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# System prepended metadata

title: 第二週
tags: [訊號與系統]

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title: 第二週
tags: 訊號與系統
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# Basic Modulation and Demodulation
調變(Modulation)是一種將一個或多個週期性的[載波](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E8%BD%BD%E6%B3%A2)混入想傳送的訊號之中的技術(也就是聲音之類的)

好處有兩個
1.將訊號調整為適合傳遞的頻率
2.多功，也就是能將不同頻率的訊號分別開來

# 振幅調變 Amplitude Modulation / AM

## Modulation

![](https://drive.google.com/uc?id=1owEa1TDDjRtsIvwUA_wsA1bC2wt3Ax1_&export=download)
如上，就是將訊號 m(t) 混入 c(t) 得到 s(t)
以下是他們==對應的頻譜==
![](https://drive.google.com/uc?id=19AUQdZhssI0AMFBraW3EM8aJqylwT38G&export=download)
為甚麼會有再一個頻譜上會有兩個訊號呢？因為尤拉公式告訴我們
>[color=#9b46a8]可以點左邊的標題去看尤拉公式


$$
cos\theta = \frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}
$$
所以在頻譜上才會出現兩個

而最後的 s(t) 從公式中可以看出是兩個 cos 加在一起
再搭配上面所講的會有兩個，可以得知$\omega_{c}+\omega_{0}$是最外圍的兩個
$\omega_{c}+\omega_{0}$是內圍的兩個

## Demodulation

![](https://drive.google.com/uc?id=1gC_dzxN2O_aTNfCAcM1H-HcguNMkpTE1&export=download)
就是再將 s(t) 混入跟原本很像的 c(t) 
>[color=#00ffff]其實就是少了外面的係數，但此時可以注意 c 裡面有多加一個 $\theta$
>下面是代入 0 ，至於其他用途在下一節


![](https://drive.google.com/uc?id=1drDsOi11vJTTpAQZaoNDUWvP6LkmJ87C&export=download =1000x)
==在頻譜上==
![](https://drive.google.com/uc?id=1T-Tq0rOVRKOoE54DTy8cuHaOWPSdZS_n&export=download =500x)
==另一種頻譜(？==
![](https://drive.google.com/uc?id=1Tkn6jY2QY-j4DPuZsbbt4cB3nYMT9Zwz&export=download =500x)

總之 最後只要在取訊號的時候，將頻率鎖定在包含$±\omega_{0}$的區間
也就是取包括原本信號頻率的區間，就可以獲得原來的內容了

## Phase lock loop (PLL)
如果將上面提到用來解訊號的 c(t) 的 $\theta$ 實際代入運算...
![](https://drive.google.com/uc?id=1-aeFyVGVP5KX32NVScgK3f_kP1xOPZ4e&export=download)

會發現 + 的右邊是別的頻率，要去除掉，而我們要的訊號的頻率
會受$\theta$所影響，也就是類似調頻的動作



## Frequency-Division Multiplexing (FDM)
根據上面的內容可以知道，根據你混入的訊號頻率，在頻譜上會對應到不同的頻率
於是就可以做到將多種信號，各自混不同的頻率使之不相干
就可以用同一頻道傳輸了

![](https://drive.google.com/uc?id=1QcGHIQDzz1P7IE30QOES1YmWkk5rQjLN&export=download =500x)
![](https://drive.google.com/uc?id=1Vhmpog7VIXRyWuAgjb2XqUHjDb1uz0e5&export=download =500x)
## Demultiplexing and Demodulation
由於包含多個訊號，所以需要先分離出你要的訊號
![](https://drive.google.com/uc?id=1Gr36EUQlR0JOXNvP2VnQj85d1ncJkAJd&export=download =600x)


## Double-Sideband (DSB) & Single-Sideband (SSB)

<!--阿幹 沒截到圖片-->

不太確定這裡要講的內容 yee


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# 類比與數位訊號
數位有兩個優點
1.彈性
2.重複性

# CT continuous-time and DT discrete-time

有各自通用的表示法
1. 連續的訊號會用小括弧：x(t)
2. 離散的訊號會用中括弧：x[t]
## Periodic and Non-periodic
如果一個訊號可以經過平移某個數字，得到與原本相同的訊號
該數字就是他的某倍週期，也就是具有週期性
而有一個最小的週期，也就是基礎週期Fundamental Period，其倒數為頻率
## CT 
$$
x(t)=x(t+T)
$$
$$
基本頻率f=\frac{1}{T},\ \ \ 角頻率\ \omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}
$$

## DT

$$
x[n]=x[n+N]
$$
$$
基本頻率\ \Omega=\frac{2\pi}{N}
$$
>不確定是不是講義寫錯，為何離散的角頻率是基礎頻率


# 訊號操作

1. 訊號間加法
2. 訊號間乘法
3. 訊號微分
4. 訊號積分
5. 時間的縮放 Time Scaling (對時間乘上係數)
    >離散會喪失資料
7. 反射(對x=0) (對時間以-1作為係數)
8. 時間位移 (對時間加上常數)

