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title: '- [ ] ****## La variance d''une variable aléatoire X est égale à 2. La variance de la variable aléatoire Y est égale à : 0,5 X'

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# - [ ] ****## La variance d'une variable aléatoire X est égale à 2. La variance de la variable aléatoire Y est égale à : 0,5 X

$Y = 0,5X$ donc, $Y = aX + b$ où $a = 0,5$ et $b = 0$
Donc :
$V(Y) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\times V(X)$
$V(Y) = \dfrac{1}{4}\times 2 = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} = 0,5$

## --L'espérance de la somme de deux variables aléatoires est égale à la somme des espérances de chaque variable aléatoire--
=> $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$
donc **VRAI**

## --On lance deux fois successivement un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. Z est la somme des numéros obtenus--

$P(Z = 10) = \dfrac{1}{18}$

Il y a $6 \times 6 = 36$ probabilités.
Pour faire 10 avec deux dés, on peut faire $6$ et $4$, $5$ et $5$, $4$ et $6$. Donc, 3 façons. Ainsi, $\dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12} \ne \dfrac{1}{18}$

donc **Faux**

## -- Une variable aléatoire X admet une espérance de 2 et une variance de 4. Y = 0,5(X -2), une autre variable aléatoire.--

$0,5(X -2) = 0,5X -1$
Alors, c'est de la forme $aX + b$ où $a = 0,5$ et $b = -1$
Donc : 
$E(Y) = 0,5E(X) - 1 = 0,5 \times 2 -1 = 0$
$V(Y) = (0,5)^{2}\times V(X) = \dfrac{1}{4} \times 4 = 1$
Ainsi, $E(Y) = 0$ et $V(Y) = 1$

## --On lance succesivement un dé équilibré à des faces numérotées de 0 à 9 et un jeton qui porte le numéro d'un coté 10 et l'autre 20. X est la variable aléatoire qui donne le numéro obtenu avec le dé et Y celle qui donne le numéro obtenu avec le jeton et Z celle qui donne la somme de deux nombres--
## E(Z) est :
$E(X) = 0\times \dfrac{1}{10} + 1\times \dfrac{1}{10} + 2\times \dfrac{1}{10} + 3\times \dfrac{1}{10} + 4\times \dfrac{1}{10} + 5\times \dfrac{1}{10} + 6\times \dfrac{1}{10} + 7\times \dfrac{1}{10} + 8\times \dfrac{1}{10} + 9\times \dfrac{1}{10} = 4,5$

$E(Y) = 10\times\dfrac{1}{2} + 20\times\dfrac{1}{2} = 15$

$E(Z) = E(X) + E(Y) = 15 + 4,5 = 19,5$

## On lance succesivement un dé équilibré à dix faces numérotées de 0 à 9 et un jeton qui porte le numéro d'un coté 10 et l'autre 20. X est la variable aléatoire qui donne le numéro obtenu avec le dé et Y celle qui donne le numéro obtenu avec le jeton et Z celle qui donne la somme de deux nombres
## $\sigma(Z)$ est : 
$V(X) = \left((0 - 4,5)^{2} \times\dfrac{1}{10} + (1 - 4,5)^{2} \times\dfrac{1}{10} + (2 - 4,5)^{2} \times\dfrac{1}{10} +(3 - 4,5)^{2} \times\dfrac{1}{10}+(4 - 4,5)^{2} \times\dfrac{1}{10}+(5 - 4,5)^{2} \times\dfrac{1}{10}+(6 - 4,5)^{2} \times\dfrac{1}{10}+(7 - 4,5)^{2} \times\dfrac{1}{10}+(8 - 4,5)^{2} \times\dfrac{1}{10}+(9 - 4,5)^{2} \times\dfrac{1}{10}\right) = 8,5$

$V(Y) = \left((20-15)^{2}\times\dfrac{1}{2}+(10-15)^{2}\times\dfrac{1}{2} \right) = 25$

