# Corigé de TD6 (futur)

## Exercice 1: Intégrale dans le plan complexe
On étudie l'intégrale de la fonction
\begin{equation*}
f(z) = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} z}}{(z+\mathrm{i} a)^2}
\hspace{1cm}\mbox{, avec } a>0
\:,
\end{equation*}
sur le contour fermé $\Delta_R\cup\mathscr{C}_R$, où $\Delta_R=[-R,+R]$ et $\mathscr{C}_R$ est le demi-cercle (dans le demi-plan supérieur).
### 1
Quel est le domaine d'analyticité de la fonction $f$ si $a>0$?
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Le numérateur $\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}$ est une fonction entière (analytique sur tout le plan complexe), et le dénominateur $(z+\mathrm{i}a)^2$ aussi. Donc, $f$ est analytique partout sauf le point $-\mathrm{i}a$. Dans ce point, $f$ a un pôle double, car le numérateur ne s'y annule pas et le dénominateur y a un zéro de second ordre.
**Réponse:** $\mathbb{C}\backslash\{-\mathrm{i}a\}$
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### 2
Utiliser le lemme de Jordan pour montrer que $\int_{\mathscr{C}_R}\mathrm{d} z\,f(z)\to0$ lorsque $R\to\infty$.
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Il suffit de montrer que
$$\sup_{|z|\in \mathscr{C}_R} |z f(z)| \rightarrow 0$$
quand $R \rightarrow +\infty$. Sur le demi-plan supérieur, le numérateur $\mathrm{e}^{\mathrm{i} z}$ est borné en sa valeur absolue par 1. Le résultat s'ensuit donc du fait que
$$\lim_{z \to \infty}\left|\frac{z}{(z+\mathrm{i} a)^2}\right|=0.$$
___
### 3
Déduire la valeur de l'intégrale
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d} x\, \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{(x+\mathrm{i} a)^2}
$$
Déduire la valeur de l'intégrale
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d} x\, \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{(x+\mathrm{i} a)^2}
$$
___
La fonction $f$ est holomorphe dans l'intérieur du contour $\Delta_R\cup\mathscr{C}_R$ (en effet, sa seule singularité se trouve dans le demi-plan inférieur, au point $-\mathrm{i}a$). Donc, par théoreme de Cauchy
$$
\int_{\Delta_R\cup\mathscr{C}_R} f(z) \mathrm{d}z =0
$$
Donc
$$
\int_{\Delta_R} f(z) \mathrm{d}z = - \int_{\mathscr{C}_R} f(z) \mathrm{d}z
$$
L'intégrale de Riemann impropre de la question est égale à la limite du terme de gauche de cette formule pour $R \to \infty$. Comme on a vu dans la question 2, cette limite est zéro, CQFD.
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### 4
Peut-on utiliser le même argument si $a<0$?
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Danc ce cas, pour un $R$ suffisamment grand, le contour $\Delta_R\cup\mathscr{C}_R$ va encercler la (seule) singularité de $f$. On ne peut donc plus s'appyer sur le theorème de Cauchy; mais on peut toujours calculer la valeur de l'intégrale de la question 3 avec le théorème de résidus.
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## Exercice 2: Relation entre deux intégrales
On montre comment utiliser le théorème de Cauchy pour relier deux intégrales de natures différentes.
On étudie l'intégrale
\begin{equation}
\oint_\Gamma\mathrm{d} z\,\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} z}}{(\lambda+z)^2}
\hspace{1cm}\mbox{, avec } \lambda>0
\end{equation}
sur le contour $\Gamma$ fermé:
### 1
Utiliser le lemme de Jordan pour montrer que l'intégrale sur l'arc de cercle tend vers zéro quand $R\to\infty$.
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Le numérateur $\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}$ étant borné sur l'arc de cercle en sa valeur absolue par 1, le résultat s'ensuit du fait que
$$
\lim_{z \to \infty} \left| \frac{z}{(\lambda +z)^2}\right|=0.
$$
___
### 2
Écrire soigneusement les contributions des deux autres parties du contour $\Gamma$ (les deux segments).
Déduire la relation
$$
\int_0^\infty \mathrm{d} x\, \frac{\cos x}{(\lambda + x)^2}
=2\lambda \int_0^\infty\mathrm{d} x\,\frac{x\,\mathrm{e}^{-x}}{(\lambda^2+x^2)^2}
$$
On notera $F(\lambda)$ la fonction définie par ces deux intégrales.