# 指數訊號

# 三角函數的波
**連續：**
$$
x(t)=Acos(\omega t+\phi)
$$
直接使用角頻率
$$
角頻率\ \omega=\frac{2\pi}{T},\ \ \omega T=2\pi
$$
**離散：**
$$
x[n]=Acos(\Omega n+\phi)
$$
直接使用角頻率
$$
角頻率\ \Omega=\frac{2\pi m}{N},\ \ \Omega N=2\pi m,\ n\ M都是正整數
$$
$\Omega N$ 得到的結果要是 $2\pi$ 的某倍
連續其實應該也要同理，但是老師講義不知為何沒寫
# 尤拉公式
$$
e^{j\theta } =\cos \theta +j\sin \theta
$$

$$
cos\theta = \frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta }}{2}
$$
### 如果有兩個複數指數相乘
![](https://drive.google.com/uc?id=1oIhlx9xUSqLlqNDRGlcIwPmC5u1_XI5j&export=download)

![](https://drive.google.com/uc?id=1ULD7UaMkxwSvnhLYeDbfhhx03sSc1iDv&export=download =400x)
根據尤拉公式
![](https://drive.google.com/uc?id=16TRmqqVd0y_-6NpqNYhRK7jwfeTM7bRY&export=download =400x)

cos會是實部，記為Re；sin會是虛部，記為Im
所以上面的結果拆成兩部分
$$
Acos(\omega t + \phi)=Re\{Be^{j\omega t}\}
$$
$$
Asin(\omega t + \phi)=Im\{Be^{j\omega t}\}
$$
# 指數減震 Exponential Damping
如果一個三角函數乘上指數函數，會有減震(？的效果
![](https://drive.google.com/uc?id=1AK6n2hSL-DFvZK59z_m1eeoQ7oOrKFLy&export=download)
![](https://drive.google.com/uc?id=12u38rUhLZT8B6m3gCUVV81H2l9ql68x2&export=download)

# Step function 
### 1. 函數代號常用為 $u$
### 2. 高度為 1
![](https://drive.google.com/uc?id=1spw-rTfLGURbH5SkxnlCykHW_nMWcuGw&export=download =45%x)![](https://drive.google.com/uc?id=1gTHcPzHTacy3yFspkpqWrUhGXbS2Ocvi&export=download =55%x)
$$
\begin{eqnarray}
u(t) & = & \left\{\begin{matrix}
1,  & t>0\\ 
0,  & t<0
\end{matrix}\right. 
\ \ \ u[n] & = & \left\{\begin{matrix}
1,  & n\ge 0\\ 
0,  & n<0
\end{matrix}\right.
\end{eqnarray}
$$
1. 可以注意到連續的並沒有說明0該點到底值是多少
    但是離散的就有說明
2. 將step function合成可以得到方波

![](https://drive.google.com/uc?id=1EdK5_8NFiXCnIa3YZ5BYgRP6xngCEzg5&export=download =60%x)


# Impulse function 
### 1. 函數代號常用為 $\delta$
### 2. 只有當函數值為 0 的時候，高度為 1

![](https://drive.google.com/uc?id=1Wy2oYWcKqWNDI-_o6l7KskxLOHe-a2FA&export=download =50%x)
1. 是 step function 的微分
2. step function 是 impulse function 的積分


# Ramp Function
兩個離散的公式
![](https://drive.google.com/uc?id=1pn8yVUZRy851ZWPo6wLYu4s95KtI7cnu&export=download) ![](https://drive.google.com/uc?id=1XNiPvfMHeb9IKzPsdiC3Uj3unJjHjpsG&export=download)

![](https://drive.google.com/uc?id=1HvOuJXZU5BSGok3mOPPD3OeXBLx0SX3h&export=download =70%x)

上課似乎沒有提到

# 其他 Multipath Communication Channels
![](https://drive.google.com/uc?id=1gfB4lSEwCTOHBDs-djQt9MvsHMQ6AdLO&export=download =50%x)
![](https://drive.google.com/uc?id=17MRCjpw2uFaHqgzHsgcly7xhvhdVvZHg&export=download =80%x)
![](https://drive.google.com/uc?id=1Guvg6_mQqd6a2WbDxvLWL-9xRWHr0LMq&export=download =50%x)
就是在傳輸的過程中，訊號會有位移，然後一個接收點就會收到不同位移的混和訊號


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1.  Memory：Output 跟 過去 **past input** (右邊)或未來 **future input** (左邊)有關

3.  Memoryless：Output 只跟現在 **present input** 有關

1.  Causal：Output 只跟現在 **present input** 或過去 **past input** 有關

3. Concausal：Output 跟一個以上的未來 **future input** 有關

1.  Invertibility：可以被還原

1.  Time Invariance：對輸入做時間位移得到的輸出，跟對輸出做相同時間位移得到的值一樣；代表不會隨時間改變

1.  Linearity：滿足
    1. Superposition：兩個不同輸入相加的輸出，等同兩者的輸出相加
    2. Homogeneity：輸入乘上係數得到的輸出，等同原輸出乘上該係數