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title: Exam 2 - problem 7 - 2
tags: Applied_math_method
GA: G-77TT93X4N1
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# Exam 2 - problem 7 - 2

> Method of multiple time scales

## Equation

$$
\tag{1}
\frac{d^2}{dt^2} y + y = \epsilon y^2 + \epsilon\cos(t), \quad y'(0)=0.
$$

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假設 $y\sim \epsilon^{-\beta}Y(t, \tau)$ with $\tau =\epsilon^{\alpha}t$ 代入得到

$$
\tag{2}
\epsilon^{-\beta} Y_{tt} + 2\epsilon^{\alpha-\beta} Y_{t\tau} + \epsilon^{2\alpha-\beta} Y_{\tau\tau} + \epsilon^{-\beta} Y = \epsilon^{1-2\beta} Y^2 + \epsilon\cos(t).
$$
因為 $\alpha, \beta>0$, 所以 leading order 最多只可能是
$$
\epsilon^{-\beta} Y_{tt} + \epsilon^{-\beta} Y = \epsilon^{1-2\beta} Y^2
$$

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## Leading order

接著有兩種可能, 一種是這三項 balance, 得到 $\beta = 1$ 以及 leading order equation
$$
Y_{tt} + Y = Y^2
$$
不過這個我們無法得到 analytic solution, 之後也無法分析, 放棄.

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另一種是兩項 balance, 得到 $0<\beta< 1$ 以及 leading order equation
$$
Y^0_{tt} + Y^0 = 0.
$$
這樣的話得到
$$
\tag{3}
Y^0(t, \tau) = A(\tau)\cos(t+B(\tau)),
$$
初始條件則告訴我們 $B(0)=0$.

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## First order

接著往下一個 order, 方程式為

$$
\tag{4}
\epsilon^{\gamma-\beta} Y^1_{tt} + 2\epsilon^{\alpha-\beta} Y^0_{t\tau} + \epsilon^{2\alpha-\beta} Y^0_{\tau\tau} + \epsilon^{\gamma-\beta} Y^1 = \epsilon^{1-2\beta} (Y^0)^2 + \epsilon\cos(t).
$$

> 這邊要注意的是我的寫法. (2) 總共有六項, 而每一項都會做 expansion 展開.
> 不過如果全部展開會非常亂看不出大小, 因此我們只要寫出每一項裡最大的 term 就好,
> 再去選我們想要保留的項以及參數.

可以看得出來 $\epsilon^{2\alpha-\beta}$ 以及 $\epsilon$ 都明顯比其他人小, 所以只剩下
$$
\epsilon^{\gamma-\beta} Y^1_{tt} + 2\epsilon^{\alpha-\beta} Y^0_{t\tau} + \epsilon^{\gamma-\beta} Y^1 = \epsilon^{1-2\beta} (Y^0)^2.
$$

> 這裡用一下上帝視角, 知道 $\alpha>\gamma$,

因此得到 leading order equation
$$
Y^1_{tt} + Y^1 = (Y^0)^2= A^2\cos^2(t + B),
$$
以及
$$
\tag{5} \gamma+\beta=1.
$$
於是我們可以解出 $Y^1$ 得到
$$
\tag{6}
Y^1(t, \tau) = C(\tau)\cos(t + D(\tau)) + \frac{A^2}{2} - \frac{A^2}{6}\cos(2t+2B).
$$

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## Second order

往下一個 order, 方程式為

$$
\tag{7}
\epsilon^{2\gamma-\beta} Y^2_{tt} + 2\epsilon^{\alpha-\beta} Y^0_{t\tau} + \epsilon^{2\alpha-\beta} Y^0_{\tau\tau} + \epsilon^{2\gamma-\beta} Y^2 = 2\epsilon^{1+\gamma-2\beta} Y^0Y^1 + \epsilon\cos(t).
$$

這裡我們希望能看到 $\epsilon\cos(t)$ 這項, 因此要求第一項的 order $2\gamma-\beta =1$, 配上之前的條件 (5) 我們可以解出
$$
\beta = \frac{1}{3}, \quad \gamma = \frac{2}{3}, \quad \alpha = \frac{4}{3}.
$$
代入 (7) 得到 leading order equation 為
$$
Y^2_{tt} + 2Y^0_{t\tau} + Y^2 = 2 Y^0Y^1 + \cos(t).
$$

稍微整理一下將 $Y^2$ 放左邊其他放右邊得到
$$
\tag{8}
\begin{align}
Y^2_{tt} + Y^2 &= - 2Y^0_{t\tau} + 2 Y^0Y^1 + \cos(t)\\
&= 2A_{\tau}\sin(t + B) + 2AB_{\tau}\cos(t + B) + 2 Y^0Y^1 + \cos(t).
\end{align}
$$
其中 $2Y^0Y^1$ 裡面跟 $\cos(t+B)$ 有關的項為
$$
\frac{5}{6}A^3\cos(t+B)
$$
因此整個 (8) 等號右手邊跟 $\sin(t)$ 或 $\cos(t)$ 有關的項為
$$
2A_{\tau}\sin(t + B) + 2AB_{\tau}\cos(t + B) + \frac{5}{6}A^3\cos(t+B) + \cos(t),
$$
並且我們希望整個不見, 因此 $Y^2$ 就不會有 secular terms.

所以要求 $A_{\tau}=0$, $A$ 就是個常數.

另外因為要想辦法消掉 $\cot(t)$, 一個合理的假設是 $B_\tau=0$, 配上 $B(0)=0$ 得到 $B=0$, 因此
$$
\frac{5}{6}A^3\cos(t) + \cos(t)=0,
$$
於是得到
$$
A = -\left(\frac{6}{5}\right)^{1/3}.
$$

## Leading order solution

也就是
$$
\tag{9}
Y^0 = -\left(\frac{6}{5}\right)^{1/3}\cos(t).
$$

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## Remark

1. 若要得到 $Y^1$ 裡的 $C$ 跟 $D$, 則需要再往下一個 order 去把 secular terms 消掉. 這樣會得到 $C(\tau)$ 與 $D(\tau)$ 的條件.
2. 在 first order 假設 $\alpha=\gamma$, 然後最終得到$\alpha=2/3$ 這個做法似乎也是可以的. Leading order solution 的結論會一樣, 只是從 regular perturbation 那邊的結果我的感覺是要 $\alpha=4/3$.