# Formelsammlung

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# Investition

## Grundlagen

$$ Einnahme = Einzahlung + Forderungszugang + Schuldenabgang$$
$$ Ausgabe = Auszahlung + Forderungsabgang + Schuldenzugang $$

## Statische Verfahren

### Kostenvergleichrechnung

$$ Abschreibung = \frac{ Anschaffungskosten - Liquidationserlös }{ Nutzungsdauer } $$
$$ Zinsen = \frac {Anschaffungskosten + Liquidationserlös }{ 2 } * Kalkulationszinssatz $$
$$ Fixkosten: K_{fix} = Abschreibung + Gehälter + Zinsen + sonstige \ fixe \ Kosten $$
$$ variable \ Kosten: K_{var} = Löhne + Material + sonstige \ variable \ Kosten $$
$$ Kostenfunktion: K(x) = K_{fix} + K_{var} * x $$

$$ Erlös = Verkaufspreis * Absatzmenge $$
$$ Gewinn = Erlös - Kosten $$

### Rentabilitätsvergleichsrechnung

$$ Rentabilität = \frac{ durchschnittlicher \ Gewinn }{ durchschnittliche \ Kapitalbindung } $$

$$ Bruttorentabilität = \frac{ Gewinn \ vor \ Abzug \ von \ kalk. \ Zinsen}{ durchschnittliche \ Kapitalbindung }$$

$$ Nettorentabilität = \frac{ Gewinn \ nach \ Abzug \ von \ kalk. \ Zinsen}{ durchschnittliche \ Kapitalbindung }$$

### Amortisationsrechnung

$$ Durchschnittliche \ Rückflüsse = durchschnittlicher \ Gewinn + Abschreibungen $$
$$ Amortisationszeit = \frac {eingesetztes \ Kapital }{durchschnittliche \ Rückflüsse} $$

## Dynamische Verfahren

### Grundlagen

Zinseszinsrechnung:
$$ Z = Zinsen $$
$$ K_{0} = Anfangskapital $$
$$ i_{vor} = vorschüssiger \ Zinssatz $$
$$ i = nachschüssiger \ Zinssatz $$
$$ n = Anazhl \ der \ Zinsperioden $$
$$ vorschüssige \ Zinsen: K_{0} = K_{n}-K_{n}*i_{vor}=K_{n}*(1-i_{vor}) $$
$$ nachschüssige \ Zinsen: K_{n} = K_{0}+K_{0}*i=K_{0}*(1+i)$$
$$ K_{n} = K_{0} + K_{0} * i * n $$
$$ K_{0} = \frac {K_{n}}{(1+n)^n} = \frac {K_{n}}{q^n}=K_{n}*q^{-n} \ mit \ Abzinsungsfaktor \ q^{-n}$$

$$ Barwert: K_{0} = \frac {K_{n}}{(1 + i)^n} $$
$$ Zahlungsreihe \ zur \ Rentenendwertberechnung \ REW = a_{n}+a_{n-1}*(1+i)^1+a_{n-2}*(1+i)^2+...+a*(1+i)^{(n-1)} $$
$$ Wenn \ (a_{n}=a{n-1}=...=a_{1}=a) \ gilt: REW = a+a(1+i)^1+a(1+i)^2+...+a(1+i)^{n-1} $$
$$ mit \ 1+i=q: REW = a(1+q^1+q^2+...+q^{n-1}) $$
$$ REW = a*\sum_{t=0}^{n-1}{AUF(i;n)} $$
$$ \sum_{t=0}^{n-1}{AUF(i;n)} = \frac {q^n-1}{q-1} = Rentenendwertfaktor \ (REF \ (i;n)) $$
$$ K_{n} = a * \frac {(1+i)^n-1}{i} \ mit \ K_{n}=Endwert,\ a=Einzahlung,\ i=Kalkulationszinssatz $$
$$ K_{n}=a*\frac{q^n-1}{q-1} $$
$$ \frac{q^n-1}{q-1}=Rentenendwertfaktor \ (REF\ (i;n)) $$

