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# Dimensional Analysis 量鋼分析

## 前言

首先我們要知道什麼是量鋼，用一句話來解釋，就是「可以量的東西」，像是手機，我們不會說我們要來量手機，但我們可以說要量手機的耗電、重量等等的，這些就是量鋼。

所有的物理定律一定是個等式，像是 `F = ma`，這樣的等式左右的量鋼一定要一樣，像是左邊是長度的單位，右邊一定也要是長度的單位，不會左邊是時間然後右邊是長度。 那量鋼分析是什麼意思呢? 簡單來說就是去研究跟問題有關的變數，別且研究如何把他們湊在一起。

要注意「量鋼」和「單位」是不一樣的，舉個例子來說，「質量」是一種量鋼，而「公斤」是度量「質量」的一種「單位」，「公克」也是另一種度量「質量」的單位。

我們用 `[]` 代表某某的量鋼，像是 `[q]` 代表 q 的量鋼，如果有一個量，你不管選取什麼樣的單位去量，他的數值都不會變的話，我們稱他為「無量鋼」，記為 `[q] = 1`。


## Pi 定理

Pi 定理指出任一個表示「多個有量鋼的物理量之間的關係」的物理定律對應著一個無量綱量之間的關係，舉個例子：

假設我們今天要研究一個騎腳踏車的人受到的空氣阻力有多大，那我們假設這個風阻跟往前的速度 v 有關，跟截面積 A 也有關，還有跟空氣密度 $\rho$ 也有關係，因此我們就寫：

$F = \phi (\rho, A, v)$

或者可以把 F 也當變數寫成：

$\Phi(F, \rho, A, v) = F - \phi (\rho, A, v) = 0$

意思就是假設這四個物理量是有關係的，那通常這四個物理量的關係就會有一個函數來決定，而且會等於 0。 這就是上面所謂的 Pi 定理。


### 用數學方式呈現

現在我們要想辦法用數學來把剛剛那些表達出來，假設現在有 m 個有量綱的物理量，我們把他寫成 $q_1$ ~ $q_m$，那這些物理量我們可以用基礎量綱來表示他：


這裡的 $L_1、L_2$ 等等的可能是 L、M、T 之類的，也可以是 F、V、E 之類的，看你自己怎麼選，只要他們是獨立的就好。

注意 n < m，因為 L 是基礎量綱，而 $[q_j]$ 那邊每一個基礎量綱對應的次方我們就叫他 $a_{ij}$，所以這邊就會構成一個矩陣，因為你有 $q_1$ ~ $q_m$，可以寫成這樣：


所以那個矩陣的每一行對應到的是基礎量綱的次方，所以 $q_1$ 的基礎量鋼他每個對應到次方就寫在第一行，那麼矩陣就會長這樣：


那麼矩陣的第 j 行對應到的就是 $q_j$ 的基礎量綱的次方。

如果兩次你選的 $L_1$、$L_2$ 之類的不一樣，那矩陣也會長的不一樣。

### dimensionless combinations

如果一個數字 $\pi$ 可以被寫成 ${q_1}^{\alpha_1} ... {q_m}^{\alpha_m}$ 且 $\pi$ 是無量綱的量，那這個數字我們稱他為 dimensionless combinations。


所以我們為了要講清楚什麼是 Pi 定理，我們需要知道什麼是 dimensionless combinations，也就是一堆有量綱的物理量，經過這種組合(combination)，然後這個組合組合出來的是一個無量綱的東西。

一組 $q_1, ..., q_m$ 的 dimensionless combinations，一組的意思是假設 $\pi_1, ..., \pi_k$，這 k 個數字都是由 $q_1$ ~ $q_m$ 所組合出來的無量綱的量，如果 k 是 nullity of dimension matrics，且任意的 dimensionless combinations 都可以用 $\pi_1, ..., \pi_k$ 來表示，那這個東西被叫做 maximal。


再多做一點[說明](https://youtu.be/KsfeqaSPVZA?list=PLGwoNNTgFGejNl1QeeQJkGC_SjiNNtm5j)，點進去看影片：




換句話說前面的 Dimension Matrix 乘上指數形成的行向量會等於 0 向量。

如果我們有一個物理量，選好單位之後我們可以算出一個數字，以下圖來說就是 用 $[L_i]_1$ 這組單位可以得到 $v_1(q)$，因為單位之間可以轉換，像是 $[L_i]_1$ 可以轉換成 $[L_i]_2$，所以 $v_1(q)$ 和 $v_2(q)$ 也會有一個關係式：


### unit free

我們在代物理公式的時候並不會把單位跟著代進去，通常代的東西會像這樣：


把單位給消掉，在代公式的時候我們不會刻意把單位也代進去，而是只代數字。

這隱含的意義代表「一個物理定律本身應該跟單位的選取無關」，這就會衍伸出一個定義：


### 使用 Pi 定理

假設有個 unit free 的物理定律 $\phi$，詳細如下：


一但我們把這些事情的決定好後，我們可以找到一個 maximal collection：


再來我們會發現上面寫的 $\phi$ 會等價於用 $\pi_1$ ~ $\pi_k$ 的另外一個定律 $\Phi$，但 $\Phi$ 裡面的參數就都只有數字了。

所以 $q_1$ ~ $q_m$ 這 m 個物理量之間的關係，就會變成是 $\pi_1$ ~ $\pi_k$ 這 k 個無量綱的量之間的關係，而且是等價的，也就是說 $\phi$ 成立， $\Phi$ 就成立，反之亦然。

看一個[例子](https://youtu.be/LBC-bBgd1Yg?list=PLGwoNNTgFGejV5tVyQY58b5vCapDdYNOl&t=2020)：



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