---
# System prepended metadata

title: ANL Lista 13
tags: [ANL]

---

---
title: ANL Lista 13
tags: ANL
author: Mateusz Reis
---
# ANL LISTA 13

## Zadanie 1 
![](https://i.imgur.com/l0158nh.png)

Wiemy że reszta we wzoru trapezów wyrażamy wzorem 
$$
R_n^T(f)=\frac{-1}{12n^2}{(b-a)}^3f^{''}(\epsilon), \, gdzie\,\,\, \epsilon \in [a,b]
$$
wtedy błąd bezwzględny: 
$$
|R_n^T(f)|=|\frac{-1}{12n^2}{(b-a)}^3f^{''}(\epsilon)|\leq|\frac{x}{12n^2}| , gdzie\,\,\,\, x={(b-a)}^3f^{''}(\epsilon)\,\, oraz \,\,x=const
$$
Wtedy dla $n\rightarrow \infty$
$$
\lim_{n\rightarrow \infty}|\frac{x}{12n^2}|=0
$$

Błąd zbiega do zera co oznacza że wzór trapezów zbiega do wartości całki.

## Zadanie 2
![](https://i.imgur.com/mwjo1eL.png)

Użyjemy wzoru trapezów, znamy dla niego błąd 
$$
\frac{{(b-a)}^3}{12n^2}f^{''}(\xi)<\epsilon, |f^{''}(x)|<2\\
\frac{{(b-a)}^3}{6n^2}<\epsilon\\
n>\sqrt{\frac{{(b-a)}^3}{6\epsilon}}\\
n=\lceil\sqrt{\frac{{(b-a)}^3}{6\epsilon}}\rceil
$$

Skoro już wiemy jak wyznaczyć n to mamy wszystkie dane potrzebne do wyznczenia całki i możemy algorytm zapisać tak : 
```
T=f(a)/2+f(b)/2;
n=ceil(sqrt((b-a)**3/6e));
h=b-a/n
for i in 1..n-1
    T+=f(a+ih);
return T*h;
```

## Zadanie 3 

![](https://i.imgur.com/AYtCg28.png)

Wiemy że błąd wzoru Simpsona wyrazimy jako:
$$
|E_n|=\frac{(b-a)h^4}{180}f^{(4)}(\xi)\\
f^{(4)}(x)=\cos(3x-\frac{\pi}{3})*3^4\\
h=\frac{b-a}{n}
$$
Jeśli wybierzemy $\xi$ t.ż $f(\xi)=3^4$ bo $\max{\cos(x)}=1$ wtedy 
$$
|E_n|=\frac{(b-a)^5}{180n^4}*3^4\\
(b-a)=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{5}=\frac{7\pi}{10}\\
|E_n|=\frac{7^5}{10^5}\frac{\pi^5*3^4}{180n^4}\leq10^{-8}\\
n\geq220
$$

## Zadanie 4
![](https://i.imgur.com/cUIIICf.png)

$$
M_n=h_nf(a+\frac{1}{2}h_n)+h_nf(a+\frac{3}{2}h_n)+\dots+h_nf(a+\frac{2n-1}{2}h_n)\\ 
T_n=\frac{1}{2}h_nf(a+\frac{0}{2}h_n)+h_nf(a+\frac{2}{2}h_n)+\dots+h_nf(a+\frac{2n-2}{2}h_n)+\frac{1}{2}h_nf(a+\frac{2n}{2}h_n)
$$
Jeśli dodamy ciągi $T_n$ oraz $M_n$ otrzymamy:
$$
T_n+M_n=\frac{1}{2}h_nf(a+\frac{0}{2}h_n)+h_nf(a+\frac{1}{2}h_n)+\dots + h_nf(a+\frac{2n-1}{2}h_n)+\frac{1}{2}h_nf(a+\frac{2n}{2}h_n)=\\
=h_n\left(\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+ \sum\limits_{i=1}^{2n-1}f(a+\frac{i}{2}h_n)\right)=h_n\left( \frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+ \sum\limits_{i=1}^{2n-1}f(a+ih_{2n})\right)\\
\frac{1}{2}h_n=\frac{1}{2}\frac{b-a}{n}=\frac{b-a}{2n}=h_{2n}
$$