$$ ewige \ Rente: Rentenbarwert \ mit \ n \to \infty, \ Grenzwertberechnung $$
$$ K_{0}=a*\frac{(1+i)^n-1}{i*(1+i)^n}=a* \left[ \frac{1}{i}*\frac{(1+i)^n}{1+i)^n}-\frac{1}{i*(1+i)^n} \right] $$
$$ \lim_{n \to \infty} K_{0}=a*\left[ \frac{1}{i}*\underbrace{\frac{(1+i)^n}{(1+i)^n}}_{1}-\underbrace{\frac{1}{i*(1+i)^n}}_{\to0}\right]$$
$$ K_{0}=a* \frac{1}{i} $$

$$ Annuitätenberechnung: Herleitung \ der \ Formel $$
$$K_{0} = a* \frac{(1+i)^n-1}{i*(1+i)^n} $$
$$a= K_{0} * \frac{i*(1+i)^n}{(1+i)^n-1}$$
$$ \frac{i*(1+i)^n}{(1+i)^n-1}= Annuitätenfaktor \ / \ Kapitalwiedergewinnungsfaktor \ (KWF \ (i;n)) $$

$$ \frac{i}{(1+i)^n-1} = Rückwärtsverteilungsfaktor $$

### Kapitalwertmethode

$$ KW = \sum_{t=0}^{T}{(e_{t}-a{t})*q^{-t}} $$
$$ mit \ t=Zeitindex $$
$$ T = letzter \ Zeitpunkt, \ in \ dem \ Zahlungen \ anfallen $$
$$ e_{t} = Einzahlungen \ im \ Zeitpunkt \ t $$
$$ a_{t} = Auszahlungen \ im \ Zeitpunkt \ t $$
$$ q^{-t} = Abzinsungsfaktor \ für \ den \ Zeitpunkt \ t=\frac{1}{(1+i)^t} $$
$$ Abzinsung \ von \ Nettozahlungen: N_{t}=e_{t}-a_{t} $$

$$ Kapitalwert \ von \ endlichen \ Raten \ (mit \ N_{t} \ für \ alle \ Perioden \ t=1,2,...,T \ gleich) $$
$$ KW=-A_{0}+N*\frac{(1+i)^T-1}{i*(1+i)^T}+\frac{L_{T}}{(1+i)^T} $$

### Annuitätenmethode
$$ Ann = \sum_{t=0}^{T}{\frac{N_{t}}{(1+i)^t}}*\frac{(1+i)^T*i}{(1+i)^T-1} $$
$$ Ann = KW*\underbrace{\frac{(1+i)^T*i}{(1+i)^T-1}}_{Kapitalwiedergewinnungsfaktor \ / \ Annuitätenfaktor} $$
$$ Kapitalwert \ t = \frac{Annuität}{Kalkulationszinssatz} $$

### Interner Zinssatz
$$ r \ aus \ KW = \sum_{t=0}^{T}{(e_{t}-a_{t})*(1+r)^{-t}=0} $$
$$ Interpolationsverfahren: \ Es \ gilt: $$
$$ \frac{r^{*}-i_{1}}{i_{2}-i_{1}} = \frac{KW_{1}}{KW_{1}-KW_{2}} \ und $$
$$ r^{*}-i_{1}=\frac{KW_{1}}{KW_{1}-KW_{2}}*(i_{2}-i_{1}) \ sowie $$
$$ r^{*}=i_{1}+\frac{KW_{1}}{KW_{1}-KW_{2}}*(i_{2}-i_{1}) \ und \ damit \ auch $$
$$ r\approx i_{1}+\frac{KW_{1}}{KW_{1}-KW_{2}}*(i_{2}-i_{1}) $$

