# 2025 台大電機資工二階數學試題
> 由 [name=南山高中：曾致銘、林思翰、薛宇翃、林崴民、趙文睿] 彙整與研擬解答

本卷共 16 題，前 12 題每題 6 分，後 4 題每題 7 分，共 100 分。試題順序可能與原卷不同，但對應的配分是正確的。
每題都是填充題，不看計算過程，可使用藍筆、黑筆或鉛筆作答。

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1. 若對於所有 $f(x)$ 定義域中的 $a$ 與任意 $\varepsilon>0$，都有 $\delta>0$ 使得在 $(a, a+\delta)$ 開區間的所有 $x$ 都滿足 $f(x)<f(a)+\varepsilon$，則稱 $x \mapsto f(x)$ 為右上連續、$x \mapsto -f(x)$ 為右下連續、$x \mapsto f(-x)$ 為左上連續、$x \mapsto -f(-x)$ 為左下連續。
設 $f(x)$ 為小於 $x$ 的最大整數，其中 $x$ 是實數，試問 $f(x)$ 在 $x=1$ 處滿足下列哪些敘述？(全對才給分)
(A) 左上連續 (B) 左下連續 \(C) 左連續 (D) 右上連續 (E) 右下連續 (F) 右連續 (G) 連續 (H) 有左極限 (I) 有右極限 (J) 有極限 (K) 可微分 (L) 有定義

2. 黑板上寫有數字 $0,1,2,3,4,5,6$，Hank 不斷做以下操作直至黑板上沒有正數：若最大數為 $n$ 且有 $k$ 個 $n-1$，則擦掉一個 $n$ 並補上 $k$ 個 $n-1$。若最後黑板上有 $M$ 個數，求 $\log(\log(\log{M}))$ 的整數部分。

3. 函數 $f(x)=c\cos(ax^\circ)-c\cos(bx^\circ)$ 的部分圖形如下，且 $a、b、c$ 皆為正整數：
試求 $10000a+100b+c=$？

4. 定義立方數為可以表示成 $\Sigma_{k=1}^nk^3=1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3$ 的數；偶立方數為同時是偶數的立方數，如最小的偶立方數即為 $36=1^3+2^3+3^3$，第二小的偶立方數為$100=1^3+2^3+3^3+4^3$。試問 $90000$ 是第幾小的偶立方數？

5. 下圖為一棵樹，其節點上的數字為該節點權重，今選取某些節點，在這些節點彼此間都沒有相鄰的條件下 (相鄰代表兩節點間有一條邊直接連接)，求這些節點權重總和的最大值。
(註：樹的結構與數字排列可能與原題不同，但答案正確)

6. 先來複習函數的基本知識：
**(1) 映成函數**：一個函數 $f:X \rightarrow Y$，若對於 $Y$ 中的所有元素 $y$ 都可以在 $X$ 中找到元素 $x$ 滿足 $f(x)=y$，則稱該函數為映成函數。
**(2) 一對一函數**：一個函數 $f:X \rightarrow Y$，若對於 $X$ 中任意兩個不相等的元素 $a、b$ 都可以滿足 $f(a) \not =f(b)$，則稱該函數為一對一函數。
**(3) 相同函數**：對於兩函數 $f(x)$ 和 $g(x)$，若兩函數之定義域相同，且對於定義域中的任意元素 $a$ 都滿足 $f(a) =g(a)$，則稱 $f(x)$ 和 $g(x)$ 為相同函數。
今令 $C$ 為定義域 $\{0,1\}$、對應域 $\{2,3\}$ 的所有函數所成之集合；$D$ 為定義域 $\{4,5,6\}$、對應域 $\{7,8,9\}$ 的所有映成函數所成之集合。試求定義域為 $C$、對應域為 $D$ 的所有相異的一對一函數有幾種？

7. 設 $f(x)=\cfrac{2^x}{2^x+\sqrt{2}}$，試求 $\sum_{n=1}^{2024}{f(\frac{n}{2025})=}$？

8. 試求使此聯立方程組有解的實數 $k$ 之值：
$$
\begin{cases}
x+2y=k \\
3x+4y=7 \\
-x-y=-3
\end{cases}
$$

