2025 台大電機資工二階數學試題

由 南山高中：曾致銘、林思翰、薛宇翃、林崴民、趙文睿 彙整與研擬解答

本卷共 16 題，前 12 題每題 6 分，後 4 題每題 7 分，共 100 分。試題順序可能與原卷不同，但對應的配分是正確的。
每題都是填充題，不看計算過程，可使用藍筆、黑筆或鉛筆作答。

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1. 若對於所有

   $f(x)$ 定義域中的
   $a$ 與任意
   $\epsilon >0$，都有
   $\delta >0$ 使得在
   $(a,a+\delta )$ 開區間的所有
   $x$ 都滿足
   $f(x)<f(a)+\epsilon$，則稱
   $x\mapsto f(x)$ 為右上連續、
   $x\mapsto -f(x)$ 為右下連續、
   $x\mapsto f(-x)$ 為左上連續、
   $x\mapsto -f(-x)$ 為左下連續。
   設
   $f(x)$ 為小於
   $x$ 的最大整數，其中
   $x$ 是實數，試問
   $f(x)$ 在
   $x=1$ 處滿足下列哪些敘述？(全對才給分)
   (A) 左上連續 (B) 左下連續 (C) 左連續 (D) 右上連續 (E) 右下連續 (F) 右連續 (G) 連續 (H) 有左極限 (I) 有右極限 (J) 有極限 (K) 可微分 (L) 有定義

2. 黑板上寫有數字

   $0,1,2,3,4,5,6$，Hank 不斷做以下操作直至黑板上沒有正數：若最大數為
   $n$ 且有
   $k$ 個
   $n-1$，則擦掉一個
   $n$ 並補上
   $k$ 個
   $n-1$。若最後黑板上有
   $M$ 個數，求
   $\log (\log (\log M))$ 的整數部分。

3. 函數

   $f(x)=c\cos (a{x}^{\circ })-c\cos (b{x}^{\circ })$ 的部分圖形如下，且
   $a、b、c$ 皆為正整數：
   
   
   試求
   $10000a+100b+c=$？

4. 定義立方數為可以表示成

   ${\mathrm{\Sigma }}_{k=1}^n{k}^3=1^3+2^3+3^3+\dots +n^3$ 的數；偶立方數為同時是偶數的立方數，如最小的偶立方數即為
   $36=1^3+2^3+3^3$，第二小的偶立方數為
   $100=1^3+2^3+3^3+4^3$。試問
   $90000$ 是第幾小的偶立方數？

5. 下圖為一棵樹，其節點上的數字為該節點權重，今選取某些節點，在這些節點彼此間都沒有相鄰的條件下 (相鄰代表兩節點間有一條邊直接連接)，求這些節點權重總和的最大值。
   

   
   (註：樹的結構與數字排列可能與原題不同，但答案正確)

6. 先來複習函數的基本知識：
   (1) 映成函數：一個函數

   $f:X\to Y$，若對於
   $Y$ 中的所有元素
   $y$ 都可以在
   $X$ 中找到元素
   $x$ 滿足
   $f(x)=y$，則稱該函數為映成函數。
   (2) 一對一函數：一個函數
   $f:X\to Y$，若對於
   $X$ 中任意兩個不相等的元素
   $a、b$ 都可以滿足
   $f(a)\ne f(b)$，則稱該函數為一對一函數。
   (3) 相同函數：對於兩函數
   $f(x)$ 和
   $g(x)$，若兩函數之定義域相同，且對於定義域中的任意元素
   $a$ 都滿足
   $f(a)=g(a)$，則稱
   $f(x)$ 和
   $g(x)$ 為相同函數。
   今令
   $C$ 為定義域
   $\{0,1\}$、對應域
   $\{2,3\}$ 的所有函數所成之集合；
   $D$ 為定義域
   $\{4,5,6\}$、對應域
   $\{7,8,9\}$ 的所有映成函數所成之集合。試求定義域為
   $C$、對應域為
   $D$ 的所有相異的一對一函數有幾種？