### Dynamische Armortisationsrechnung
$$ \sum_{t=0}^{\tau}{N_{t}*q^{-t}}=0 $$
$$ Interpolationsformel \ zur \ Bestimmung \ der \ Armortisationszeit $$
$$ AZ\approx t^{*}+\frac{KW_{t^{*}}}{KW_{t^{*}}-KW_{t^{*+1}}} $$

### Vermögensendwertmethode
#### bei Kontenausgleichsverbot
$$ V_{T^{+}}=\sum_{t=0}^{T}{N_{t^{+}}*(1+h)^{T-t}} \ Endwert \ des \ Vermögens \ (Vermögenskonto) $$
$$ V_{T^{-}}=\sum_{t=0}^{T}{N_{t^{-}}*(1+h)^{T-t}} \ Endwert \ der \ Vermindlichkeiten \ (Verbindlichkeitskontokonto) $$
$$ VE = V_{T^{+}} + V_{T^{-}} \ Vermögensendwert \ des \ Investitionsobjekts $$
$$ h = Haben-Zinssatz $$
$$ s = Soll-Zinssatz $$
$$ N_{t^{+}} = positive \ Nettozahlungen $$
$$ N_{t^{-}} = negative \ Nettozahlungen $$

#### bei Kontenausgleichsgebot
$$ V_{t}=N_{t}+\left\{
\begin{array}{ll}
V_{t-1}*(1+h), \ für \ V_{t-1} \geq 0 \\
V_{t-1}*(1+s), \ für \ V_{t-1} < 0 \\
\end{array}
\right. \ Vermögen \ zum \ Zeitpunkt \ t $$
$$
VE=N_{T}+\left\{
\begin{array}{ll}
V_{T-1}*(1+h), \ für \ V_{T-1} \geq 0 \\
V_{T-1}*(1+s), \ für \ V_{T-1} < 0 \\
\end{array}
\right. \ Vermögensendwert $$

$$ I_{t}=\left\{
\begin{array}{ll}
h*V_{T-1}, \ \forall \ V_{T-1} \geq 0 \\
s*V_{T-1}, \ \forall \ V_{T-1} < 0 \\
\end{array}
\right. $$

### Vollständige Finanzpläne (VOFI)
$$ r_{EK} = \sqrt[T]{\frac{Endwert}{Eigenmittel}}-1 $$

## Vorteilhaftigkeitsentscheidungen bei mehreren Zielgrößen: Nutzwertanalyse
### Nutzwertermittlung
$$ N_{Ni}=\sum_{k=1}^{K}{n_{ik}*w_{k}}$$
$$\ N_{Ni} = Nutzwert \ der \ Alternative \ i $$
$$ n_{ik} = Teilnutzenwert \ der \ Alternative \ i \ bezüglich \ des \ Kriteriums \ k $$
$$ w_{k} = Gewicht \ des \ Kriteriums \ k $$

## Nutzungsdauer- und Ersatzzeitpunktentscheidungen
### Nutzwertermittlung
$$ N_{Ni}=\sum_{k=1}^{K}{n_{ik}*w_{k}} $$
### Optimale Nutzungsdauer
$$ KW_{n} = -A_{0}+\sum_{t=1}^{n}{R_{t}}*q^{-t}+L_{n}*q^{-n} $$
$$ KW_{n} = Kapitalwert \ bei \ einer \ Nutzungsdauer \ von \ n \ Perioden $$
$$ A_{0} = Anschaffungsauszahlung $$
$$ R_{t} = Rückfluss \ im \ Zeitpunkt \ t $$
$$ L_{n} = Liquidationserlös \ nach \ einer \ Nutzungsdauer \ von \ n \ Perioden $$
$$ q^{-t} = Abzinsungsfaktor \ für \ den \ Zeitpunkt \ t $$