$V(Z) = V(X) + V(Y) = 33,5$

Du coup, $\sigma(X) = \sqrt{V(Z)} = \sqrt{33,5} \approx 5,77$


## Deux sacs contiennent des papiers numérotés de 0 à 9. On tire indépendamment un papier de chaque sac. X (respestivement Y) est la variable aléatoire qui donne le nuyméro tiré du premier (respestivement second) sac.
### $\sigma(X+Y)$ est égal à :

* $\sqrt{V(X+Y)}$
* $\sqrt{V(X)+V(Y)}$+
* $\sqrt{(\sigma^{2}(X)+\sigma^{2}(Y))}$

## On lance deux fois successivement un dé équiliibré à six faces numérotés de 1 à 6. Z est la somme des numéro obtenus

### X est le résultat obtenu au premier lancer et Y le résultat obtenu au second. $P(X = 4) \cap P(Y = 6) = \dfrac{1}{36}$

C'est **VRAI** car il y a une probabilité d'obtenir un 4 et un 6 sur 36 possibilités ($6 \times 6 = 36$)

## Deux sacs contiennent des papiers numérotés de 0 à 9. On tire indépendamment un papier de chaque sac. X( respectivement Y) est la variable aléatoire qui donne le numéro tiré du premier (respetivement second) sac.
### $V(2X + 0,5Y)$ est égal à:

$V(2X + 0,5Y) = V(2X) + V(0,5Y) = 4V(x)+0,25V(Y)$

## E(-2X) = -2E(X) : 
E **Vrai**

## On lance succesivement un dé équilibré à dix faces numérotées de 0 à 9 et un jeton qui porte le numéro d'un coté 10 et l'autre 20. X est la variable aléatoire qui donne le numéro obtenu avec le dé et Y celle qui donne le numéro obtenu avec le jeton et Z celle qui donne la somme de deux nombres
## $E(X)$ est : 
$E(X) = 0\times \dfrac{1}{10} + 1\times \dfrac{1}{10} + 2\times \dfrac{1}{10} + 3\times \dfrac{1}{10} + 4\times \dfrac{1}{10} + 5\times \dfrac{1}{10} + 6\times \dfrac{1}{10} + 7\times \dfrac{1}{10} + 8\times \dfrac{1}{10} + 9\times \dfrac{1}{10} = 4,5$

## Une variable aléatoire X admet une espérance égale à 2. L'expérience de la variable aléatoire Y = X - 2 est égale : 

$E(Y) = aX + b$ où $a = 1$ et $b = -2$
$E(Y) = aE(X) + B$
$E(Y) = 1\times2 - 2$
$E(Y) = 0$



## On lance succesivement un dé équilibré à dix faces numérotées de 0 à 9 et un jeton qui porte le numéro d'un coté 10 et l'autre 20. X est la variable aléatoire qui donne le numéro obtenu avec le dé et Y celle qui donne le numéro obtenu avec le jeton et Z celle qui donne la somme de deux nombres

La réponse **Z = X+Y**


## Deux sacs contiennent des papiers numérotés de 0 à 9. On tire indépendamment un papier de chaque sac. X (respestivement Y) est la variable aléatoire qui donne le nuyméro tiré du premier (respestivement second) sac.
### $E(X + 3Y)$ est égal :

$E(X + 3Y) = E(X) + E(3Y)$
$E(X) + E(3Y) = E(X) + 3E(Y)$

## On lance succesivement un dé équilibré à dix faces numérotées de 0 à 9 et un jeton qui porte le numéro d'un coté 10 et l'autre 20. X est la variable aléatoire qui donne le numéro obtenu avec le dé et Y celle qui donne le numéro obtenu avec le jeton et Z celle qui donne la somme de deux nombres
### Les variables aléatoires X et Y sont : 
Elles **sont indépendantes**.

## $V(-2X) = -2V(X)$
Elle est **Faux**

## La variance de la somme de deux variables aléatoires est égale à la somme des variances de chaque variable aléatoire 
$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ donc c'est **vraie**.

## Si $V(X) = V(Y)$ alors : 
$V(X + Y) = 2\times V(X)$
$\sigma(X + Y) = 2\times \sigma(X)$