9. 台灣大學電資學院的大廳有 $100$ 個格子，編號 $1$ 至 $100$，格子有黑白兩面，初始時所有格子白色面朝上。現有機器人 $R_1$ 會將所有格子翻面、$R_2$ 會將所有編號為 $2$ 的倍數的格子翻面、$R_3$ 會將所有編號為 $3$ 的倍數的格子翻面、$R_4$ 會將所有編號為 $4$ 的倍數的格子翻面，以此類推共有 $100$ 個機器人。試問待全部機器人 $R_1$ ~ $R_{100}$ 輪流操作過後，共有幾個格子是白色面朝上的？

10. Matthew 舉辦同學會，總共有 $50$ 人受邀參加。為了炒熱氣氛，Matthew 決定玩一個小遊戲：為了競爭桌上的超級大蛋糕，每個人抽取 $1$ ~ $50$ 的號碼牌作為自己的編號，取後不放回，並嘗試將一張正方形的紙剪出自己編號數量的許多正方形，裁剪出的正方形可大小不一，成功者可吃到蛋糕。試求共有幾人有機會吃到蛋糕？

11. 已知 $a=\log_25$、$b=\log_32$，請寫出以 $a$、$b$ 組成的分數表示 $\log_620$ 時的分子部分 (已知分母部分為 $b+1$)。

12. 有一班級共 $50$ 人，經歷一次小考，分成 $A、B$ 兩組，分別為 $30$ 人、$20$ 人。已知 $A$ 組的成績平均為 $72$，標準差為 $8$；$B$ 組的成績平均為 $67$，標準差 $7$。試求全班 $50$ 人的成績標準差。

13. 設數列 $\langle z_n\rangle$ 滿足遞迴關係式 $z_n=2z_{n-1}-\omega_n$，其中 $\omega_n$ 為 $0$、$1$、$i$、$i+1$ 四數中離 $z_{n-1}$ 距離最近的一個。已知 $z_0=\frac{1}{5}+\frac{1}{7}i$，試求 $700\,z_{2025}$。(若過程中遇到 $z_{n-1}$ 到兩點的距離相等而無法決定，則回答 *TIE ILL-DEFINED* )

14. 以下是 ABCD 四人的談話，已知老闆僅有一人而且最多只有一個人說謊，請寫出所有可能是老闆的人。(需列出所有可能人選，若沒有人符合條件則回答 *NONE*，全對才給分)
A：「我不是老闆」
B：「A 是老闆」
C：「D 是老闆」
D：「B 在說謊」

15. 如下圖所示，左邊的兩條上升平行線斜率為 $m_1$、$y$ 截距差為 $i_1$；右邊兩條下降平行線斜率為 $-m_2$、$y$ 截距差為 $i_2$；虛線的斜率為 $-m_0$，且 $m_0$, $m_1$, $m_2$, $i_1$, $i_2>0$。試以 $m_0$、$m_1$、$m_2$ 表示 $i_2/i_1$。

16. 台灣大學電資學院建造了一個 NTUEECSAI 社區，並透過最新的科技達成了去中心化的管理模式，確保了社區的安全性。具體方法如下：社區大門一共有 $120$ 道鎖，每道鎖都不相同，而要將全部的鎖都解開才能開啟大門。今天社區將每把鑰匙都複印成了 $p$ 把並分給其中 $p$ 位居民，且使每個人最後皆拿到 $q$ 把鑰匙，而任兩位居民必無法打開大門，但任三位居民必可以打開大門。今在不知道 $p$、$q$ 的情況下，試問該社區最多能居住幾人？

## 參考解答 (大概是對的畢竟有數學選手檢查過$\,$:zap::zap::zap::zap:)
1. (A), (B), \(C), (E), (H), (I), (L)
2. $4$
3. $121315$
4. $12$
5. $76$
6. $360$
7. $1012$
8. $1$
9. $90$
10. $47$
11. $ab+2b$
12. $280+100i$
13. $8$
14. $\text{D}$
15. $\cfrac{m_2-m_0}{m_1+m_0}$
16. $16$
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詳解仍在製作中，後續會放上連結，敬請期待！！！