} \\ &= \displaystyle \sum_{k = 32}^{86} C^k_{365} \times 0.082^k \times (1-0.082)^{365 - k} \approx 0.00003\end{split}$$
:::
### ==**++Câu 03++**==
:::info
:::