---
title: 第五週
tags: 訊號與系統
---
# 開頭

你可以把一個訊號，以多個權重的疊加的三角函數訊號呈現
==weighted superposition of complex sinusoids==

而在 LTI 系統中
如此得到的 y 也是一個 ==weighted superposition of complex sinusoids==

==weighted superposition of complex sinusoids==以下簡稱 **WSCS**
==complex sinusoids== 以下簡稱 **CS**

# Frequency Response

sinusoids 就是利用我們的複指數函數來產生
$$
e^{j\Omega n} =\cos(\Omega n) +j\sin (\Omega n)
$$
當然，三角函數的變數最常用的形式是
$$
cos(\Omega t + \phi)
$$
不過這裡先不管 $\phi$ ，先當作是 0

之前的 Impulse Response 是以 Impulse Function 表示一個訊號 x，最後得到一個 h 。
現在呢，讓我們把 x 以 $e^{j\Omega n}$ 代入

$$
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]x[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]e^{j\Omega(n-k)}
$$
$$
=e^{j\Omega n}\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]e^{-j\Omega k}=H(e^{j\Omega})e^{j\Omega n}
$$

最後的結論會發現，輸出 y 會等於跟我的原輸入相同頻率的 complex sinusoid 乘上一個 $H(e^{j\Omega})$
==而 $H(e^{j\Omega})$ 就叫做 Frequency response==

CT 也是一樣

$$
y(t)=\int_{-\infty }^{\infty }h(\tau)e^{j\omega (t-\tau)}d\tau =e^{j\omega t}\int_{-\infty }^{\infty }h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau=e^{j\omega t}H(j\omega )
$$

不過為甚麼 H 裡面只剩下 j 跟 $\omega$ 了 :thinking_face:

# Magnitude response 和 Phase response

一個複數 $c = a + jb$，則他除了可以表示成 $(a,b)$ 外，以極座標可以表示成 $(r,\theta)$
其中
$r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ 或者記為 $|c|$
$\theta=tan^{-1}\frac{a}{b}$ 或者記為 $arg\{c\}$

因此 c 可以改寫為 $c=r(cos\theta + jsin\theta)=re^{j\theta}$

而 $H(j\omega)$ 其實也是一個 CS，所以對應上面的邏輯，可以得到

$$
H(j\omega)=|H(j\omega)|e^{j\arg\{H(j\omega)\}}
$$
### $|H(j\omega)|$ 就是 Magnitude response
### $arg\{H(j\omega)\}$ 就是 Phase response
## 例題

一個 h(t)
找出他的 Frequency Response
將上面的結果通分RC，會得到
$$
\frac{1}{RC\omega j + 1}
$$
對於分母，我們把他想成是一個複數
於是可以推得
$$
\theta = tan^{-1}(\frac{RC\omega}{1}) \\
r = \sqrt{(RC\omega)^{2}+1^{2}}
$$
所以就可以改寫成
$$
H(j\omega)=\frac{1}{re^{j\theta}}=r^{-1}e^{-j\theta}
$$
這也是一個複數。於是就可以得到 $H(j\omega)$ 的兩個Response
>可以發現角度有負號、長度是倒數

而這兩個都是 $\omega$ 的函數，於是我們可以畫出圖形

# Fourier Representations for Four classes of Signals

根據之前時域的兩大類別==連續與週期==，有與之四種對應的傅立葉轉換

| Time Property | Periodic | Nonperiodic |
|:--------------:|:-----------------------------------:|:--------------------------------------:|
| Continuous (t) | Fourier Series (FS) | Fourier Transform |
| Discrete [n] | Discrete-Time Fourier Series (DTFS) | Discrete-Time Fourier Transform (DTFT) |

