---
# System prepended metadata

title: Недо-Физтех

---

# Недо-Физтех
Задания взяты из методического пособия Шабунина, если не указано иное.
## №1 (1.42)
Решить неравенство
$$
\frac{\sqrt{-x^2+7x-6}}{|x^2-6x+5|-|x^2-2x-3|} \leq 0
$$
## №2 (2.37)
Найти наименьшее натуральное число $n$, при котором выполняется равенство
$$
\sin(n^{\circ}+80^{\circ}) + \sin(n^{\circ}-40^{\circ})+ \sin(n^{\circ}+70^{\circ}) - \cos 25^{\circ} = 0
$$
## №3 (2.94)
~~Кто заказаывал страшную тригонометрию?~~
Решить уравнение
$$
\frac{\cos(4x) + \cos(3x) + \cos(2x) + \cos(x) }{\sin(4x) + \sin(3x) - \sin(2x) - \sin(x)}=\frac{\sqrt{2}\cdot|1-2\sin^2(x)|}{\sin(x)\sin(\frac{\pi}{4}-x)}
$$
## №4 (3.76)
Решить систему уравнений
$$
\begin{cases}
\log_3\left(\frac{x^2}{y}-x\right)+\log_\frac{1}{3}\left(y-\frac{y^2}{x}\right)=2 \\
\log_2|x-y| = 1
\end{cases}
$$
## №5 (4.27)
Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в
точке $O$. Окружность радиуса $R$ с центром в точке $O$ проходит
через вершину $A$, касается стороны $BC$ и пересекает сторону
$AC$ в точке $M$ такой, что $AM:MC = 4:1$. Найти длину стороны
$AB$.
## №6 (5.31)
Точки $P$ и $Q$ — середины ребер $K L$ и $L M$ правильной треугольной призмы $KLM K'L'M '$. Ребро $SB$ правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ ($S$ — вершина) лежит на прямой $QK$, а вер-
шины $A$ и $C$ — на прямых $K'P$ и $LL'$ соответственно. Найти отноше-
ние объемов призмы и пирамиды, если $SA = 5AB$.
## №7 (6.25)
На координатной плоскости даны точки $A (0; 2)$ и $B (4; 3)$.
При каких значениях параметра $p$, $p < 5$, ближайшая к графику функции $y=\sqrt[4]{x+p}$ точка прямой $AB$ лежит на отрезке $AB$?
## №8 (7.81)
Дано число $a=2^{2002} + 3^{2002}$, найдите последнюю цифру числа и остаток от деления числа $a$ на 11.
## №9 ([Комбинаторика для олимпиадников](https://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf) 1.1.18 ("Физтех",2015,10-11))
Сколькими способами можно разменять $120000$ рублей монетами в $1$, $2$ и $5$ рублей?