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On parametrize la partie horizontale par la variable $x$ comme $z=x$, et la partie verticale comme $z=\mathrm{i}x$. La contribution de la partie horizontale est
$$
\int_0^R \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}}{(\lambda+x)^2}\mathrm{d}x,
$$
et celle de la partie verticale est
$$
\int_R^0\frac{\mathrm{i} \mathrm{e}^{-x}}{(\lambda+\mathrm{i}x)^2}\mathrm{d}x.
$$
Par le résulat de la question précedente et par le fait que la fonction
$$
\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} z}}{(\lambda+z)^2}
$$
est holomorphe à l'intérieur du contour $\Gamma$ pour $\lambda>0$, les deux contributions s'annullent quand $R \to +\infty$:
$$
\int_0^\infty \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}}{(\lambda+x)^2}\mathrm{d}x = \int_0^\infty \frac{\mathrm{i} \mathrm{e}^{-x}}{(\lambda+\mathrm{i}x)^2}\mathrm{d}x.
$$
La relation en question est obtenue comme la partie réelle de cette équation. En effet,
$$
\mathrm{Re}\frac{\mathrm{i}}{(\lambda+\mathrm{i}x)^2}= \mathrm{Re}\frac{\mathrm{i}(\lambda-\mathrm{i}x)^2}{(\lambda^2+x^2)^2}=\frac{2\lambda x}{(\lambda^2+x^2)^2}
$$
___
### 3
Quel est l'intérêt de la relation de la question 2?
Un autre intérêt apparaît si l'on recherche les comportements limites de la fonction $F(\lambda)$.
Faire un changement de variable $x=\lambda t$ dans les deux formes intégrales.
* Quelle forme est la plus appropriée pour obtenir le comportement pour $\lambda\to0$?
* Et pour $\lambda\to\infty$?
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Le terme de gauche est une intégrale oscillante, difficile à estimer, tandis que la fonction sous le signe de la somme dans le terme de droite est positive. Le terme de droite est donc plus facile à analyser dans son comportement asymptotique pour $\lambda \to \infty$.
Le changement de variable donne
$$
\lambda^{-1}\int_0^\infty \mathrm{d} t\, \frac{\cos \lambda t}{(1 + t)^2}
=2\lambda^{-1} \int_0^\infty\mathrm{d} t\,\frac{t\,\mathrm{e}^{-\lambda t}}{(1+t^2)^2}.
$$
L'intégrale de gauche est plus facile à évaluer pour $\lambda \to 0$.
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### 4
**Facultatif (pour les courageux ou les enthousiastes):** par la même méthode, en étudiant $g(z)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} z}/(\lambda+z)$, montrer que
$$
\int_0^\infty \mathrm{d} x\, \frac{\sin x}{\lambda + x} =\lambda \int_0^\infty\mathrm{d} x\,\frac{\mathrm{e}^{-x}}{\lambda^2+x^2}
$$
(l'intégrale sur le quart de arc de cercle sera plus délicate à borner dans ce cas: cf. le TD 5 où un cas analogue a été traité).
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On donne juste le détail de calcul pour l'intégrale sur l'arc de cercle
$$
\gamma=\left\{z= R \mathrm{e}^{\mathrm{i}t} \, \middle | \, t \in [0,\pi/2] \right\}.
$$
Avec ce paramètrage on a
$$
\mathrm{d}z=\mathrm{i}R\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\mathrm{d}t.
$$
Comme
$$
|\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}| = \mathrm{e}^{-R\sin(t)}
$$
et
$$
|\lambda+z|\ge R,
$$
on peut majorer l'intégrale sur l'arc de cercle:
$$
\left| \int_\gamma g(z) \mathrm{d}z\right| \le \int_0^{\pi/2}\mathrm{e}^{-R\sin(t)}\mathrm{d}t \le \int_0^{\pi/2}\mathrm{e}^{-\frac{2Rt}{\pi}}\mathrm{d}t \le \frac{\pi}{2R}.
$$
Ici on utilise l'inégalité
$$
\sin(t) \ge \frac{2t}{\pi},
$$
valide pour $t \in[0, \pi/2]$.
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## Exercice 3: Intégrale du sinus cardinal sur $\mathbb{R}$
Soit la fonction $f(z) = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} z}}{z}$.
### 1
Montrer qu'elle est holomorphe sur un ouvert $\mathscr{U}$ qu'on précisera.
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Le numérateur et le dénominateur de la fraction étant des fonctions entières, $f$ est holomorphe sur tout $\mathbb{C}$ sauf le point $z=0$ où le dénominateru s'annule et $f$ a un pôle simple. Donc $\mathscr{U}=\mathbb{C}\backslash \{0\}$.
