# 2025 臺大電資二階物理試題
> 由 [name=南山高中：曾致銘、林思翰、薛宇翃、林崴民、趙文睿] 彙整與研擬解答

本卷共 4 個題組，每個題組 25 分。
每題都是計算題，若無計算過程則不予計分，可使用藍筆、黑色筆 (含鉛筆) 作答。

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一、(本題以粗體表示向量) 已知光在遇到介質交界面時會遵守司乃耳定律 (Snell's law)：$$n_1 \sin{\theta_1}=n_2 \sin{\theta_2}$$ 若將上式左右同乘 $\cfrac{h}{\lambda}$，則公式變為 $$\hbar k_1 \sin{\theta_1}=\hbar k_2 \sin{\theta_2}$$ 而由於光子動量$$p= \frac{h}{\lambda}=\hbar k$$因此司乃耳定律其實也代表著光子平行交界面方向的動量守恆。
如圖，有一平行之平面波以入射角 $\theta_1=\theta_c$ 臨界角入射兩介質交界面，且 $n_1>n_2$，令波前前進的方向為 $\boldsymbol{k}$，以座標軸表示方向回答問題：


1. 折射波之前進方向為？(以座標軸表示)
2. 折射波之兩個振盪方向為？(以座標軸表示)
3. 上一題的答案是否唯一？
4. 上一題的答案之理由是？

已知波函數可以表示為 $$g(z)=e^{ikz}=e^{i\theta}$$ 且由於 $$e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$$ 因此 $$\frac{d}{d\theta}g(\theta)=-\sin(\theta) +i\cos(\theta)=ig(\theta)$$ 試利用以上知識回答下列問題：
現有另一平行之平面波從 $n_1$ 介質垂直入射 $n_2$ 介質，並產生了對應的反射波與透射波。令入射波、反射波、透射波之波函數分別為 $e^{ik_1z}$、$re^{-ik_1z}$、$te^{ik_2z}$。為了求得 $r$ 和 $t$，我們引入兩個邊界條件：

(甲) 兩介質的波函數在 $\boldsymbol{z}=0$ 處連續
(乙) 兩介質的波函數的微分在 $\boldsymbol{z}=0$ 處連續

已知 $k=\cfrac{2\pi n}{\lambda}$，試回答以下問題：

5. 列出 (甲) 條件所對應的方程式。須以 $(r,t,k_1,k_2)$ 表示。
6. 列出 (乙) 條件所對應的方程式。須以 $(r,t,k_1,k_2)$ 表示。
7. 利用以上求得的二元一次方程式求出 $r$。須以 $(n_1,n_2)$ 表示。

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二、(本題以粗體表示向量) 有一粒子在空間中因熱擾動而受到 $\boldsymbol{F}=-k\boldsymbol{x}$ 的恢復力，因此產生了拘限位能 $U(x)$ 。(定義位能零點在 $x=0$ 處)
1. 請用++作功積分法++求出 $U(x)$。
2. 若該粒子為電子，帶電量為 $-\lvert e \rvert$，且空間中存在一個恆定電場 $\boldsymbol{E}$，指向 $x$ 軸正向。則電子受到的合力為何 (需標明大小及方向)？又新的拘限位能可表示為 $U(x)=\frac{1}{2}(x-x_0)^2 + \Delta U(E,k)$，求出 $x_0$。
3. 請問在 $x_0$ 處的拘限位能是變大、變小還是不變？
4. 求出 $\Delta U(E,k)$。

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三、考慮一個特殊的多原子分子系統，其中各組成原子間的距離皆相等。此系統的位能可表示為：
$$U(r)=\frac{A}{r^{18}}-\frac{B}{r^{6}}$$ 其中 $r$ 為原子間的距離。
1. 請畫出 $U(r)$ 對 $r$ 的關係圖。需要有以下特徵：
甲、當 $r \rightarrow \infty$ 時， $U(r) \rightarrow$？
乙、當 $r \rightarrow 0$ 時， $U(r) \rightarrow$？
丙、當 $r$ 等於多少時， $U(r) = 0$？
丁、當 $r$ 等於多少時， $U(r)$ 出現極值，該極值為多少？是極大值還是極小值？
戊、當 $r$ 等於多少時， $U(r)$ 出現反曲點？
2. 是否能通過此位能函數預測穩定的分子狀態？若可以，分子穩定時的 $r$ 為多少？
3. 若要使其中一個原子脫離至無窮遠處，則至少須提供其多少的能量？
4. 承上題，若 $A$ 增加為原本的 $100$ 倍，在其餘條件不變的情況下，該能量會增加或是減少為原來的幾倍？

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四、如圖，左方的導線通有固定電流 $I$，而右方有一個長為 $L$ 寬為 $a$ 的矩形金屬線圈在距離導線 $R_0$ 處以等速率 $v$ 向導線靠近。(已知真空磁導率為 $\mu_0$)


1. 距離導線 $r$ 處的磁場大小及方向為何？
2. 金屬線圈中的感應電流方向為何？
3. 金屬線圈中的感應電動勢為多少？

## 參考解答 (可能有誤，歡迎指正並理性討論)

一、
1. $x$ 軸

2. $y$、$z$ 軸

3. 不唯一

4. 光偏振為隨機方向

5. $1+r=t$

6. $k_1(1-r)=k_2t$

7. $\cfrac{n_1-n_2}{n_1+n_2}$

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二、
1. 保守力作功 $= -\Delta U = U(0)-U(x)=\int_{0}^{x}\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol x=\int_{0}^{x}\boldsymbol -k\boldsymbol x\cdot d\boldsymbol x=-\frac{1}{2}kx^2$
$\Rightarrow U(x)=\frac{1}{2}kx^2$
2. 合力 $\boldsymbol F=-k\boldsymbol x - \lvert e \rvert \boldsymbol E$ (方向：當 $x < \frac{ -\lvert e \rvert \boldsymbol E }{k}，\boldsymbol F$ 指向 $+x$ ；當 $x > \frac{- \lvert e\rvert \boldsymbol E}{k}，\boldsymbol F$ 指向 $-x$ )
3. 變小
4. $- \cfrac{e^2E^2}{2k}$

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三、

1. 如下圖所示 (在 $r \rightarrow \infty$ 時，$U(r) \rightarrow 0$；在 $r \rightarrow 0$ 時，$U(r) \rightarrow \infty$):


2. 可以預測，當 $U(r)$ 為極小值時系統會穩定平衡，也就是當 $r=\left( \cfrac{3A}{B} \right) ^ {1/12}$。

3. $\left( \cfrac{4B^3}{27A} \right) ^ {1/2}$(題意稍有不清，此處的答案為拆散全部粒子至無窮遠處所需的能量)

4. 減少為 $\cfrac{1}{10}$ 倍

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四﹑
1. $\vec{B}=\cfrac{\mu_0I}{2\pi r} \left(\hat{I} \times \hat{r} \right)$ or 大小 $\cfrac{\mu_0I}{2\pi r}$、方向如下圖。


2. 逆時針

3. $\cfrac{\mu_0ILav}{2\pi R_0(R_0+a)}$

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