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title: Résolution du modèle à 8 équations

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# Résolution du modèle à 8 équations


On rappelle le modèle : 

$\dot P_a= -\Lambda P_a$
$\dot P_v= -\Lambda P_v$
$\dot S_s= -\beta I_sS_s -(1-c)\beta (J_s + J_r)S_s -\Theta P_aS_s -(1-c)\Theta P_vS_s +\alpha (I_s+J_s)$
$\dot S_r= -\beta I_sS_r -(1-c)\beta (J_s + J_r)S_r -\Theta P_aS_r -(1-c)\Theta P_vS_r +\alpha (S_r^*+J_r) + \gamma S_r^*$
$\dot I_s= \beta I_sS_s + \Theta P_aS_s - \alpha I_s$
$\dot S_r^*= \beta I_sS_r + \Theta P_aS_r - (1-\rho)(1-c)\beta (J_s + J_r)S_r^* -(1-\rho)(1-c)\Theta P_vS_r^*- (\gamma + \alpha)S_r^*$
$\dot J_s= (1-c)\beta (J_s + J_r)S_s + (1-c)\Theta P_vS_s - \alpha J_s$
$\dot J_r= (1-c)\beta (J_s + J_r)S_r + (1-c)\Theta P_vS_r + (1-\rho)(1-c)\beta (J_s + J_r)S_r^* + (1-\rho)(1-c)\Theta P_vS_r^*- \alpha J_r$

## Simplification : 

On suppose que les infections primaires sont plus rapides que les infections secondaires. 

Cela signifie que le taux de transmission de l'inoculum primaire est plus grand que celui de l'agent pathogène.

Cela implique que l'on peut négliger les infections secondaires devant les infections primaires.

Donc on obtient le système suivant : 

$\dot P_a= -\Lambda P_a$
$\dot P_v= -\Lambda P_v$
$\dot S_s= -\Theta P_aS_s -(1-c)\Theta P_vS_s$
$\dot S_r= -\Theta P_aS_r -(1-c)\Theta P_vS_r$
$\dot I_s= \Theta P_aS_s$
$\dot S_r^*= \Theta P_aS_r -(1-\rho)(1-c)\Theta P_vS_r^*$
$\dot J_s= (1-c)\Theta P_vS_s$
$\dot J_r= (1-c)\Theta P_vS_r + (1-\rho)(1-c)\Theta P_vS_r^*$


On pose : 

$\Theta_a = \Theta$
$\Theta_v = (1-c)\Theta$

On a : 

$\dot P_a= -\Lambda P_a$
$\dot P_v= -\Lambda P_v$
$\dot S_s= -\Theta_a P_aS_s -\Theta_v P_vS_s$
$\dot S_r= -\Theta_a P_aS_r -\Theta_v P_vS_r$
$\dot I_s= \Theta_a P_aS_s$
$\dot S_r^*= \Theta_a P_aS_r$
$\dot J_s= \Theta_v P_vS_s$
$\dot J_r= \Theta_v P_vS_r$

### Résolution de P : 

On trouve facilement : 

$P_a(t) =P_a(0) e^{-\Lambda t}$
$P_v(t) =P_v(0) e^{-\Lambda t}$

En passant à la limite : 

$\lim\limits_{t \to +\infty} P_a(t) = 0$
$\lim\limits_{t \to +\infty} P_v(t) = 0$

On veut vérifier nos résultats pour toutes les variables. Pour cela nous devons dans un premier temps dériver la solution obtenue et voir si l'on retombe bien sur la même équation différentielle. Dans un second temps, nous regarderons si la limite quand $t \to 0$ tend bien vers la condition initiale de l'équation.

Vérification des résultats : 

$P_a(t) =P_a(0) e^{-\Lambda t}$

$\Rightarrow \frac{dP_a(t)}{dt} = -\Lambda P_a(0) e^{-\Lambda t} = -\Lambda P_a(t)$

$P_v(t) =P_v(0) e^{-\Lambda t}$

$\Rightarrow \frac{dP_v(t)}{dt} = -\Lambda P_v(0) e^{-\Lambda t} = -\Lambda P_v(t)$

On retombe bien sur la bonne équation.

De plus : 

$P_a(0) = P_a(0)$
$P_v(0) = P_v(0)$

Notre solution est exacte.