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### 2
On considère le contour $\Gamma=\gamma_-\cup\gamma_\varepsilon\cup\gamma_+\cup\gamma_R$ représenté ci-dessous:
Paramétrer *soigneusement* les quatre parties du contour et écrire les contributions des différentes parties du contour à l'intégrale
$$
\oint_\Gamma\mathrm{d} z\,f(z).
$$
___
* $\gamma_-=\left\{z=x\,\middle|\,x \in [-R, -\varepsilon]\right\}$ avec $\mathrm{d}z=\mathrm{d}x$
* $\gamma_\varepsilon=\left\{z=\varepsilon\mathrm{e}^{it} \,\middle|\,t \in [\pi, 0]\right\}$ avec $\mathrm{d}z=\mathrm{i}\varepsilon\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\mathrm{d}t$
* $\gamma_+=\left\{z=x\,\middle|\,x\in[\varepsilon, R]\right\}$ avec $\mathrm{d}z=\mathrm{d}x$
* $\gamma_R=\left\{z=R\mathrm{e}^{it} \,\middle|\,t \in [0, \pi]\right\}$ avec $\mathrm{d}z=\mathrm{i}R\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\mathrm{d}t$
Les contributions de quatres parties dans l'intégrale de $f$ sur $\Gamma$ sont les suivantes:
Sur $\gamma_-$:
$$
\int_{\gamma_-}f(z)\mathrm{d}z=\int_{-R}^{-\varepsilon}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}}{x}\mathrm{d}x.
$$
Sur $\gamma_\varepsilon$:
$$
\int_{\gamma_\varepsilon}f(z)\mathrm{d}z=\mathrm{i}\int_\pi^0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varepsilon \exp(\mathrm{i}t)}\mathrm{d}t
$$
Sur $\gamma_+$:
$$
\int_{\gamma_-}f(z)\mathrm{d}z=\int_{\varepsilon}^{R}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}}{x}\mathrm{d}x.
$$
Sur $\gamma_R$:
$$
\int_{\gamma_R}f(z)\mathrm{d}z=\mathrm{i}\int_0^\pi \mathrm{e}^{\mathrm{i}R \exp(\mathrm{i}t)}\mathrm{d}t
$$
___
### 3
* Que vaut $\displaystyle\oint_\Gamma f(z) \, \mathrm{d} z$ ? Justifier votre réponse.
* Montrer que $\displaystyle\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_{\gamma_\varepsilon} f(z)\,\mathrm{d} z=-\mathrm{i} \pi$
* Montrer que $\displaystyle\lim_{R\rightarrow +\infty} \int_{\gamma_R} f(z)\,\mathrm{d} z=0$.
___
* Comme $f$ est holomorphe à l'intérieur du contour $\Gamma$, son intégrale sur $\Gamma$ est nulle par théorème de Cauchy.
* Ici, on peut uliliser le théorème de convergence dominée (la valeur absolue de la fonction sous le signe de la somme est inférieur à 1), et faire tendre $\varepsilon$ vers 0. Le resultat est immédiat.
* On va majorer la valeur absolue de l'intégrale par une quantité qui tend vers 0 quand $R \to \infty$:
$$
\left|\int_0^\pi \mathrm{e}^{\mathrm{i}R(\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t))} \mathrm{d}t\right|\le \int_0^\pi \mathrm{e}^{-R\sin(t)} \mathrm{d}t=\\2 \int_0^{\pi/2} \mathrm{e}^{-R\sin(t)} \mathrm{d}t \le 2 \int_0^{\pi/2} \mathrm{e}^{-\frac{2Rt}{\pi}}\mathrm{d}t \le \frac{\pi}{R}.
$$
___
### 4
En déduire que
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d} x = \pi.
$$
___
On a
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d} x = \lim_{R\to\infty,\, \varepsilon \to 0^+} \mathrm{Im}\left( \int_{\gamma_-}f(z)\mathrm{d}z + \int_{\gamma_+}f(z)\mathrm{d}z \right).
$$
Comme $\displaystyle\oint_\Gamma f(z) \, \mathrm{d} z=0$,
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d} x = \lim_{R\to\infty,\, \varepsilon \to 0^+} \mathrm{Im}\left( -\int_{\gamma_\varepsilon}f(z)\mathrm{d}z - \int_{\gamma_R}f(z)\mathrm{d}z \right),
$$
et le résultat suit immédiatement de la question 3.
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