Po pomnożeniu przez $\frac{1}{2}$ :

$$
\frac{1}{2}(T_n+M_n)=\frac{1}{2}h_n\left(\frac{1}{2}f(a)+ \frac{1}{2}f(b)+\sum\limits_{i=1}^{2n-1}f(a+ih_{2n})\right)=\\ h_{2n}\sum_{i=0}^{''2n}f(a+ih_{2n})=T_{2n} 
$$


Mając $T_{2}=T_{0,1}$ możemy w prosty sposób policzyć $T_4=T_{0,2}, T_8=T_{0,3}, T_{16}=T_{0,4}$

## Zadanie 5

Wyniki z Wolphrama 
![](https://i.imgur.com/YjttS3W.png)

![](https://i.imgur.com/RVnRYNZ.png)

![](https://i.imgur.com/MXeZdNe.png)

Wyniki z programu :
![](https://i.imgur.com/bVTY5xY.png)

## Zadanie 6
![](https://i.imgur.com/TW2l5B4.png)

Biorąc pod uwagę wzór z zadania 4 
![](https://i.imgur.com/BLM2ORu.png)
dla każdego wyrazu postaci $T_{0,i} \,\,\,i\not=0,\,\,\, bo \,\,\,\,T_{0,0}=(b-a)*\Big(\frac{f(a)}{2}+\frac{f(b)}{2}\Big)$ wyznaczymy $2^{i-1}$ punktów aby obliczyć $M_{2^{i-1}}$, więc łącznie wyznaczymy wartości w $2+\sum_{i=1}^{11} 2^{i-1}=2+2047=2049$ punktach postaci $x_i^{(n)}=-1*h_ni$ gdzie $h_n=(b-a)/n$ 
a dla $T_{i,k}$ nie liczymy już żadnych wartości funkcji w punktach bo korzystamy z rekurencji. 

## Zadanie 7 

![](https://i.imgur.com/e0aZasE.png)

Z zadania 1 pierwszego wiemy że kolumna 0 jest zbieżna, wykorzystamy to jako podstawę indukcji. Teraz załóżmy że $T_{n-1,k}$ są zbieżne do $\int_a^bf(x)dx$. Dla $n$ mamy wzór 
$$
T_{n,k}=\frac{4^n T_{n-1,k+1}-T_{n-1,k}}{4^n-1} 
$$

ale wiemy że $T_{n-1,k}$ jest zbieżne, więc 
$$
T_{n,k}=\frac{4^nI-I}{4^n-1}=\frac{4^n-1}{4^n-1}I=I\\
$$

## Zadanie 8
![](https://i.imgur.com/fg5kXf1.png)

Chcemy aby nasza kwadratura miała rząd = 6 aby to osiągnąć przy n = 2 musi być on postaci 2n+2, a to oferuje kwadratura Gaussa-Legrende'a tak więc korzystając z drobrodziejstw internetu mamy 
$$
x_0=\frac{-\sqrt{15}}{5}, A_0=\frac{5}{9}\\
x_1=0, A_1=\frac{8}{9}\\
x_2=\frac{\sqrt{15}}{5}, A_2=\frac{5}{9}
$$

Jednak te miejsca zerowe działają tylko na przedziale $[-1,1]$ musimy więc zmienić granice całkowania
$$
\int_{-3}^2f(x) dx = \begin{Bmatrix}
y=\frac{2x+1}{5}\\
dy=\frac{2}{5} dx
\end{Bmatrix} =\int_{-1}^1 f(\frac{5x-1}{2}) \frac{5}{2} dx
$$
