---
# System prepended metadata

title: ANL Lista 14
tags: [ANL]

---

---
title: ANL Lista 14
tags: ANL
author: Mateusz Reis
---
# ANL LISTA 14 

## Zadanie 1 
![](https://i.imgur.com/wwj99wl.png)

$$
A\widetilde{x}=\begin{bmatrix}
215.657\\
252.428
\end{bmatrix}\\ 
A\widehat{x} =\begin{bmatrix}
216.999\\
254
\end{bmatrix}\\
A\widetilde{x}-b =
\begin{bmatrix}
-1.343\\
-1.572
\end{bmatrix}=\widetilde{r}\\
A\widehat{x}-b =
\begin{bmatrix}
-0.001\\
0
\end{bmatrix}=\widehat{r}\\
x=
\begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix}\\
\widetilde{e}=
\begin{bmatrix}
-0,001\\
-0,001
\end{bmatrix}\\
\widehat{e}=
\begin{bmatrix}
-0,659\\
0,913
\end{bmatrix}
$$
Jak możemy zauważyć lepszym przybliżeniem jest $\widehat{x}$. Wniosek z tego to że obliczanie macierzy nie jest numerycznie poprawne bo dla lekko zaburzonych danych dostaliśmy dość mocno zaburzony wynik. 


## Zadanie 2
![](https://i.imgur.com/MRFarRs.png)

Aby znaleźć rozkład LU uzyjemy metody 
![](https://i.imgur.com/NWNaPmE.png)

Po obliczeniach otrzymujemy:
$$
L=
\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
-2&1& 0&0\\
-3&4&1&0\\
-5&6&-7&1\\
\end{bmatrix}\\
U=\begin{bmatrix}
 2 & 0 & 2 & 1  \\
 0 & 2 & 0 & 2\\
 0 & 0 & 2 & 0\\
 0 & 0 & 0&  2 
\end{bmatrix}
$$
Teraz szybko obliczymy $\det(A)$
$$
\det(A)=\det(L)*\det(U)=1*2^4=16
$$
Oraz odwrócimy $A$
$$
    U^{-1}=
    \begin{bmatrix}
    0.5&	0	&-0.5&	-0.25\\
	0&	0.5&	0&	-0.5\\
	0&	0&	0.5&	0\\
	0&	0&	0&	0.5
    \end{bmatrix}\\
    L^{-1}=\begin{bmatrix}
    1	&0	&0	&0\\
    2	&1	&0	&0\\
    -5	&-4	&1	&0\\
    -42	&-34	&7	&1
    \end{bmatrix}\\
    A^{-1}=U^{-1}*L^{-1}=
    \begin{bmatrix}
    \frac{27}{2}	&\frac{21}{2}	&-\frac{9}{4}	&-\frac{1}{4}\\
    22	&\frac{35}{2}	&-\frac{7}{2}	&-\frac{1}{2}\\
    -\frac{5}{2}	&-2	&\frac{1}{2}	&0\\
    -21	&-17	&\frac{7}{2}	&\frac{1}{2}
    \end{bmatrix}
$$

## Zadanie 3
![](https://i.imgur.com/tiehDGw.png)

Rozbijamy $A$ na macierz $L$ i $U$:
$$
L=
\begin{bmatrix}
 1  &0 & 0 & 0\\  
 -1 & 1 & 0 & 0 \\ 
 -2 & 4 & 1 & 0\\
 -3 & 5 & -6 & 1
\end{bmatrix}
U=
\begin{bmatrix}
 1 & 1 & 1 & -10 \\
 0 & -2 & 1 & 1 \\
 0 & 0 & 3 & 1 \\
 0 & 0 & 0 & -4 \\
\end{bmatrix}
$$
Teraz liczymy $Ly=b$ oraz $Ux=y$:
$$
Ly=
\begin{bmatrix}
 1  &0 & 0 & 0\\  
 -1 & 1 & 0 & 0 \\ 
 -2 & 4 & 1 & 0\\
 -3 & 5 & -6 & 1
\end{bmatrix}*
\begin{bmatrix}
y_1\\
y_2\\
y_3\\
y_4
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
-6\\
9\\
31\\
-13
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
y_1\\
y_2\\
y_3\\
y_4
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
-6\\
3\\
7\\
-4
\end{bmatrix}\\
Ux=
\begin{bmatrix}
 1 & 1 & 1 & -10 \\
 0 & -2 & 1 & 1 \\
 0 & 0 & 3 & 1 \\
 0 & 0 & 0 & -4 \\
\end{bmatrix}*
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
-6\\
3\\
7\\
-4
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
2\\
0\\
2\\
1
\end{bmatrix}
$$

