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tags: Spacial Topics, ss, ncu
author: N0-Ball
title: Dr. Huang
GA: UA-208228992-1
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# 軌跡

- 性能指標 $\frac{1}{2} \int^4_0 u^2(t) dt$

## 動態方程軌跡

$$
\frac{d}{dt}
\begin{bmatrix}
x_1(t)\\
x_2(t)
\end{bmatrix} =
\left(\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix}\right)
$$

# Reentry

## 性能指標
$$
min J = \int^{t_f}_0 \dot q dt
$$

> 大家可以看到這個方程式看起來有些複雜
> > : (

# Moon Lander Problem

## 性能指標

$$
min J = \int^{t_f}_0 u\ dt
$$

## 動態方程

$$
\left\{\begin{split}
\dot h &= v \\
\dot v &= -g + u
\end{split}
\right.
$$

> 大家可以看到變得非常簡單
> > ??????

# Orbit Raising Problem

## 性能指標

$$
min J = -r(t_f)
$$

> 太空站因為大氣阻力的影響 480 -> 300
> 所以要把它推回去

> 抱歉我這裡應該要改成 t~f~
> > 根本來不及看QQ

# 最佳化問題

1. 參數最佳化
2. 最佳化控制

## 參數最佳化

$$
^{min}_{x \in \Bbb R^n} f(x)
$$

### Example

$$
^{min}_{(x, y) \in \Bbb R^n} (x^2 + y^2) \Rightarrow (x, y) = (0, 0)
$$

### 直線搜尋法

1. 選擇初始點 x~0~
2. 決定搜尋方向
3. 找到 a~k~ 使得 $f(x_k + a_kp_k)$ 最小

### 選擇

- Steepest Descent Method
- Conjugate Directino Method
- COnjuugate Gradientt Method
- Mewton Mthod
- Modified Newton Method
- Quasi-Newton Method
- Coordinate Descent Method
- Stochastic Method

### 啟發式演算法

:::info
一種演算法去找一種 **可接受** 的解 (記得不是正確的喔)，儘管沒辦法去驗證他的正確性，但是它可以當作求解最佳化參數的方式
:::

> 數學系是不喜歡啟發是演算法這種東西的
> 因為沒辦法去證明是否為正確

## 分類
- 模擬退火法
- 基因演算法
- 粒子群演法

# 最佳化控制問題

If 系統狀態方程式為
$$
\dot x (t) = f \left[x(t), u(t), t \right]
$$

給一個中端約束
- 初始條件 $x(t_0) = x_0$
- 終端約束 $N_1 \left[ x(t_f), t_f \right] = 0$ **or** $N_2 \left[x(t_f), t_f \right] \le 0$
- 給定目標函數 $J \left[ u(\ ) \right] = \Phi \left[ x(t_f), t_f \right] + \int^{t_f}_{t_0} L \left[ x(t), u(t), t \right]$

## 目標

找到一個向量 $u^* (t)$，使得系統由處使狀態 $x(t_0)$ 轉移成終端狀態 $x(t_f)$ 的時候 $J \left[ u(\ ) \right]$ 為最小

## 數學模型
$$
\dot x(t) = f\left[x(t), u(t), t\right]
$$

If $\dot x(t) = f\left[x(t), u(t)\right]$ 那麼這個就是一個時不便系統

## 性能指標

$$
J\left[u(\ ) \right] = \Phi \left[ x(t_f), t_f \right] + \int^{t_f}_{t_0}
$$

# 數值方法

## 分類

- 間接法
- 用微分
- 變分 (泛函的極值)
- 直接法
- 分成好幾段去求解

:::info
接下來開始玄學，我可能也不知道我在寫神麼
:::

## 間接法數值方法

- 伴隨方法方程式
- Hamilton 函數取極小的必要條件
- bla bla bla...

> 其實可以用matlab去求解
> > (眼神死

## TPBVP (一個有簡寫跟沒簡寫一樣的東西

可能是最佳化吧 -> 二點邊界值 -> 丟到MATLAB去算

> MATLAB甚麼都幫你處理好了

...

> 他的方程式很複雜
(開始講一堆英文專有名詞)
> 我們當時有一種想法...ㄟ...以後還是會有這種想法
(開始講一堆地名)
> 飛鼠號是在卡納維爾角發射
> SPACEX 真的是太厲害了，太陽同步軌道也能在不適合的地方發射

> Yaw 就是左右的... yaw 角
> (一堆來不及紀錄的方程式)
> 這是火箭推力的變化圖
> 畫出來可以轉彎
> 這是速度跟時間圖

# 發問

> 同學發問，很精彩，原來數學都有用的 [name=雅慧]

> 要做專題要會甚麼
> > Matlab
> > 不然EXCEL也可以 ?

# 心得

我認為軌道模擬非常重要，尤其是計算最佳解。今天老師教的東西讓我理解了許多不同的最佳化問題，儘管裡面的數學讓我非常疑惑，甚至後面幾乎都聽不懂，但是我很期待可以透過參加太空專題，讓我學習到這些模擬與最佳化的方式。