微分・積分の基本は関数の数字を細かく分けて考えることです。
なので"限りなく大きくする”とか”限りなく小さくする”といったことについて学ぶ必要があります。
関数\(f(x)\)において、\(x\)が\(a\)とは異なる値を取りながら\(a\)に限りなく近づくとき,\(f(x)\)の値が一定の値\(\alpha\)に限りなく近づくならば,この値\(\alpha\)を\(x\to a\)の時の\(f(x)\)の極限値または極限といい、次のように表す\[\lim_{x \to a}f(x) = \alpha\]もしくは\[ x \longrightarrow a \Rightarrow f(x) \longrightarrow \alpha \]
また、このとき、\(f(x)\)は\(x\)\(\rightarrow\)\(a\)で\(\alpha\)に収束するという
ニホンゴムズカシイ
下図のように徐々に点Xをaに近づけていくと、値が徐々に近づいていきます。
"限りなく近づく"ってどういうこと？数式とかで明確に示して欲しい。
"限りなく近づく"="差がほとんどない" \(\Longrightarrow\) \(x\)と\(a\)の差の絶対値を取って考える
\(|x-a|\)が0に近い値(\(\neq0\))になるとき (\(0<|x − a|<\delta\))
\(|f(x)-\alpha|\)の値が0に近い値になっていく ( \(|f(x) − \alpha | < \varepsilon\) )
任意の正の数\(\varepsilon\)に対し、ある正の数\(\delta\)が存在して、\(0<|x − a|<\delta\)を満たし、かつ、\(f(x)\)の定義域に含まれるすべての\(x\)について、\(|f(x) − \alpha | < \varepsilon\) が成り立つとき、この値\(\alpha\)を \(x\)\(\rightarrow\)\(a\)のときの関数\(f(x)\)の極限または極限値といい、次のように表す
\[\lim_{x \to a}f(x) = \alpha\]
もしくは
\[ x \longrightarrow a \Rightarrow f(x) \longrightarrow \alpha \]
また、このとき、\(f(x)\)は\(x\)\(\rightarrow\)\(a\)で\(\alpha\)に収束するという。
この定義の仕方を\(\varepsilon\)-\(\delta\)論法などと言ったりします。
※ここでの任意のは全てのという意味であるので注意
日本語で表現されているので解釈の余地が有るのはケシカラン！という場合には以下の形式言語で記述すればもはや言葉は入ってないので、解釈の余地は生まれません。
\[ \forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0;\; \forall x \in \mathbb{R}\; [ 0 \lt | x - a | \lt \delta \Rightarrow |f(x)- \alpha| \lt \varepsilon ] \]
関数\(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-2}\)の\(x \to1\)の極限値を考える
\(\{x \mid x \neq 1\}\)であり\(x=1\)は定義域に含まれない。
しかし\(x \neq 1\)においては
\[
\begin{eqnarray}
f(x) & = \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \\
& = x+1
\end{eqnarray}
\]
である
よって\(x\to 1\)のとき、\(f(x)\to 2\)である
以下の収束値を求めてみましょう
\[ (1)\lim_{x \to 2}(x^2+5x+6)\quad (2)\lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x-2} \]
\(\displaystyle\lim_{x \to a}f(x) = \alpha\) , \(\displaystyle\lim_{x \to a}g(x) = \beta\)とすると以下の定理が成り立つ
- \(\displaystyle\lim_{x \to a}kf(x) = k\alpha\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to a}\{f(x)+g(x)\} = \alpha +\beta\) , \(\lim_{x \to a}\{f(x)-g(x)\} = \alpha -\beta\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)g(x) = \alpha\beta\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\alpha}{\beta}\)
関数\(f(x),g(x)\)について、\(\displaystyle\lim_{x \to a}f(x) = b\) , \(\displaystyle\lim_{x \to b}g(x) = \alpha\)とする。ただし\(a,b,\alpha\)は実数である。この時\(f(x)とg(x)\)の合成関数\((g\circ f)(x)\)について\(\displaystyle\lim_{x\to a}(g\circ f)(x)=\alpha\)が成り立つ
関数\(f(x)\)と\(g(x)\)の定義域が開区間\(I\)を含み \(a\in I\)である実数\(a\)について
\(\displaystyle\lim_{x \to a}f(x) = \alpha\) , \(\displaystyle\lim_{x \to a}g(x) = \beta\)とする。この時以下が成り立つ
(1) 全ての\(x \in I\)について\(f(x) \leq g(x)\) ならば \(\alpha \leq \beta\)
(2) 関数\(h(x)\)の定義域が開区間\(I\)を含み、すべての\(x \in I\)について\(f(x) \leq h(x)\leq g(x)\)かつ\(\alpha = \beta\)ならば\(\displaystyle\lim_{x \to a}h(x) = \alpha\)
\[ \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} = 0 \\ \lim_{x \to +0 }\frac{1}{x} = \infty\\ \lim_{x \to -0 }\frac{1}{x} = -\infty \]
(演習回をやります)