# Probabilidad y estadística - Parcial 2

## Contenidos previos que sirven

$P(A/B) =$ $P(A\cap{B})\over{P(B)}$

## Variables aleatorias

Toda función X que asigna a c/u de los elementos del espacio muestral S un número real X(s)

Rx es el recorrido de la imagen o variable. Posibles valores de X

* Se usan letras mayúsculas.

### Tipos de variables aleatorias

* Discretas: su recorrido es un conjunto discreto
* Contínuas: su recorrido no es un conjunto numerable. Esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de números naturales.

### Variables aleatorias discretas

#### Condiciones de las variables discretas

Se dice que una variable aleatoria X es discreta si a cada valor posible xi que toma la variable se le puede asociar un número real p(xi) = p(X=xi) llamado probabilidad de x que satisface:

$p(X_{i}) >= 0 \space \forall{i}$ -> todas tienen que tener una probabilidad de que pase
$\sum_{i=1}^{∞}p(X_{i}) = 1$ -> la suma de todas las probabilidades debería dar 1

La función p definida se llama función de probabilidad de X o función de peso.
El conjunto de pares $(x_{i}, p(x_{i}))$ es la distribución de probabilidades de X.

#### Función de probabilidades acumuladas

Definida como $F(x)=P(X\leqslant{x})=\sum_{t\leqslant{x}}f(t)$ $\space \space-∞<x<∞$

**Propiedades**
$0\leqslant{F(x)\leqslant{1}}$
$F(X_{i})\geqslant{F(X_{j})}$ $\space \forall{x_{i} \geqslant{x_{j}}}$
$P(X > X) = 1-F(x)$

**Propiedades sobre probabilidades puntuales**

$P(X = x) = F(x) - F(x - 1)$ -> Si quiero la probabilidad puntual de x, resto la acumulada en ese valor, menos la acumulada en el anterior.
$P(x_{i}\leqslant{X\leqslant{x_{j}}}) = F(x_{j}) - F(x_{i} - 1)$

**Para representarlo se usa el gráfico de escalón**

#### Variables aleatorias contínuas

* Pueden tomar infinitos valores dentro de la recta real
* No se plantean probabilidades aisladas
* Se calcula la probabilidad con respecto a un intervalo. Para esto se usa la función de densidad y suponiendo que bajo dicha curva hay una unidad de area

## Función de densidad

Se define una función de densidad de una v.a. contínua que cumple con las propiedades:

1. $f(x)\geqslant{0}$
2. $\int_{-∞}^{∞}{f(x)dx} = 1$
dado a < b
$P[a\leqslant{x\leqslant{b}}] = \int_{a}^{b}{f(x)dx}$

## Función de distribución

Probabilidad de que la variable sea menor o igual que un valor particular.
$F(x)=P(X\leqslant{x}) = \int_{-∞}^x{f(t)dt}$

Propiedades:

1. $F'(x) = F(x)$ -> la derivada de la función de distribución es la función de densidad
2. $P(a\leqslant{X{\leqslant{b}}}) = F(b) - F(a)$

Si me pide mayor, no puedo usar la función acumulada por lo que tengo que usar el suceso contrario.

Ejemplo de búsqueda de a

Si $f(x) = x^{2}$ $\space 0<=x<=1$
y
$f(x>a) =$ $1\over{4}$
$f(x\leqslant{a}) =$ $3\over{4}$
$a^{2}=$$3\over{4}$

### Esperanza matemática

Valor promedio cuando se realiza muchas veces un experimento

**Definición**
Sea X una variable aleatoria cualquiera, simbolizaremos con E(X) o μ al valor esperado o esperanza matemática de X:

**Significado de la esperanza**
Valor medio teórico de todos los valores que puede tomar la variable. Representa una medida centralización. Conlleva la necesidad de hacer muchas veces el mismo experimento

**En variables discretas**

E(X) = μ = $\sum_{i=1}^{n(∞)}{x_{i}p(x_{i})}$

**En variables contínuas**

$\int_{-∞}^{∞}{xf(x)dx}$

### Varianza matemática

$σ²=E(X²)-(E(X))²$
O
$σ²=\sum_{i=x}^{?}{p(i)*(i-promedio)²}$

## Modelos discretos

### Distribución binomial

* Todo experimento que tenga resultados binarios y cuyos ensayos sean independientes

La función de probabilidad de la variable aleatoria binomia X, el número de éxtiso en n experimentos independientes es
$P(X=x)=$$n\choose{x}$$p^{x}q^{n-x}$
n = número de observaciones, p es la probabilidad de éxito, q es la probabilidad de fracaso y p + q = 1

Características:
* El experimento consiste en n intentos repetidos.
* Los resultados de cada uno de los intentos pueden clasificarse como éxito o como fracaso.
* La probabilidad de éxito representada por p, permanece constante para todos los intentos.
* Los intentos repetidos son independientes.

### Distribución hipergeométrica

* Experimento similar a la binomial pero sin reemplazo.
* Tenemos como dato la población que posee N elementos de los cuales $N_{1}$ son de una clase determinada y $N_{2}$ son de otra clase. $N_{1}+N_{2}=N.
* Ambas clases son mutuamente excluyentes y exhaustivas
* Se extrae una musetra de n elementos sin reemplazo.