### zeitlicher Grenzgewinn
$$ G_{t} = R_{t} + L_{t} - q * L_{t-1} $$

### optimale Nutzungsdauer einer Investition mit einem Nachfolgeobjekt
$$ KW_{G} = KW_{1}(n_{1}) + KW_{2max}*q^{-n_{1}} $$
$$ KW_{G}= Investitionskette $$
$$ n_{1}= Nutzungsdaueralternativen \ der \ Grundinvestition $$

$$ G_{t} < i * KW_{2max} $$

### Sensitivitätsanalyse

$$ KW = -A_{0} + \sum_{t=1}^{T}{((p-a_{v})*x-A_{f})*q^{-t}+L+q^{-T}} $$
$$ A_{0} = Anschaffungsauszahlung $$
$$ x = Produktions-/Absatzmenge $$
$$ p = Verkaufspreis \ je \ Stück $$
$$ a_{v} = produktions-/absatzmengenabhängige \ Auszahlungen \ pro \ Stück $$
$$ A_{f} = produktions-/absatzmenegenunabhängige \ Auszahlungen \ pro \ Periode $$
$$ L = Liquidationserlös $$
$$ T = Nutzungsdauer $$
$$ i = Kalkulationszinssatz $$

#### Bestimmung des kritischen Preises

$$ p_{krit}=\frac{A_{0}+\sum_{t=1}^{T}{(a_{v}*x+A_{f})*q^{-t}-L*q^{-T}}}{x*\sum_{t=1}^{T}{q^{-t}}} $$

# Finanzierung

## Kapitalbedarf

$$ KB_{t}=\sum_{0}^{t}{a}-\sum_{0}^{t}{e} $$
$$ KB_{t}=\sum_{0}^{t}{a}-\sum_{0}^{t}{e}-G_{0} $$
mit
$$ KB_{t} = Kapitalbedarf \ zum \ Zeitpunkt \ t (€) $$
$$ G_{0} = Geldbestand \ zum \ Zeitpunkt \ 0 \ (€) $$
$$ a = Auszahlungen \ (€) $$
$$ e = Einzahlungen \ (€) $$

## Jährlicher Zinsaufwand bei kurzfristigem Kredit
$$ Z_{k} = \frac{i_{k}}{365}*C*t $$
mit
$$ i_{k} = Zinssatz \ für \ den \ kurzfristigen \ Kredit \ (per \ annum) $$
$$ Z_{k} = Jährlicher \ Zinsaufwand \ bei \ kurzfristiger \ Finanzierung \ (€) $$
$$ C = Kreditbetrag \ (€) $$
$$ t = Anzahl \ Tage, \ die \ der \ kurzfrisitge \ Kredit \ im \ Unternehmen \ benötigt \ wird $$

## Jährlicher Zinsaufwand bei langfristigen Kredit

$$ Z_{I}=\underbrace{i_{I}*C}_{Zinsen \ für \ ganzjährige \ Kreditbeanspruchung}-\underbrace{\frac{i_{h}}{365}*C*(365-t)}_{Zinsertrag \ bei \ externer \ Anlage \ des \ Kredites} $$
mit
$$ i_{I} = Zinssatz \ für \ den \ langfristigen \ Kredit $$
$$ Z_{I} = Jährlicher \ Zinsaufwand \ bei \ langfristiger \ Finanzierung \ (€) $$
$$ C = Kreditbetrag \ (€) $$
$$ i_{h} = Habenzinssatz \ bei \ externer \ Anlage $$
$$ t = Anzahl \ Tage, \ die \ der \ langfristige \ Kredit \ im \ Unternehmen \ benötigt \ wird $$