### Résolution de S : 

On injecte les solutions de $P_a$ et $P_v$ dans les équations des $\dot S_s$

$$
\begin{align}
\dot S_s &= -\Theta_a P_a(0) e^{-\Lambda t}S_s -\Theta_v P_v(0) e^{-\Lambda t}S_s \\
&= -\sum_x \Theta_x P_x(0) S_s e^{-\Lambda t}
\end{align}$$

avec $x=\{a,v\}$

Méthode de séparation des variables :

$$\begin{align}
\int_{S_s(0)}^{S_s(t)} \frac{dS_s}{S_s} &= \int_0^t -\sum_x \Theta_x P_x(0) e^{-\Lambda \tau} d\tau \\
\Rightarrow \ln(\frac{S_s(t)}{S_s(0)}) &= -\sum_x \Theta_x P_x(0) \int_0^t e^{-\Lambda \tau} d\tau\\
&= -\sum_x \Theta_x P_x(0) \left [-\frac{1}{\Lambda} e^{-\Lambda \tau} \right]_{\tau = 0}^t \\
&= -\sum_x \Theta_x P_x(0)(-\frac{1}{\Lambda} e^{-\Lambda t}+ \frac{1}{\Lambda}) \\
&= -\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) (1-e^{-\Lambda t}) \\
\Rightarrow S_s(t) &= S_s(0)\exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) (1-e^{-\Lambda t}) \right )
\end{align}$$

En passant à la limite : 

$\lim\limits_{t \to +\infty} S_s(t) = S_s(0)\exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)  \right )$

De mème pour $\dot S_r$ : 

$\dot S_r=  -\sum_x \Theta_x P_x(0) S_r e^{-\Lambda t}$

D'où : 

$S_r(t) = S_r(0) \exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) (1-e^{-\Lambda t})\right)$

En passant à la limte  : 

$\lim\limits_{t \to +\infty} S_r(t) = S_r(0) \exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)  \right )$

Vérification des résultats : 

$$
\begin{align}
S_s(t) &= S_s(0)\exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) (1-e^{-\Lambda t}) \right )\\
\Rightarrow \frac{dS_s(t)}{dt} &= -S_s(0)\sum_x \Theta_x P_x(0)e^{-\Lambda t}\exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) (1-e^{-\Lambda t}) \right )\\
&= - \sum_x \Theta_x P_x(0)e^{-\Lambda t}S_s(t) \\
&= -\Theta_aP_a(0)e^{-\Lambda t}S_s(t)-\Theta_vP_v(0)e^{-\Lambda t}S_s(t) \\
&= -\Theta_aP_a(t)-\Theta_vP_v(t)S_s(t)
\end{align}$$

On retombe bien sur la bonne équation.
Et de même pour $S_r(t)$

De plus : 

$S_s(0) = S_s(0)$
$S_r(0) = S_r(0)$

Les solutions $S_s(t)$ et $S_r(t)$ sont exactes.

### Résolution de I : 

On intègre $S_s$ et $P_a$ dans $I_s$ : 


$\dot I_s= \Theta_a P_a(0) e^{-\Lambda t}S_s(0)\exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) (1-e^{-\Lambda t})\right)$

$$\begin{align}
\Rightarrow I_s(t) &= \Theta_a S_s(0) P_a(0) \exp\left(-\frac{1}{\Lambda} \sum_x \Theta_x P_x(0)\right) \int_0^t e^{-\Lambda \tau}\exp\left(\frac{1}{\Lambda} \sum_x \Theta_x P_x(0)\right) d\tau\\
&= -\Theta_a S_s(0)P_a(0) \exp\left(-\frac{1}{\Lambda} \sum_x \Theta_x P_x(0)\right)\frac{1}{\sum_x \Theta_x P_x(0)} \left [\exp\left(\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) e^{-\Lambda \tau}\right) \right ]_{\tau =0}^t \\
&= -\frac{\Theta_a S_s(0) P_a(0)}{\sum_x \Theta_x P_x(0)} \exp\left(-\frac{1}{\Lambda} \sum_x \Theta_x P_x(0)\right) \left(\exp\left(\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) e^{-\Lambda t}\right)-\exp\left(\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)\right) \right)\\
&= \frac{\Theta_a S_s(0) P_a(0)}{\sum_x \Theta_x P_x(0)} \left(1- \exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right) \right) 
\end{align}$$

En passant à la limite : 

$\lim\limits_{t \to +\infty} I_s(t) = \frac{\Theta_a S_s(0) P_a(0)}{\sum_x \Theta_x P_x(0)} \left(1- \exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)\right) \right)$