La función es:

$P(X=x)_{N_{1},N_{2},n}=$${N_{1}\choose{x}}{N_{2}\choose{n-x}}\over{N_{1}+N_{2}\choose{n}}$

x=0,1,2,...,n y $N_{1}+N_{2}=N$

**Diferencia con binomial**
* En la binomial las distintas observaciones eran independientes.
* En la hipergeométrica son dependientes.
* En la distribución binomial el muestreo debe realizarse con reemplazo o reposición
* En la hipergeométrica el muestreo se realiza sin reemplazo.

Pruebas de resistencia, vida útil.

### Distribución de Poisson

Describe el comportamiento de una varaible aleatoria que representa el número de resultados observados con una determinada caraterística durante un intervalo de tiempo dado o unidad de espacio específica.

**Teorema de la distribución de Poisson como límite de la binomial**

Teo:
Sea X una variable aleatoria binomial con distribución de probabilidad B(n,p).

Cuando $n->∞, p->0$ y $λ=n,p$ permanece constante:
$B(x;n,p)->p(x;λ)$

**Formula**

$\frac{e^{-λ}*λ^{x}}{x!}$

## Variables aleatorias contínuas

### Distribución normal

* Cuando el p > 0.10
* Tiene forma de campana
* Depende de μ y σ
* En μ está el punto medio
* En μ-σ y μ+σ hay un punto de inflexión. A la izquierda es cóncava hacia abajo y a la derecha es cóncava hacia arriba. Después y antes de 3 desviaciones la diferencia con el eje x tiende a cero.
* Tiene una única moda que coinvide con su media y su mediana.
* La curva normal es asintótica al eje X.
* Es simétrica con respecto a su media. 50% atrás y 50% adelante

$F(x) = \int_{-∞}^{x}{\frac{1}{σ\sqrt{2π}}}$$e^{-\frac{(x-μ)²}{2σ²}}$$dx$

#### Distribución normal estándar

* Su media es 0, su varianza 1 y su desviación estándar 1.
* La curva f(x) es simétrica respecto del eje de Y.
* Tiene un máximo en el eje de Y.
* Tiene dos puntos de inflexión en z=1 y z=-1

#### Desviación estándar

La desviación estándar (σ) determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea σ más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana.

#### Media

La media indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores la gráfica es desplazada sobre el eje horizontal. μ.

* El 68% de los datos se encuentra en la media +- 1 desviación
* El 95% de los datos se encuentra en la media +- 2 desviaciones
* El 99,7% de los datos se encuentra en la media +- 3 desviaciones

#### Área bajo la curva

$P(Z\leqslant{a}) -> Tablas$
$P(Z>a) -> 1 - P(Z\leqslant{a})$
$P(a<Z\leqslant{b}) -> P(Z\leqslant{b})-P(Z\leqslant{a})$

#### Área bajo la curva (búsqueda de a)

Buscando valores P(Z<=a) = x si el x no existe, se busca el que tenga MENOR DIFERENCIA. Si la diferencia es la misma para arriba o para abajo, se realiza un promedio.

* Si es < o <= se busca directamente en la tabla.
* Si es >, se plantea que 1-P(Z<=a)=x. Luego 1-x=P(Z<=a). Finalmente se procede igual que en el caso de menor.

**Propiedades**

* $P(Z\leqslant{a}) = x$ -> este es el normal que no requiere hacer nada.
* $P(Z\geqslant{a}) = 1-F(a)$
* $P(Z\leqslant{-a}) = 1-P(Z\leqslant{a})$
* $P(-a\leqslant{Z\leqslant{a}}) = P(Z\leqslant{a}) - P(Z\leqslant{-a})$
* Si se está calculando $P(-a\leqslant{Z\leqslant{a}})=k$, se puede demostrar que $P(a)=0.5+\frac{k}{2}$

#### Valor Z

Distancia entre un valor seleccionado (x) y la media (μ), dividida por la desviación estándar (σ).

$Z=\frac{X-μ}{σ}$

Al determinar el valor **z** empleando la fórmula anterior, es posible encontrar el área de probabilidad bajo cualquier curva normal haciendo referencia a la distribución normal **estándar**.
Los valores de Z son transformaciones que se pueden hacer a los valores de una distribución normal cualquiera, **nos da su distancia respecto a la media, expresándolas en unidades de desviación estándar.**

#### Asimetría de la distribución binomial

Es posible predecir la asimetría de toda distribución binomial en función del valor de sus parámetros, especialmente de la probabilidad de éxito p.

* Si p < 1/2, n < 30 entonces la distribución binomial será asimétrica a derecha
* Si p > 1/2, n < 30 entonces resultará asimétrica a izquierda
* Si p = 1/2 entonces esta dsitribución resulta simétrica sin importar el tamaño de muestra n

**Aproximación de la distribución binomial a la normal**

$Z=\frac{X-np}{\sqrt{n*p*q}}$
$μ=np$
$σ=\sqrt{n*p*q}$

**Aproximación de Poisson a normal**

$Z=\frac{X-lambda}{\sqrt{lambda}}$

#### Factor de conversión

Por convención se toma 0.5

**Pasos**

1. Pasar a desigualdad amplia
2. Hacer el factor de corrección
3. Tipificar
4. Utilizar tabla de distribución normal


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