---
title: ANL Lista 14
tags: ANL
author: Mateusz Reis
---
# ANL LISTA 14

## Zadanie 1

$$
A\widetilde{x}=\begin{bmatrix}
215.657\\
252.428
\end{bmatrix}\\
A\widehat{x} =\begin{bmatrix}
216.999\\
254
\end{bmatrix}\\
A\widetilde{x}-b =
\begin{bmatrix}
-1.343\\
-1.572
\end{bmatrix}=\widetilde{r}\\
A\widehat{x}-b =
\begin{bmatrix}
-0.001\\
0
\end{bmatrix}=\widehat{r}\\
x=
\begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix}\\
\widetilde{e}=
\begin{bmatrix}
-0,001\\
-0,001
\end{bmatrix}\\
\widehat{e}=
\begin{bmatrix}
-0,659\\
0,913
\end{bmatrix}
$$
Jak możemy zauważyć lepszym przybliżeniem jest $\widehat{x}$. Wniosek z tego to że obliczanie macierzy nie jest numerycznie poprawne bo dla lekko zaburzonych danych dostaliśmy dość mocno zaburzony wynik.

## Zadanie 2

Aby znaleźć rozkład LU uzyjemy metody

Po obliczeniach otrzymujemy:
$$
L=
\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
-2&1& 0&0\\
-3&4&1&0\\
-5&6&-7&1\\
\end{bmatrix}\\
U=\begin{bmatrix}
2 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 0 & 2\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0& 2
\end{bmatrix}
$$
Teraz szybko obliczymy $\det(A)$
$$
\det(A)=\det(L)*\det(U)=1*2^4=16
$$
Oraz odwrócimy $A$
$$
U^{-1}=
\begin{bmatrix}
0.5& 0 &-0.5& -0.25\\
0& 0.5& 0& -0.5\\
0& 0& 0.5& 0\\
0& 0& 0& 0.5
\end{bmatrix}\\
L^{-1}=\begin{bmatrix}
1 &0 &0 &0\\
2 &1 &0 &0\\
-5 &-4 &1 &0\\
-42 &-34 &7 &1
\end{bmatrix}\\
A^{-1}=U^{-1}*L^{-1}=
\begin{bmatrix}
\frac{27}{2} &\frac{21}{2} &-\frac{9}{4} &-\frac{1}{4}\\
22 &\frac{35}{2} &-\frac{7}{2} &-\frac{1}{2}\\
-\frac{5}{2} &-2 &\frac{1}{2} &0\\
-21 &-17 &\frac{7}{2} &\frac{1}{2}
\end{bmatrix}
$$

## Zadanie 3

Rozbijamy $A$ na macierz $L$ i $U$:
$$
L=
\begin{bmatrix}
1 &0 & 0 & 0\\
-1 & 1 & 0 & 0 \\
-2 & 4 & 1 & 0\\
-3 & 5 & -6 & 1
\end{bmatrix}
U=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & -10 \\
0 & -2 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -4 \\
\end{bmatrix}
$$
Teraz liczymy $Ly=b$ oraz $Ux=y$:
$$
Ly=
\begin{bmatrix}
1 &0 & 0 & 0\\
-1 & 1 & 0 & 0 \\
-2 & 4 & 1 & 0\\
-3 & 5 & -6 & 1
\end{bmatrix}*
\begin{bmatrix}
y_1\\
y_2\\
y_3\\
y_4
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
-6\\
9\\
31\\
-13
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
y_1\\
y_2\\
y_3\\
y_4
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
-6\\
3\\
7\\
-4
\end{bmatrix}\\
Ux=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & -10 \\
0 & -2 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -4 \\
\end{bmatrix}*
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
-6\\
3\\
7\\
-4
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
2\\
0\\
2\\
1
\end{bmatrix}
$$