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title: 2024台大資工二階筆試

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## 2024台大資工
1. $(m^2 + 1)x^2 - 4mx + 2 = 0 \ 有 \ a,b \ 這兩個正根，2ab = a - 3b，求 \ m$
2. $2x^2 + y^2 + (2x - y + 3)^2 \ 的最小值$
3. $可微函數 \ f \ 滿足對於任意 \ x,y，|f(x) - f(y)| \le |x - y|，求 \ f'(x) \ 的最大值$
4. $對於所有 \ 1 \le a < b \le 40 \ 的正整數 \ a, b，求 \frac ab 的總和$
5. $一次丟三顆公正六面骰，求結果中位數是 3 的機率$
6. $非零複數 \ a, b, c \ 滿足 \ \frac ab = \frac bc = \frac ca，求 \ \frac{a - b + c} {a + b - c} \ 的所有可能值$
7. $不是 1 的正實數 \ a, b, c \ 滿足 \log_a c + \log_b c = 0，求 \  abc + 2ab - c$
8. $x, y \in \mathbb{R}^+，求 \ \sqrt{\frac x {x + y} } + \sqrt{ \frac y {x + y}} 的最大值$
9. 廣播節目 call out 觀眾問問題，每個觀眾的答對機率都是 $\frac 45$ 且互不影響，會給第 4 個答對問題的人獎品，求需要撥出電話 7 次以上才能送出獎品的機率
10. $y = x^2$ 上面有三個點，分別是 $A(\frac {-1}2, \frac 14), B( \frac 32, \frac 94)$ 與動點 $P$，$\overleftrightarrow {AP}$上作 $B$ 的垂足 $Q$，求 $\overline{AP} \times \overline{PQ}$ 的最大值
11. $有一個正實數 \ r \ 跟一個函數 \space
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{aligned}
& \sqrt{r^2 - x^2} , & -r \le x \le \frac 23r \\
& \frac {\sqrt 5}3r , & \frac 23r \le x \le \frac{11}3r \\
& \sqrt{r^2 - \Big(x - \frac{13}3r \Big)^2} , & \frac{11}3r \le x \le \frac{16}3r
\end{aligned}
\right.
\end{equation}$
求 $y(x)$ 繞 $x$ 軸的旋轉體體積
12. 對空間中的點 $P(x, y, z)$ 定義 $f(P) = (x-1)^2 - (y-2)^2 + (z-3)^2$
$P_1 = (1,2,3)$，$P_{k+1} (x,y,z)$ 是使得以下式子最小的座標，且 $|x|, |y|, |z| \le 1$
$xf'_x(P_k) + yf'_y(P_k)+zf'_z(P_k) + 0.5\Big((x-P_k.x)^2 + (y-P_k.y)^2 + (y-P_k.y)^2 \Big)$
求 $P_3$
13. 一個地區有 $60\%$ 的人有接種疫苗，有接種疫苗之後的感染率是 $5\%$，確診者中有 $15\%$ 是有接種疫苗的，求沒接種疫苗的人的感染率
14. $x^2 - 2(\sin \alpha \sin \beta)x + 1 = 0 有實根，求 \sin^2  \alpha + \cos^2 \beta$
15. 二階多項式函數 $f(x)$ 滿足 $f(1) = 5, f(2) = 11, f(3) = 19, f(4) = 29, f(5) = 41$
$已知 \sqrt{ f(1) + \sqrt{ f(2) + \sqrt{f(3) + \cdots } } }$ 會收斂，求其極限值
16. 對於任意平面上的 $(x, y)$ 線性變換$\left[
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{array}
\right]$會變換到
$(x', y')$，$-1 \le a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} \le 1$，求 $\frac { \max \Big( \big|x' \big|, \big|y' \big| \Big)} { \big|x \big| +  \big|y \big|}$

答案
1. 3
2. 9/4
3. 1
4. 390
5. 13/54
6. 1, $\frac{-1 \pm \sqrt3 i}2$
7. 2
8. $\sqrt2$
9. 309 / 3125
10. 27 / 16
11. $\frac {335\pi} {81}r^3$
12. (1, -1, 1)
13. 17/40
14. 1
15. 3
16. 1