# DM Mathématiques expertes

## Exercice 1 :

$$\dfrac{1}{2k*(k+1) - (1*(-2))} = \dfrac{1}{2k^2 + 2k +2} $$

$\Delta = 2^2 - 4 \times 2 \times 2$
$\Delta = 4 - 16$
$\Delta = -12$
Vu que Δ est négatif, $2k^2+2k+2$ admet aucune racine et donc ne sera jamais égal à 0, donc A est inversible
A :
$$ A^{-1} =\begin{bmatrix}
\dfrac{k+1}{2k^2+2k+2}&\dfrac{1}{k^2+k+2}\\
-\dfrac{1}{2k^2+2k+2}&\dfrac{2k}{2k^2+2k+2}\\
\end{bmatrix}
$$

## Exercice 2 :
$$ A = \begin{bmatrix}
1&1&1\\
1&1&1\\
1&1&1\\
\end{bmatrix}
$$

1.
$$A^2 =
\begin{bmatrix}
3&3&3\\
3&3&3\\
3&3&3\\
\end{bmatrix}
$$

$$A^3 =
\begin{bmatrix}
9&9&9\\
9&9&9\\
9&9&9\\
\end{bmatrix}
$$

$$A^4 =
\begin{bmatrix}
27&27&27\\
27&27&27\\
27&27&27\\
\end{bmatrix}
$$

2.
$$A^n =
\begin{bmatrix}
3^{n-1}&3^{n-1}&3^{n-1}\\
3^{n-1}&3^{n-1}&3^{n-1}\\
3^{n-1}&3^{n-1}&3^{n-1}\\
\end{bmatrix}
$$

Montrons par réccurence que

### Initialiation:

$$A^1=
\begin{bmatrix}
3^0&3^0&3^0\\
3^0&3^0&3^0\\
3^0&3^0&3^0\\
\end{bmatrix}
$$
Donc P($_0$) vrai.

### Hérédité :

Hr = $$ A^{n+1} =
\begin{bmatrix}
3^n&3^n&3^n\\
3^n&3^n&3^n\\
3^n&3^n&3^n\\
\end{bmatrix} $$

$$A^n * A^1 = \begin{bmatrix}
3^{n-1}&3^{n-1}&3^{n-1}\\
3^{n-1}&3^{n-1}&3^{n-1}\\
3^{n-1}&3^{n-1}&3^{n-1}\\
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
1&1&1\\
1&1&1\\
1&1&1\\
\end{bmatrix}
$$
$$ = \begin{bmatrix}
3^{n-1}+3^{n-1}+3^{n-1}&3^{n-1}+3^{n-1}+3^{n-1}&3^{n-1}+3^{n-1}+3^{n-1}\\
3^{n-1}+3^{n-1}+3^{n-1}&3^{n-1}+3^{n-1}+3^{n-1}&3^{n-1}+3^{n-1}+3^{n-1}\\
3^{n-1}+3^{n-1}+3^{n-1}&3^{n-1}+3^{n-1}+3^{n-1}&3^{n-1}+3^{n-1}+3^{n-1}\\
\end{bmatrix}
$$
$$ (3^{n-1}+3^{n-1}+3^{n-1} = 3^n)$$
$$ = \begin{bmatrix}
3^n&3^n&3^n\\
3^n&3^n&3^n\\
3^n&3^n&3^n\\
\end{bmatrix}
$$

Donc $P_{n+1}$ Vrai.

## Exercice 3

1. $$ A=\begin{bmatrix}
1&2&8\\
0&1&-1\\
0&0&1\\
\end{bmatrix}
$$

$$ A = J + I3$$
$$J = A - I3$$
$$ J =\begin{bmatrix}
1&2&8\\
0&1&-1\\
0&0&1\\
\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\\
\end{bmatrix}$$
$$ J = \begin{bmatrix}
0&2&8\\
0&0&-1\\
0&0&0\\
\end{bmatrix}$$

2. Montrons par récurrence que pour tout n >= 2:
$$ A^n = I3 + nJ + \dfrac{n(n-1)}{2}J^2 $$

### Initialisation:

$A^2 = I3 + 2J + \dfrac{2(2-1)}{2}J^2$
$= I3 + 2J +J^2$
$A^2 = \begin{bmatrix}
1&4&14\\
0&1&-2\\
0&0&1\\
\end{bmatrix}$

$P_{0}$ Vrai.

