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# System prepended metadata

title: Week5

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# Week5

想知道一組為MA( q )的時間序列資料中q有多少，
由先前幾週的課程可知道，
利用畫出ACF的圖形便可輕易得知，
但若是AR( p )呢？
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由於自迴歸在時間為t時的位置Xt，
是由前面p步Xt-1到Xt-p所組成，
而前面這幾步又是由他們各自的前p步所生成，
因此AR很難像MA的特性，
時間點t的位置與p步更之前的位置毫無相關性，
也就是對Xt與Xt-(p+k)取ACF期望值會為0。
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舉例來說，如下圖的前兩張：
![](https://i.imgur.com/ZHwCPY8.png)
一個穩定(stationary)的AR(2)，
雖然看ACF的圖可以看出它有穩定的在下降，
但卻無法看出它是個AR(2)的模型。
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那麼要怎樣才能看出AR( p )模型的p有多少呢？
這裡就介紹一個叫PACF的方法可以解決這個問題。
先不講理論，單看上面的第三張圖片，
就可以很輕易地看出這是個AR(2)模型。
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另外一個例子是，
有一包資料在前兩步的係數為負值，
導致單看ACF會掉很快，
可能會誤判為AR(1)，
但真的去看PACF時就可以發現它是個AR(2)模型，
如下圖：
![](https://i.imgur.com/ZN59SAL.png)
真正fit出來的模型參數為：
![](https://i.imgur.com/zorDuYr.png)
確實是個AR(2)模型。
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至於甚麼是PACF呢？
就是把所有的邊際效應都給定成常數之後，
再去觀看這兩者之間的相關係數。
有種弭平其他外部影響的味道。
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首先先用一包體脂有關的資料來說明甚麼是邊際相關係數，
這包資料有四個觀測值，
分別為：體脂、三頭肌大小、大腿圍及中段手臂圍。
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若單看彼此間的相關係數，
可以發現彼此間的相關係數都非常高，
如下圖及下表：
![](https://i.imgur.com/idW16Pq.png)
![](https://i.imgur.com/EtCQrFV.png)
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由資料可以發現，
大腿粗細與三頭肌大小有著非常非常高的相關性，
若想單純看體脂與三頭肌大小間的相關係數時，
則必須把大腿粗細對彼此間帶來的影響給弭平後再來量測，
在這個情況下，
要如何弭平大腿粗細對各自帶來的效應，
就是對各自與大腿粗細去建一個迴歸模型，
估計大腿粗細對各自帶來的效果後，
將真實值與估計值相減後得到殘差，
才是各自(各樣本)自身在此觀察值的差異，
再用這兩者的殘差去計算相關係數，
得到的才是不受其他因素影響的邊際相關係數。
如下面的結果：
![](https://i.imgur.com/lDgVaih.png)
它們彼此間的邊際相關係數僅有0.1749822

若再將中段手臂圍也納入計算後，
得到的邊際相關係數就又更高。
如下列結果：
![](https://i.imgur.com/VWurBM6.png)
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回到時間序列AR模型的問題上，
計算兩個彼此間差k步的PACF時，
就是給定中間幾步的值後，
再去計算兩者間的相關係數，
式子如下：
![](https://i.imgur.com/7iSTLim.png)

若是用backward的觀點，
可以將AR模型表示成這樣：
![](https://i.imgur.com/PxrSEa7.png)
用圖形來解釋即為：
![](https://i.imgur.com/Wh2jbFC.png)

若是用forward的觀點，
可以將AR模型表示成這樣：
![](https://i.imgur.com/btr5QGL.png)
用圖形來解釋即為：
![](https://i.imgur.com/ZLt38eZ.png)

AR模型的PACF算法即為：
![](https://i.imgur.com/2Ol5A8v.png)
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下一個部分將結合Yule-Walker方程式，
介紹如何推導出AR模型，
利用ACF求出各參數及隨機項的變異數的矩陣解。
