Linear Algebra and Eigenvalues

Gershgorin circle

給定一個

$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 矩陣，

$R_i$ 記為一個在複數平面上的圓，圓心是

$a_{ii}$，半徑是

${\mathrm{\Sigma }}_{j=1,i\ne j}^n|a_{ij}|$，也就是同一個 row 裡面除了圓心以外的其他元素的總和，所以

$R_i=\{z\in \mathbb{C}||z-a_{ii}|\le {\mathrm{\Sigma }}_{j=1,i\ne j}^n|a_{ij}|\}$，

$\mathrm{\forall }i=1,2,...,n$

A 的特徵值(eigen value) 會被包含在這些圓(

$R={\cup }_{i=1}^n{R}_i$ ) 的聯集內，如果 A 是對角矩陣，那麼圓半徑會退化到 0

證明：

然後如果有 k 個圓的聯集和剩下的 n-k 個圓聯集沒有交集，那麼前者會包含 k 個特徵值，而後者則恰有 n-k 個特徵值。

要逼近特徵值的我們很常使用迭代法，所以先用 Gershgorin circle 找到一個範圍，拿來讓 initial guess 參考是很不錯的選擇，可以提供很好的 initial guess。

例子