## kritische Zeit bei montalich flexiblem Kurzfristkredit

$$ t_{kr}=12*\frac{i_{I}-i_{h}}{i_{k}-i_{h}} $$

## Leverage-Effekt

$$ G_{br}=C*r $$
$$ G_{br}=(EK+FK)*r $$
$$ G_{br}=EK*r+FK*r $$
$$ G_{n}=EK*r+FK*r-FK*i_{f} $$
$$ G_{n}=EK*r+FK*(r-i_{f}) $$
$$ R_{e}=\frac{G_{n}}{EK}=\frac{EK*r+FK*(r-i_{f})}{EK} $$
$$ R_{e}=\underbrace{r+\frac{FK}{EK}}_{Verschuldungsgrad}*\underbrace{(r-i_{f})}_{Renditespannung} $$
mit
$$ C = Gesamtkapital $$
$$ EK = Eigenkapital $$
$$ FK = Fremdkapital $$
$$ r = Investitionsrendite \ (\%) \ (Gesamtkapitalrentabilität) $$
$$ i_{f} = FK-Zinssatz \ (\%) $$
$$ G = Gewinn $$
$$ R_{e} = EK-Rentabilität \ (\%)
$$

## Beteilungsfinanzierung

$$ B = Kurs \ der \ alten \ Aktie - neuer \ Mittelkurs $$
$$ B = K_{a}-\frac{a*K_{a}+n*K_{n}}{a+n} $$
$$ B = \frac{K_{a}-K_{n}}{\frac{a}{n}+1} $$
mit
$$ B = rechnerischer \ Wert \ des \ Bezugsrechtes \ (€ / Aktie) $$
$$ K_{a} = Kurs \ der \ alten \ Aktien \ (€/Aktie) $$
$$ K_{n} = Kurs \ der \ neuen \ Aktien \ (€/Aktie) $$
$$ a = Anzahl \ der \ alten \ Aktien $$
$$ \frac{a}{n} = Bezugsverhältnis $$

### Veräußerung des Bezugsrechts
$$ B = \frac{K_{a}-(K_{n}+d_{n})}{\frac{a}{n}+1} $$
für sofort dividendenberchtigite Gratisaktien:
$$ B = \frac{K_{a}}{\frac{a}{n}+1} $$
für Gratisaktien mit Dividendennachteil:
$$ B = \frac{K_{a}-d_{n}}{\frac{a}{n}+1} $$

## Fremdfinanzierung
Effektivzinsermittlung bei Disagio (Abschlag)
Näherungsformel
$$ r_{appr} = \frac{Z}{A}+\frac{R-A}{n} $$
mit
$$ r_{appr} = approximative \ Rendite $$
$$ Z = Nominalzinssatz $$
$$ A = Auszahlungskurs $$
$$ R = Rückzahlungskurs $$
$$ n = Laufzeit \ in \ Jahren $$

## Kurzfristige Fremdfinanzieurng
Lieferantenkredit
$$ i_{L} = \frac{Skontosatz}{Zahlungsziel - Skontofrist}*360 $$

## Kapazitätserweiterungsfaktor (KEF)

$$ KEF = 2*\frac{n}{n+1} $$
mit n = Nutzungsdauer

## Kapitalwert der Differenzinvestiton

$$ KW_{D} = \sum_{t=0}^{T}{((e_{tA}-a_{tA})-(e_{tB}-a_{tB}))*q^{-t}} $$

$$ = \sum_{t=0}^{T}{(e_{tA}-a_{tA})+q^{-t}}-\sum_{t=0}^{T}{(e_{tB}-a_{tB})}*q^{-t} $$

$$ = KW_{A} - KW_{B} $$

## Liquiditätskennzahlen

Liquidität 1. Grades
$$ L_{1} = \frac{Zahlungsmittel}{kurzfristige \ Verbindlichkeiten} $$

Liquidität 2. Grades

$$ L_{2} = \frac{Zahlungsmittel + kurzfristige \ Forderungen}{kurzfristige \ Verbindlichkeiten} $$

Liquidität 3. Grades

$$ L_{3} = \frac{kurzfristiges \ Umlaufvermögen}{kurzfristige \ Verbindlichkeiten} $$

$$ KW = -A_{0}+\sum_{t=1}^{T}{((p-a_{v})*x-A_{f})*q^{-t}+L*q^{-T}} $$