**De même pour $J_s$ :** 

On intègre $P_v$ et $S_s$ dans $J_s$ : 

$\dot J_s= \Theta_v P_v(0) e^{-\Lambda t}S_s(0)\exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) (1-e^{-\Lambda t})\right)$

$J_s(t) = \frac{\Theta_v S_s(0) P_v(0)}{\sum_x \Theta_x P_x(0)} \left(1- \exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right) \right)$

En passant à la limite : 

$\lim\limits_{t \to +\infty} J_s(t) = \frac{\Theta_v S_s(0) P_v(0)}{\sum_x \Theta_x P_x(0)} \left(1- \exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)\right) \right)$

Vérification des résultats : 

$$
\begin{align}
I_s(t) &= \frac{\Theta_a S_s(0) P_a(0)}{\sum_x \Theta_x P_x(0)} \left(1- \exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right) \right)\\
\Rightarrow \frac{dI_s(t)}{dt} &= \frac{\Theta_a S_s(0) P_a(0)}{\sum_x \Theta_x P_x(0)}\sum_x \Theta_x P_x(0)e^{-\Lambda t} \exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right) \\
&= \Theta_aP_a(0)e^{-\Lambda t}S_s(0)\exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right) \\
&= \Theta_a P_a(t)S_s(t)
\end{align}$$

On retombe bien sur la bonne équation.
Et de même pour $J_s(t)$.

De plus : 

$I_s(0) = 0$
$J_s(0) = 0$

Les solutions $I_s(t)$ et $J_s(t)$ sont exactes.

Passons au calcul de $S_r^*$ et de $J_r$ qui sont un peu plus compliqués.

On pose : 

$\Theta_{a,y} = \Theta_a = \Theta$
$\Theta_{v,y} = \rho\Theta_v = \rho(1-c)\Theta$

**Résolution de $S_r^*$ :**

On a : 

$\dot S_r^*= \Theta_a P_aS_r -(1-\rho)\Theta_v P_vS_r^*$

On intègre $P_a$, $S_r$ et $P_v$ dans $S_r^*$ : 

$\dot S_r^*= \Theta_a P_a(0) e^{-\Lambda t}S_r(0)\exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) (1-e^{-\Lambda t})\right)-(1-\rho)\Theta_v P_v(0) e^{-\Lambda t}S_r^*$

Méthode de variation de la constante : 

On résout l'équation homogène : 

$\dot S_r^*= -(1-\rho)\Theta_v P_v(0) e^{-\Lambda t}S_r^*$

Séparation des variables :

$$\begin{align}
\int_{S_r^*(0)}^{S_r^*(t)} \frac{dS_r^*}{S_r^*} &= \int_0^t -(1-\rho)\Theta_v P_v(0) e^{-\Lambda \tau} d\tau \\
&= -(1-\rho)\Theta_v P_v(0) \left [-\frac{1}{\Lambda} e^{-\Lambda \tau} \right]_{\tau = 0}^t \\
&= -(1-\rho)\Theta_v P_v(0)(-\frac{1}{\Lambda} e^{-\Lambda t}+ \frac{1}{\Lambda}) \\
&= -\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_vP_v(0) (1-e^{-\Lambda t}) \\
\Rightarrow S_r^*(t) &= S_r^*(0)\exp\left(-\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_vP_v(0) (1-e^{-\Lambda t})\right)
\end{align}$$

On pose : 

$S_r^*(t) = C(t) \exp\left(-\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_vP_v(0) (1-e^{-\Lambda t})\right)$

On a : 

$$
\begin{align}
\dot S_r^* &= \dot C(t) \exp\left(-\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_vP_v(0) (1-e^{-\Lambda t})\right)- C(t)(1-\rho)\Theta_vP_v(0)e^{-\Lambda t}\exp\left(-\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_vP_v(0) (1-e^{-\Lambda t})\right) \\
&= g(t)- C(t)(1-\rho)\Theta_vP_v(0)e^{-\Lambda t}\exp\left(-\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_vP_v(0) (1-e^{-\Lambda t})\right)
\end{align}$$

avec : $g(t)=\Theta_a P_a(0) e^{-\Lambda t}S_r(0)\exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) (1-e^{-\Lambda t})\right)$

