Travaux pratiques d'électroniques N°03

# Travaux pratiques d'électroniques N°03 ## Le signal : élément de caractérisation MUNIER Maxime & KLEIN Simon ### Questions préliminaires * **Existe-t-il une relation simple entre $s_{M}$ et $s_m$ pour tout signal alternatif ?** On a la relation suivante : $$Amplitude\; crête\; à\; crête = S_{M} - S_{m}$$ Ceci constitue la seule relation simple existant entre $S_M$ et $S_m$ valable pour tout signal alternatif. En effet, on aurait envie de dire que $S_M = -S_m$ mais cela n'est pas toujours vrai. En voici un contre-exemple : <center> <img src="https://i.imgur.com/mfdUGXi.png"> </center> * **La définition d’un signal alternatif sur une demi-période suffit-elle à déterminer l’intégralité de la signature d’un signal alternatif quelconque ?** La définition d'un signal alternatif sur une demi-période ne suffit pas pour déterminer l'intégralité de la signature d'un signal alternatif quelconque. En voici un contre exemple : <center> <img src="https://i.imgur.com/tdb0xwF.png"> </center> Dans ce cas, l'intervalle de temps t1 seul ne permet pas de determiner T ou t2. * **Existe-t-il une relation simple entre la valeur efficace et la valeur maximum d’un signal alternatif** Il n'existe pas de de relations simples entre la valeur efficace et la valeur maximum d'un signal alternatif quelconque. Cependant il en existe pour les signaux suivants : (que nous demontrerons plus tard dans partie B) Pour un signal sinusoïdal : $$U_{alt,eff} = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$$ Pour un signal créneaux : $$U_{alt,eff} = U_m$$ Pour un signal triangulaire : $$U_{alt,eff} = \frac{U_m}{\sqrt{3}}$$ **Avec** $U_{alt,eff}$ : valeur efficace du signal alternatif, en Volt $U_m$ : Amplitude du signal, en Volt ![](https://i.imgur.com/ecpqqkb.png) * **Que peut-on dire de la valeur efficace centrée et de la valeur efficace d’un signal alternatif** Dans le cas d'un signal alternatif, valeur efficace et valeur efficace centrée sont confondues. $$S_{effc} = \sqrt{Var(s)}$$ Or, on a aussi que : $$Var(s) = <s^2> - (<s>)^2$$ Mais pour un signal alternatif, sa moyenne est nulle donc on obtient : $$Var(s) = <s^2>$$ Et on sait aussi que : $$S_{eff} = \sqrt{<s^2>}$$ > Avec > $S_{effc}$ la valeur efficace centrée du signal > $S_{eff}$ La valeur efficace du signal > $Var(s)$ Sa variance D'où l'égalité. * **Comment générer un signal alternatif à partir d’un signal continu ? Cette relation est-elle unique ?** Pour générer un signal alternatif à partir d'un signal continu, il suffit de retirer la valeur moyenne du signal continu afin d'obtenir une valeur moyenne nulle et donc un signal alternatif. Cette relation est effectivement unique car il s'agit de la caractéristique propre d'un signal alternatif ### **B. Les signaux génériques (analyse théorique)** 1. Determinons la relation existant entre la valeur efficace et la valeur maximale de chacun des trois signaux alternatifs périodiques de base. #### Dans le cas du signal Sinusoïdal : On a $e(t) = Acos(\omega t)$ $$ S_{eff} = (\frac{1}{T}\int_{0}^{T} s^2(t)\;dt)^{1/2}$$ D'où : $$\begin{align} S_{eff}^2 &= \frac{1}{T}\int_{0}^{T} A^2cos(\omega t)\;dt\\ &= \frac{A^2}{T}\int_{0}^{T} \frac{1+cos(2\omega t)}{2} \;dt\\ &= \frac{A^2}{2T} [t + \frac{sin(2\omega t)}{2\omega}]_0^T\\ &= \frac{A^2}{2T}[T + \frac{sin2\omega T)}{2\omega} - 0]\\ &= \frac{A^2}{2} \end{align}$$ Ainsi, $S_{eff} = \frac{A}{\sqrt{2}}$ pour le signal sinusoïdal. #### Signal Creneaux on a $\begin{align} e(t) &= \; A \; \textit{ pour t dans [0;T/2]}\\ &= -A \; \textit{ pour t dans [T/2;T]} \end{align}$ $$\begin{align} S_{eff}^2 &= \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s^2(t)\;dt\\ &= \frac{A^2}{T}\int_{0}^{T} A^2 \;dt\\ &= \frac{A^2T}{2T}\\ &= {A^2} \end{align}$$ Ainsi, $S_{eff} = A$ Pour le signal créneaux. #### Signal triangle On a $e(t) = -\frac{4A}{T}t - A$ et $e(t) = \frac{4A}{T}t - A$ D'où : $$\begin{align} S_{eff}^2 &= \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s^2(t)\;dt\\ &= \frac{1}{T}(\int_{0}^{T/2} s^2(t) \;dt + \int_{T/2}^{T} s^2(t) \;dt)\\ &= \frac{1}{T}(\int_{0}^{T/2} (-\frac{4A}{T}t - A)^2 \;dt + \int_{T/2}^{T} (\frac{4A}{T}t - A)^2 \;dt)\\ &= \frac{2}{T} \int_{0}^{T/2}(\frac{4A}{T}t - A)^2 \; dt\\ &= \frac{2}{T} \frac{T}{4A} \int_{0}^{T/2}\frac{4A}{T}(\frac{4A}{T}t - A)^2 \; dt\\ &= \frac{1}{2A} \left[(\frac{\frac{4A}{T}t - A)^3}{3}\right]_{0}^{T/2}\\ &= \frac{A^2}{3} \end{align}$$ Ainsi, $S_{eff} = \frac{A}{\sqrt{3}}$ pour un signal triangle. #### 2. Determinons la relation existant entre la valeur efficace et la valeur moyenne du signal redressé pour les trois signaux de base #### Signal Sinusoïdal On a $e(t) = Acos(\omega t)$ d'où : $$\begin{align} S_{abs} &= \frac{1}{T}\int_0^T |Acos(\omega t)|\;dt\\ &= \frac{|A|}{T}\int_0^T |cos(\omega t)| \;dt\\ \end{align}$$ On effectue le changement de variable u =$\omega$t , on a donc $dt = \frac{T}{2\pi} du$, d'où : $$\begin{align} S_{abs} &= \frac{|A|}{2\pi}\int_0^{2\pi} |cos(u)| \;du\\ &= \frac{|A|}{2\pi}\left[|sin(u)|\right]_0^{2\pi} \\&= \frac{2A}{\pi} \end{align} $$ Or, $S_{eff} = \frac{A}{\sqrt{2}}$ Finalement : $$S_{eff} = \frac{\pi S_{abs}}{2\sqrt{2}}$$ #### Signal Creneaux Par le même raisonnement, on a : $$\begin{align} S_{abs} &= \frac{1}{T}\int_0^T A \;dt\\ &= A \\ &= S_{eff} \end{align}$$ Ainsi, pour un signal crénaux, on a $S_{abs} = S_{eff}$ #### Signal triangle Sachant que l'integrale représente l'aire sous la courbe, on trouve par des considérations géométriques, la même relation que pour la sinusoïde, soit $S_{abs} = \frac{S_{eff}}{\sqrt{2}}$ Ainsi, on a $S_{eff} = \frac{2S_{abs}}{\sqrt{3}}$ * En mettant les valeurs obtenues dans un tableau pour une amplitude crete a crete (Acc) = 2V, on obtient : <center> <img src="https://i.imgur.com/UvX1vLj.png"> </center> ### C. Mise pratique 2. Ce montage est en série. Cette question n'a pas de sens, car il n'y a que deux dipoles(GBF + résistor) donc le montage en dérivation n'est pas possible. 3.La voie 2 de l'oscilloscope peut servir à mesurer une autre tension, celle du GBF par exemple. ### Acquisition numérique <center> <img src="https://i.imgur.com/ogOc9vL.png"> </center> ### Analyse en fréquence <center> <img src="https://i.imgur.com/2WXC9SH.png"> </center> <center> <img src="https://i.imgur.com/tQ7YVHc.png"> </center> * Les mesures relevées par les voltmètres sont invariantes en très basses fréquences. * On remarque que le seuil de fréquence est environ de 5000 Hz * L'appareil le plus pertinent dans une large place fréquentielle est l'oscilloscope #### Créneau : <center> <img src="https://i.imgur.com/6mnSsS1.png"> </center> <center> <img src="https://i.imgur.com/dNvKf73.png"> </center> L'appareil le plus précis reste l'oscilloscope #### Triangle : <center> <img src="https://i.imgur.com/a1Je7q3.png"> </center> <center> <img src="https://i.imgur.com/71SZnnI.png"> </center> L'appareil le plus précis est l'oscilloscope ### En conclusion ? Finalement l'appareil "le moins adapté" n'est pas vraiment inadapté, au contraire il reste un appareil de mesure plutôt précis ### D) Simulations Python Réalisées sur Capytale