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title: CINTA 作业一加减乘除：

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# CINTA 作业一加减乘除：
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## 任务如下
> 1.
>* 用 C 语言编程实现一种迭代版本的简单乘法。
>2.
>* 证明命题1.1。
>3.
>* 完成定理1.1的证明(除法算法)


### 1.用 C 语言编程实现一种迭代版本的简单乘法。
>
```c++
#include <iostream>
using namespace std;
int inverse(int a, int  b)
{
    int s = 0;
    while (b != 0)
    {
        s = s + a;
        b = b - 1;
    }
    return s;
}
int main()
{
    int m, n, s;
    cin >> m;
    cin >> n;
    s = inverse(m, n);
    cout << endl << "m*n=" << s;
    return 0;
}

```
### 2.证明命题1.1。
> 若有a|b,b|c,则有a|c；
> 证明：
> 
>* 由a|b,b|c可知a=qb,b=pc,存在p,q使得该等式成立
>* 则a=q(b)=q(pc)=pqc
>* 可知pq为整数
>* 则a|c可证

>若有c|a，c|b，则有c|(ma+nb)；
>* 由c|a,c|b可知存在整数p,q使得c=qa,c=pb
>* 则 ma+nb=mqc+npc=(mq+np)c
>* 而 mq+np为整数
>* 可得c|(ma+nb)

### 3.定理1.1的计算除法运算
>* 1.存在性：
存在一个最小元 r ∈ S，且 r = a − qb。
则a = qb + r, r ≥ 0。
且由a=qb+r得a/b=q+r/b，显然有a/b≥q，
而a/b是个有理数，取值范围为q≤a/b＜q+1。
则q+r/b＜q+1即r/b＜1即r＜b
    
>* 2.唯一性：
假定存在两对整数对q1和r1、q2和r2，且q1≠q2、r1≠r2
则有q1b+r1=q2b+r2=a
可得(q1-q2)*b=r2-r1。
而q1≠q2，且q1和q2都是整数，q1-q2≠0，
而r2-r1=(q1-q2)*b
可得 （r2-r1）|b,0<=(r2-r1)<=r2<b
而能满足该条件必须有r1=r2,q1=q2,与假设矛盾
因此不存在两队整数对使a=qb+r