### Hérédité: Supposon $P_{n}$ vrai, montron $P_{n+1}$

HR = $A^{n+1} = I3 + (n+1)J + \dfrac{(n+1)(n+1-1)}
{2}J^2$

HR $= I3 + nJ + J + \dfrac{n^2+2n}{2}J^2$

$A^{n+1} = A^n \times A^1 = (I3 + nJ + \dfrac{n(n-1)}{2}J^2) (J + I3)$
$= J + nJ^2 + \dfrac{n(n-1)}{2}J^3 + I3 +nJ +\dfrac{n(n-1)}{2}J^2$

$= I3 + nJ + J^2 + nJ^2 + \dfrac{n(n-1)}{2}J^2$

$= I3 + nJ + J + (n +\dfrac{n(n-1)}{2})J^2$$

$= I3 + nJ + J + \dfrac{2n+n^2-n}{2}J^2$

$= I3 + nJ + J + \dfrac{n^2+2n}{2}J^2$

Donc $P_{n+1}$ vrai
### Conclusion:
La propriété est vraie à partir du rang 0 et est héréditaire à partir de ce rang

## Exercice 4
1. a.

Féminin->Masculin: 1/4
Masculin->Féminin: 1/3
Masculin->Masculin:2/3
Féminin->Féminin: 3/4

$$T = \begin{bmatrix}
\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}\\
\dfrac{1}{4}&\dfrac{3}{4}\\
\end{bmatrix}$$

1. b.
$T^{10} = \begin{bmatrix}
0.43&0.57\\
0.43&0.57\\
\end{bmatrix}$

2. La distribution invariante est : $\pi=\begin{bmatrix}0,5&0,5\end{bmatrix}$

3. a.
$P^{-1} =\begin{bmatrix}\dfrac{3}{7}&\dfrac{4}{7}\\
-\dfrac{1}{7}&\dfrac{1}{7}\\
\end{bmatrix}$

$D = P^{-1} \times T \times P = \begin{bmatrix}1&0\\0&\dfrac{5}{12}\\
\end{bmatrix}$

3. b.
Si $D = P^{-1} \times T \times P$ alors $T = P^{-1} \times D \times P$

Montrons, que par récurrence, que $T^{n} = P \times D^{n} \times P^{-1}$:
Initialisation :
$T^0 = P^{-1} \times D^0 \times P^{-1}$

$I_{2} = P \times I_{2} \times P^{-1}$

$I_{2} = I_{2}$

($P_{0}$) est vraie.

Hérédité :
Supposons que ($P_{n}$) est vraie, montrons que ($P_{n+1}$) est vraie :

$T^{n+1} = T^{n} \times T$

$T^{n+1} = P \times D \times P^{-1} \times P \times D^{n} \times P^{-1}$
$T^{n+1} = P \times D^{n+1} \times P^{-1}$

($P_{n+1}$) est vraie.

<u>Conclusion</u> :
La propriété est vraie à partir du rang 0 et est héréditaire à partir de ce rang

3.c.

$T^{n} = (T)^n$
$T^{n} = \begin{bmatrix}
\left(\dfrac{2}{3}\right)^n&\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\\
\left(\dfrac{1}{4}\right)^n&\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\\
\end{bmatrix}$

3.d.
$\pi_{n} = \pi_{0} \times T^{n}$
$\pi_{n} = \begin{bmatrix}0,43&0.57\end{bmatrix}$

3.e. Il rencontrera 57% d'herniens.