方程與雷諾數、不等式與 Sobolev 不等式

1.2 Characteristics Scales and Scales

這個方程主要是來描述流體的運動，像是今天要設計一個潛艇，這種東西是在流體裡面跑，如果你想知道你設計的外型會發生什麼事情，就需要這個方程。

我們現在考慮一個比較簡單的情況，一個不可壓縮的流體，這代表這流體的密度是常數。

所以現在你就想像我們在海洋，給個座標 x1, x2, x3，時間就 t，所以你在那個點的流速就是：

這個東西有三個分量叫 u1, u2, u3，代表在 x1, x2, x3 然後時間 t 的速度。

還有一個重要的物理量叫 P，就是流體在那個點那個時間的壓力 P( x1, x2, x3, t )。

之後會有個很重要的方程：

其中

然後我們想做無量綱化：

然後我們就可以把剛剛那個 Stoke 方程簡化成這樣：

Scaling Argument 就是利用調整 scale 的方法去看不等式的結果，看一下這個例子：

現在我們想要知道如果有像這樣的不等式：

那麼 p 和 r 的關係會長怎樣，讓這個不等式會是一個合理的不等式，先假設這個不等式存在：

這樣就完成了我們的目的，我們一開始想像 f 那個不等式是對的，然後 f 在 C® 那個集合裡面，然後我們就重新用 u(x) = Mf(Lx) 定義了這個東西。

有點像是假設 f 是個物理量，x 是某個跟位置有關的東西，那麼 L 就會改變位置的尺度，M 就會改變物理量的尺度，而因為我們假設 f 在 C® 裡面是對的，所以改變後應該也要是對的，這就是它背後的想法。

接下來看另一個例子，柯西不等式，積分版的柯西不等式長這樣子：

然後我們就想看看有沒有其他類似這樣的不等式，像這樣：

然後跟剛才一樣假設 f, g，只是這次有兩個，所以要設不同的 M 和 N，這邊我們設 M1, L1，M2, L2：

那麼 u, v 仍在同一個空間裡，因為只要 L1, L2 不為 0，當 x 趨近無限大時 M 就趨近到 0，同樣地當 x 趨近到負無限大時 M 也趨近到 0。

所以我們就可以改寫方程，用 u, v 改寫 f, g，再用變數變換弄回來，我們先假設 L1 = L2，因為我們需要做變數變換：

這樣記得到我們要的了，如果一開始的等式存在，則他們 p、q 的關係就長這樣。

反正整個過程就是改變量函數、量空間的尺度，看看它最後會變怎樣。

一樣，首先假設有個不等式，然後開始操作：