# Probabilidad y estadística Parcial I - Parte II

## Fenómenos

### Aleatorios

Fenómeno que no se sabe que es lo que va a ocurrir, están relacionados con el azar.

### Determinístico

Fenómeno que se sabe de antemano cual será el resultado.

## Temas previos

### Operaciones de conjunto

|Operación|Notación|Descripción|
|---------|--------|-----------|
|Unión|$A\cup{B}$|Unión de eventos de A y B. Sucede si sucede en A O en B|
|Intersección|$A\cap{B}$|Intersección de los eventos originales A y B. Sucede solo si suceden simultáneamente|
|Diferencia|$A-B$|Diferencia entre los eventos. Son los que suceden en A pero no en B|
|Complemento|$\overline{A}$|Complemento. Todos los elementos de S que NO están en A. Se representa como $A^{C}$

## Numeros combinatorios

### Factorial

$N! = 1*2*3*...*N$
o
$N! =
\left\{
\begin{array}{ll}
N*(N-1)! & \mbox{si } N > 0 \\
1 & \mbox{if } N = 0
\end{array}
\right.$

* El factorial de 0 siempre es 1

### Permutaciones

Sobre un conjunto de números de N elementos se denomina permutación a cualquier ordenación de los elementos.

* Número de permutaciones: N!
* Numero de permutaciones de N elementos tomados de a k con repeticiones: $N^{k}$
* Número de permutaciones de N elementos tomados de a K sin repetir: $\frac{N!}{(N-K)!}$

### Combinaciones

Permutación en la cual el órden no tiene importancia y solo la tiene que elementos la forman.

$\begin{equation}
{n \choose k}
\end{equation}$ = $\frac{n!}{(n-k)!k!}$

* Se lee: número de combinaciones de N elementos tomados de K es igual a.
* La calculadora lo puede hacer haciendo $N C K$. La C es el botón "nCr"

### Principios del conteo

#### Regla de la suma

Las posibilidades no pueden suceder en simultaneo, por tanto solo se suman.

#### Regla de la multiplicación

Pueden suceder simultaneamente por lo que se multiplican (cant de caminos de A a B * caminos de B a C * ...)

## Conceptos básicos

### Experimento aleatorio

Cualquier acto o proceso en el que se realizan observaciones que no pueden ser predecidas con certeza

### Espacio muestral

Conjunto de todos los resultados posibles en un experimento

### Evento o suceso

Uno o varios de los resultados posibles que se pueden obtener.

## Características de los experimentos aleatorios

* Constancia de las condiciones en las que se realiza.
* Conocimiento de todos los resultados posibles.
* Regularidad de resultados cuando el número de observaciones tiende a infinito.
* Sus resultados están influidos por el azar.

## Sucesos mútuamente excluyentes

Dos sucesos son mútuamente excluyentes si no se pueden dar al mismo tiempo.
Si son **compatibles**, no son mútueamente excluyentes.

## Enfoques de la probabilidad

### Probabilidad subjetivas

Posibilidad de que suceda un evento asignado por una persona con base en cualquier información que disponga.

* Grado de creencia en el juicio personal.
* No tiene validez científica.
* En al vida diaria es de las más comunes.
* Se basa en la evidencia disponible.
Desventajas:

1. Son difíciles de defender cuando son puestas en duda.
2. Difícil de identificar los sesgos del informante.

### Enfoque axiomático

Dado un experimento E, espacio muestral S, y A un suceso cualquiera de S, la probaiblidad de A que simbolizamos P(A) es un número real que cumple con los axiomas:

1. $0 \le{p(a)} \le{1}$
2. P(S) = 1
3. Si A y B son sucesos mútuamente excluyentes, entonces $P(A\cup{B}) = P(A) + P(B)$
4. Si $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ son sucesos mútuamente excluyentes dos a dos, entonces $P(A_{1}\cup{A_{2}}\cup{A_{3}}\cup{...}\cup{A_{n}}) = \sum_{i = 1}^n{P(A_{i})}$

### Enfoque frecuencial

La probabilidad será el límite de la frecuencia relativa cuando el número de observaciones crece indefinidamente.

$P(A) = $\lim_{x\to\infty} \frac{f(A)}{n}$

siendo f(A) el número de veces que ocurre A en n pruebas.

### Enfoque clásico

La probabilidad de que un evento o suceso A ocurra se define como

$P(A) = \frac{numeroDeCasosFavorables}{numeroDeCasosPosibles} = \frac{nA}{nS}$

[continuar clase 1 de probabilidad en 1:15:29]

## Sucesos

### Suceso contrario

Aquel que consiste en que A no ocurra

P($\overline{A}$) = 1 - P(A)

### Regla de la suma

* A y B mutuamente excluyentes ($A\cup{B} = vacio$): $P({A\cup{B}}) = P(A) + P(B)$
* A y B no mutuamente excluyentes: $P(A\cup{B}) = P(A) + P(B) - P(A\cap{B})$

### Sucesos seguros

Certeza segura de que va a suceder un evento. P(A) = 1.

### Suceso imposible

Certeza segura de que NO va a suceder un evento. P(A) = 0.

### Sucesos independientes

La ocurrencia de uno NO afecta al otro.

### Sucesos dependientes

La ocurrencia de uno cualquiera, afecta la probabilidad de los otros.

### Sucesos independientes

P(A/B) = P(A) o P(B/A) = P(B)

Entonces

P(AB) = P(A) * P(B)

Si dos sucesos son independientes -> no son mutuamente excluyentes

## Recursos


## Condicionales

Se representa con una /. Quiere decir, probabilidad de que salga X, siendo que pasó Y
P(X/Y)

$P(Y\cap{X}) = P(Y)*P(X/Y)$

**Probabilidad del condicional**

Haciendo pasaje de términos se llega a que:

$P(X/Y) = \frac{P(Y\cap{X})}{P(Y)}$ si P(Y) != 0

**Generalizada**

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