Donc : 

$$
\begin{align}
\dot C(t) &= \exp\left(\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_vP_v(0) (1-e^{-\Lambda t})\right)g(t) \\
&= \exp\left(\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_vP_v(0) (1-e^{-\Lambda t})\right)\Theta_a P_a(0) e^{-\Lambda t}S_r(0)\exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) (1-e^{-\Lambda t})\right) \\
&= \Theta_a P_a(0) S_r(0)e^{-\Lambda t}\exp\left(-\frac{1}{\Lambda}(1-e^{-\Lambda t})\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)\right) \\
\Rightarrow C(t) -C(0) &= \Theta_a P_a(0) S_r(0)\exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)\right) \int_0^t e^{-\Lambda \tau} \exp\left(\frac{1}{\Lambda} \sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)e^{-\Lambda \tau}\right) d\tau \\
&= -\Theta_a P_a(0) S_r(0)\exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)\right) \frac{1}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)} \left [\exp\left(\frac{1}{\Lambda} \sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)e^{-\Lambda \tau}\right)\right]_{\tau =0}^t \\
&= -\frac{\Theta_a P_a(0) S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)}\exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)\right)\left(\exp\left(\frac{1}{\Lambda} \sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)e^{-\Lambda t}\right)-\exp\left(\frac{1}{\Lambda} \sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)\right)\right) \\
&= \frac{\Theta_a P_a(0) S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)}\left(1-\exp\left(-\frac{1}{\Lambda} \sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right)\right) \\
\end{align}$$

Et $C(0)=S_r^*(0)=0$

Donc : 

$C(t) = \frac{\Theta_a P_a(0) S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)}\left(1-\exp\left(-\frac{1}{\Lambda} \sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right)\right)$

D'où : 

$S_r^*(t) = \frac{\Theta_a P_a(0) S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)}\left(\exp\left(-\frac{1}{\Lambda} (1-\rho)\Theta_vP_v(0)(1-e^{-\Lambda t})\right)-\exp\left(-\frac{1}{\Lambda} \sum_x \Theta_x P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right)\right)$

En passant à la limite : 

$\lim\limits_{t \to +\infty} S_r^*(t) = \frac{\Theta_a P_a(0) S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)}\left(\exp\left(-\frac{1}{\Lambda} (1-\rho)\Theta_vP_v(0)\right)-\exp\left(-\frac{1}{\Lambda} \sum_x \Theta_x P_x(0)\right)\right)$

Regardons si la limite est positive : 

$\frac{\Theta_a P_a(0) S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)} \ge 0$ car tous les paramètres sont positifs et que les conditions initiales sont positives ou nulles.

Regardons si : $\exp\left(-\frac{1}{\Lambda} (1-\rho)\Theta_vP_v(0)\right)-\exp\left(-\frac{1}{\Lambda} \sum_x \Theta_x P_x(0)\right) \ge 0$ ?

$$
\begin{align}
&\exp\left(-\frac{1}{\Lambda} (1-\rho)\Theta_vP_v(0)\right)-\exp\left(-\frac{1}{\Lambda} \sum_x \Theta_x P_x(0)\right) \ge 0 \\
&\Rightarrow \exp\left(-\frac{1}{\Lambda} (1-\rho)\Theta_vP_v(0)\right) \ge \exp\left(-\frac{1}{\Lambda} \sum_x \Theta_x P_x(0)\right)  \\
&\Rightarrow -\frac{1}{\Lambda} (1-\rho)\Theta_vP_v(0) \ge -\frac{1}{\Lambda} \sum_x \Theta_x P_x(0) \\
&\Rightarrow (1-\rho)(1-c)\Theta P_v(0) \le \Theta P_a(0) + (1-c)\Theta P_v(0) \\
&\Rightarrow -\rho(1-c)\Theta P_v(0) \le \Theta P_a(0)  \\
\end{align}$$

Or : $\Theta P_a(0) \ge 0$ et $\rho(1-c)\Theta P_v(0) \ge 0 \quad \forall c \le 1$ 
Vrai car $0 \le c \le 1$

Donc on a bien $-\rho(1-c)\Theta P_v(0) \le \Theta P_a(0)$

Donc après les infections primaires il reste bien des plantes hôtes primées.


Vérification des résultats : 

Solution vérifiée grâce à Maple car à la main c'est compliqué de retomber sur la même équation.

De plus : 

$S_r^*(0) = 0$

Donc on considère que la solution de $S_r^*$ est exacte.