7. 設

   $f(x)=\frac{2^x}{2^x+\sqrt{2}}$，試求
   $\sum _{n=1}^{2024}f(\frac{n}{2025})=$？

8. 試求使此聯立方程組有解的實數

   $k$ 之值：
   
   $$\{\begin{array}{l}x+2y=k\\ 3x+4y=7\\ -x-y=-3\end{array}$$

9. 台灣大學電資學院的大廳有

   $100$ 個格子，編號
   $1$ 至
   $100$，格子有黑白兩面，初始時所有格子白色面朝上。現有機器人
   $R_1$ 會將所有格子翻面、
   $R_2$ 會將所有編號為
   $2$ 的倍數的格子翻面、
   $R_3$ 會將所有編號為
   $3$ 的倍數的格子翻面、
   $R_4$ 會將所有編號為
   $4$ 的倍數的格子翻面，以此類推共有
   $100$ 個機器人。試問待全部機器人
   $R_1$ ~
   $R_{100}$ 輪流操作過後，共有幾個格子是白色面朝上的？

10. Matthew 舉辦同學會，總共有

    $50$ 人受邀參加。為了炒熱氣氛，Matthew 決定玩一個小遊戲：為了競爭桌上的超級大蛋糕，每個人抽取
    $1$ ~
    $50$ 的號碼牌作為自己的編號，取後不放回，並嘗試將一張正方形的紙剪出自己編號數量的許多正方形，裁剪出的正方形可大小不一，成功者可吃到蛋糕。試求共有幾人有機會吃到蛋糕？

11. 已知

    $a={\log }_{2}5$、
    $b={\log }_{3}2$，請寫出以
    $a$、
    $b$ 組成的分數表示
    ${\log }_{6}20$ 時的分子部分 (已知分母部分為
    $b+1$)。

12. 有一班級共

    $50$ 人，經歷一次小考，分成
    $A、B$ 兩組，分別為
    $30$ 人、
    $20$ 人。已知
    $A$ 組的成績平均為
    $72$，標準差為
    $8$；
    $B$ 組的成績平均為
    $67$，標準差
    $7$。試求全班
    $50$ 人的成績標準差。

13. 設數列

    $⟨z_n⟩$ 滿足遞迴關係式
    $z_n=2z_{n-1}-{\omega }_n$，其中
    ${\omega }_n$ 為
    $0$、
    $1$、
    $i$、
    $i+1$ 四數中離
    $z_{n-1}$ 距離最近的一個。已知
    $z_0=\frac{1}{5}+\frac{1}{7}i$，試求
    $700z_{2025}$。(若過程中遇到
    $z_{n-1}$ 到兩點的距離相等而無法決定，則回答 TIE ILL-DEFINED )

14. 以下是 ABCD 四人的談話，已知老闆僅有一人而且最多只有一個人說謊，請寫出所有可能是老闆的人。(需列出所有可能人選，若沒有人符合條件則回答 NONE，全對才給分)
    A：「我不是老闆」
    B：「A 是老闆」
    C：「D 是老闆」
    D：「B 在說謊」

15. 如下圖所示，左邊的兩條上升平行線斜率為

    $m_1$、
    $y$ 截距差為
    $i_1$；右邊兩條下降平行線斜率為
    $-m_2$、
    $y$ 截距差為
    $i_2$；虛線的斜率為
    $-m_0$，且
    $m_0$,
    $m_1$,
    $m_2$,
    $i_1$,
    $i_2>0$。試以
    $m_0$、
    $m_1$、
    $m_2$ 表示
    $i_2/i_1$。
    

16. 台灣大學電資學院建造了一個 NTUEECSAI 社區，並透過最新的科技達成了去中心化的管理模式，確保了社區的安全性。具體方法如下：社區大門一共有

    $120$ 道鎖，每道鎖都不相同，而要將全部的鎖都解開才能開啟大門。今天社區將每把鑰匙都複印成了
    $p$ 把並分給其中
    $p$ 位居民，且使每個人最後皆拿到
    $q$ 把鑰匙，而任兩位居民必無法打開大門，但任三位居民必可以打開大門。今在不知道
    $p$、
    $q$ 的情況下，試問該社區最多能居住幾人？

參考解答 (大概是對的畢竟有數學選手檢查過

$$)

1. (A), (B), (C), (E), (H), (I), (L)
2. $4$
3. $121315$
4. $12$
5. $76$
6. $360$
7. $1012$
8. $1$
9. $90$
10. $47$
11. $ab+2b$
12. $280+100i$
13. $8$
14. $\text{D}$
15. $\frac{m_2-m_0}{m_1+m_0}$
16. $16$

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詳解仍在製作中，後續會放上連結，敬請期待！！！