## 範例

我們可以用傅立葉轉換表示出很多種波

### 方波
待合併

### 鋸齒波
待合併

# Fourier Series - Continuous Periodic Signal

## 將原訊號以WSCS表示
可以發現，其實就是各個頻率的 CS 乘上該頻率對應的震幅 也就是 $X[k]$
$X[k]$ 代表第 k 個頻率的震幅

## 原訊號的頻譜表示
T 是基礎週期 $T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}$
可以發現，就是將第 k 個頻率的 CS 乘上整個訊號，並且對一個周期內取積分...

## 記號


### 證明：

:::success
上面有四段
1. 第一段：我們想要證明，我們是如何得到某個頻率的 CS，也就是 x[k]
2. 第二段：所以我們從已知的形式，也就是將原訊號以頻譜表示下手
1. 這時候先讓 $X[k]$ 叫做 $a_{k}$
2. 第三段：讓兩邊同乘上一個 $e^{-jn\omega_{0}t}$
>[color=#00AACC]這跟 Frequency Response 的動作一樣
>FR 是將 $h(t)$ 乘上 $e^{-j\omega t}$ 這裡只是把 $\omega$ 改成 $n\omega_{0}$
3. 將兩邊同時取積分，範圍是 0 到 T ，或者只要總長度是一個 T 就好
>[color=#00AACC]因為有週期性，會重複。或者可以先往下看
:::
:::warning
此時只針對上面得到的等式右邊，的積分，去探討
1. 當 k ≠ n，代表要對那個三角函數積分，但是這裡可以回想一些事情
1. 三角函數的圖形是週期性上下，假如你對週期整數倍範圍取積分，會得到 0
2. 由於 $某個整數\ ×\ \omega_{0}$ ，得到的就是基礎頻率的整數倍，此處就是 k-n 倍
而將基礎頻率放大某倍，基礎週期就會縮小某倍(倒數關係)
因此 $(k-n)\omega_{0}$ 對應的週期，跟基礎週期 T 是某個整數倍關係
2. 所以在以基礎週期為範圍的積分中，那些三角函數的積分就是 0
3. 阿當 k = n ，不管看左邊或看右邊，那個積分都很好積
:::
:::info
最後就是化簡，可以得到結果，也就證明完畢
:::

## 例題

### 從公式找到頻譜表示
$$
x(t)=sin\omega_{0}t
$$
回顧
得到
### 從定義找到頻譜表示
:::success
因為每個 X[k] 其實就是對應到一個 CS，所以我們只要把 x(t) 整理一下
就可以找到每個頻率 $(k\omega_{0})$ 的係數了
:::

### 方波

圖片1

### 鋸齒波

圖片1

---

# Fourier Series - Discrete Periodic Signal

在講公式之前要先回顧一件事情

:::success
連續型訊號的頻率可以無限拉高，或拉低
也就是說 $x(t)=sin(k\omega t+\phi)$ 的 k 可以弄到無限大或無線小
但是離散型這樣做，會發生一件事情
這裡以最簡單的情形討論，假設為 $x[n]=sin[kn]$
當我把 $x[n]=sin[kn]$ 逐漸增加 k
假如我增加到 2 也就是 $sin[2n]$
則原先將 n 代入1, 3, 5,...等奇數位的訊號就取不到了
如果 k 增加到 3，就換成 1,2,4,5,7,8...的訊號取不到了
這就導致了訊號的損失

可是如果我再繼續增加 k，直到 $k=2\pi$ 會發現

:::

拉到一個基本週期的整數倍，就變回原本訊號的樣子了

但實際上DTFS只是數學上的結果，實際上不會存在

DTFS的方波範例題，最後化檢的部分
可以發現有一部份可以弄成等比級數，可以化剪得很漂亮
最後在動點手腳，讓他可以寫成三角函數
會發現它也是一個sinc，不過是會重複的sinc

WTF他怎麼把級數變積分的
wtf
wml
想上廁所
平時那個沒來上課
笑死
所以我說那個收音機要怎麼處李crosstalk
喔幹 我IEEE有寫到crosstalk欸 e
不明白
我想上廁所 我現在聽不太下去
impulse unit 誠品書局

Time Domain 相乘 等於 Frequency Domain Convolution

Frequency Domain 相乘 等於 Time Domain Convolution

老師有時候很努力地教證明，但是常常會跑出一些神奇的步驟
我覺得先背結論好了，比較輕鬆 確實，證明我也記不起來

總之，現在是在FourierTransform的線性關係
老師以FS舉例，兩個合成波的FS可以是兩個FS的合成

e04
那個該死的組別
測資有問題

氣死了，媽的，每個人都造成別人困擾就好啊，甚麼破課
不要寫了 罷工