**Résolution de $J_r$ :**

$\dot J_r= \Theta_v P_vS_r + (1-\rho)\Theta_v P_vS_r^*$

On intègre $P_v$, $S_r$ et $S_r^*$ dans $J_r$ : 

$$
\begin{align}
\dot J_r&= \Theta_v P_v(0)e^{-\Lambda t}S_r(0) \exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) (1-e^{-\Lambda t})\right)  \\
&+ (1-\rho)\Theta_v P_v(0)e^{-\Lambda t}\frac{\Theta_a P_a S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)}\left(\exp\left(-\frac{1}{\Lambda} (1-\rho)\Theta_vP_v(0)(1-e^{-\Lambda t})\right)-\exp\left(-\frac{1}{\Lambda} \sum_x \Theta_x P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right)\right) 
\end{align}$$

Nous allons calculer l'intégrale des deux termes séparément 

Intégration du premier terme : 

$$
\begin{align}
A &= \Theta_v P_v(0)S_r(0)  \exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) \right) \int_0^te^{-\Lambda \tau} \exp \left(\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) (e^{-\Lambda \tau})\right) d\tau \\
&= \frac{\Theta_v P_v(0)S_r(0)}{\sum_x \Theta_x P_x(0)} \left(1-\exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) (1-e^{-\Lambda t}) \right)\right)
\end{align}$$

Intégration du deuxième terme : 

$$
\begin{align}
B &= (1-\rho)\Theta_v P_v(0)\frac{\Theta_a P_a S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)} \left[\exp \left(-\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_v P_v(0) \right) \int_0^t e^{-\Lambda \tau} \exp \left(\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_v P_v(0) e^{-\Lambda \tau}\right)d\tau\ -  \exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) \right) \int_0^t e^{-\Lambda \tau} \exp \left(\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) e^{-\Lambda \tau}\right)d\tau\right] \\
&= (1-\rho)\Theta_v P_v(0)\frac{\Theta_a P_a S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)} \left[-\exp \left(-\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_v P_v(0) \right) \frac{1}{(1-\rho)\Theta_vP_v(0)} \left[\exp \left(\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_v P_v(0) e^{-\Lambda \tau}\right) \right]_{\tau=0}^t  + \exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) \right) \frac{1}{\sum_x \Theta_x P_x(0)} \left[\exp \left(\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)e^{-\Lambda \tau}\right) \right]_{\tau=0}^t \right] \\
&= (1-\rho)\Theta_v P_v(0)\frac{\Theta_a P_a S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)} \left[-\exp \left(-\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_v P_v(0) \right) \frac{1}{(1-\rho)\Theta_vP_v(0)} \left(\exp \left(\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_v P_v(0) e^{-\Lambda t}\right) - \exp \left(\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_v P_v(0) \right)\right)  + \exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) \right) \frac{1}{\sum_x \Theta_x P_x(0)} \left(\exp \left(\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)e^{-\Lambda t}\right)- \exp \left(\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)\right) \right) \right] \\
&= (1-\rho)\Theta_v P_v(0)\frac{\Theta_a P_a S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)} \left[\frac{1}{(1-\rho)\Theta_vP_v(0)} \left(1 - \exp \left(-\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_v P_v(0)(1-e^{-\Lambda t}) \right)\right)  -  \frac{1}{\sum_x \Theta_x P_x(0)} \left(1- \exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right) \right) \right] \\
&= \frac{\Theta_a P_a S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)}  \left(1 - \exp \left(-\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_v P_v(0)(1-e^{-\Lambda t}) \right)\right)  - (1-\rho)\Theta_v P_v(0) \frac{\Theta_a P_a S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)} \frac{1}{\sum_x \Theta_x P_x(0)} \left(1- \exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right) \right)  \\
\end{align}$$

Donc : 

$$
\begin{align}
J_r(t) &= A + B \\
&= \frac{\Theta_a P_a S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)}  \left(1 - \exp \left(-\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_v P_v(0)(1-e^{-\Lambda t}) \right)\right) + \frac{1}{\sum_x \Theta_x P_x(0)} \left(1- \exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right) \right) \left( \Theta_v P_v(0) S_r(0) - (1-\rho)\Theta_v P_v(0)\frac{\Theta_a P_a S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)}  \right)
\end{align}$$

Avec : 

$$
\begin{align}
&\Theta_v P_v(0) S_r(0) - (1-\rho)\Theta_v P_v(0)\frac{\Theta_a P_a(0) S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)} \\
&= \frac{ \Theta_v P_v(0) S_r(0) [\Theta_aP_a(0)+\rho \Theta_vP_v(0)] - (1-\rho)\Theta_v P_v(0)\Theta_a P_a(0) S_r(0)}{\Theta_aP_a(0)+\rho \Theta_vP_v(0)} \\
&= \frac{ \rho \Theta_v^2 P_v^2(0) S_r(0) + \rho)\Theta_v P_v(0)\Theta_a P_a(0) S_r(0)}{\Theta_aP_a(0)+\rho \Theta_vP_v(0)} \\
&= \frac{\rho \Theta_v P_v(0) S_r(0) [\Theta_v P_v(0) + \Theta_a P_a(0)]}{\Theta_aP_a(0)+\rho \Theta_vP_v(0)} \\
&= \frac{\rho \Theta_v P_v(0) S_r(0) \sum_x \Theta_x P_x(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)} \\
\end{align}$$ 

On ré-injecte dans $J_r(t)$ : 

$$
\begin{align}
J_r(t) &= \frac{\Theta_a P_a S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)}  \left(1 - \exp \left(-\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_v P_v(0)(1-e^{-\Lambda t}) \right)\right) + \frac{1}{\sum_x \Theta_x P_x(0)} \frac{\rho \Theta_v P_v(0) S_r(0) \sum_x \Theta_x P_x(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)} \left(1- \exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right) \right) \\
&= \frac{\Theta_a P_a S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)}  \left(1 - \exp \left(-\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_v P_v(0)(1-e^{-\Lambda t}) \right)\right) +  \frac{\rho \Theta_v P_v(0) S_r(0) }{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)} \left(1- \exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right) \right) \\
&= \frac{\Theta_a P_a S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)} + \frac{\rho \Theta_v P_v(0) S_r(0) }{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)} - \frac{\Theta_a P_a S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)}\exp \left(-\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_v P_v(0)(1-e^{-\Lambda t}) \right) - \frac{\rho \Theta_v P_v(0) S_r(0) }{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)} \exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right) \\
&= S_r(0) - \frac{S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)} \left( \Theta_aP_a(0)\exp \left(-\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_v P_v(0)(1-e^{-\Lambda t}) \right) + \rho \Theta_vP_v(0)\exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right) \right)\\
\end{align}$$



En passant à la limite : 

$\lim\limits_{t \to +\infty} J_r(t) = S_r(0) - \frac{S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)} \left( \Theta_aP_a(0)\exp \left(-\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_v P_v(0)\right) + \rho \Theta_vP_v(0)\exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)\right) \right)$

Vérification des résultats : 

Résultats vérifiées avec l'aide de Maple car à la main trop compliqué.

De plus : 

$J_r(0) = 0$


### Récapitulatif des résultats : 

\begin{align}
P_a(t) &= P_a(0) e^{-\Lambda t} \\
P_v(t) &= P_v(0) e^{-\Lambda t} \\
S_s(t) &= S_s(0)\exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) (1-e^{-\Lambda t}) \right )\\
S_r(t) &= S_r(0) \exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0) (1-e^{-\Lambda t})\right)\\
I_s(t) &= \frac{\Theta_a S_s(0) P_a(0)}{\sum_x \Theta_x P_x(0)} \left(1- \exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right) \right)\\
S_r^*(t) &= \frac{\Theta_a P_a(0) S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)}\left(\exp\left(-\frac{1}{\Lambda} (1-\rho)\Theta_vP_v(0)(1-e^{-\Lambda t})\right)-\exp\left(-\frac{1}{\Lambda} \sum_x \Theta_x P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right)\right)\\
J_s(t) &= \frac{\Theta_v S_s(0) P_v(0)}{\sum_x \Theta_x P_x(0)} \left(1- \exp\left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right) \right)\\
J_r(t) &= S_r(0) - \frac{S_r(0)}{\sum_x \Theta_{x,y} P_x(0)} \left( \Theta_aP_a(0)\exp \left(-\frac{1}{\Lambda}(1-\rho)\Theta_v P_v(0)(1-e^{-\Lambda t}) \right) + \rho \Theta_vP_v(0)\exp \left(-\frac{1}{\Lambda}\sum_x \Theta_x P_x(0)(1-e^{-\Lambda t})\right) \right)
\end{align}

Pour avoir les solutions de $S_s, S_r, I_s, S_r^*, J_s, J_r$ au temps $(k+1)T^+$, c'est-à-dire, au début de la nouvelle année, après les infections primaires, il faut prendre la limites des résultats en $+\infty$.