# 時間序列week3

## Stationarity - Intuition and Definition
### Stochastic process
隨機過程是把很多的隨機變數聚集並加上時間維度，隨機過程是隨機變數的集合(家族)，一般通常可分為離散、連續時間的隨機過程。
註：隨機變數既不隨機也不是變數，它的本質是一個函數。

#### 離散時間隨機過程
一個離散時間隨機過程是隨機變數{Xt}的集合，其中n的範圍落在給定的整數集合隨機過程的實現中(t為離散的時間指標)。

#### 連續時間隨機過程
一個連續時間隨機過程是隨機變數{X(t)}的集合，其中t的範圍落在給定的區間之中(t為連續的時間指標)。

---
由SRS得到的資料其實並不具有時序軌跡(左圖)，但若是以random walk的概念創造下一步的資料(考量上一步、加入隨機數)能夠產出多組不一樣的時間序列資料。

每一個時點的平均值、變異數會有差異

但SRS的就會都相同

### Strict Stationary
1. 隨機過程 Xt 若下列條件成立：
給定任意 n 個時間集合 {t1,...,tn} 與時間平移量 Δt ，其對應的 Xt1+Δt,...,Xtn+Δt 之聯合機率分布(joint probabilities)與其時間平移量Δt無關。亦即
> 對任意 n 維集合 B，
> P((Xt1+Δt,...,Xtn+Δt)∈B)
> 與 Δt 無關。
2. 或是一隨機過程Xt，若其對任意正有限整數n，都為n-th order strict stationary，稱此隨機過程為 strict stationary。

註：stationary概念上表示對抗時間平移的能力。

### Weak Stationarity
隨機過程 Xt 若下列條件成立：
1. 其 mean function, E[Xt] 與時間 t 無關 (i.e., E[Xt] 為 constant)
2. 其 auto-correlation function, E[(Xt1)(Xt2)] 只與 t1−t2 有關。亦即E[(Xt1)(Xt2)]=RX(t1−t2)中 RX(⋅)表Xt的autocorrelation function
註：Weak Stationarity 只對E[Xt]與E[(Xt1)(Xt2)]有要求(不需要要求對任意函數"g(x)")


## Stationarity: Properties and Examples
### White Noise
* **Stationarity**

### Random Walks
* **Not Stationarity**

### Moving Average Processes, 𝑀𝐴(𝑞)
* **Stationarity**
the lag spacing k, the support of MA process q

## Series and series representation

## 單元重點：
- infinite series
- convergence
- geometric series

## Sequence and series：

* 

- 收斂條件：

------
## Partial sums:

- 收斂條件：

- 絕對收斂：

------
## Geometric series
- Geometric sequence

- Geometric series

- 若 a = 1, r = x

------
## Backward shift operator
### 單元重點：
- Backward shift operator 定義
- 運用 backward shift operator 於 MA(q) 及 AR(p)

## Definition

------
## MA(q) process (with a drift)

------
## AR( p) process

## Intrtroduction to Invertibility
### 單元重點：
- 了解 invertibility of a stochastic process 的定義

## ACF are same
1. Model 1

- Theoretical Auto Covariance Function of Model 1

- Auto Covariance Function and ACF of Model1

## ACF

## Model 2

## Inverting using Backward shift operator

## Invertibility - Definition

# Invertibility condition for MA(q)

# Stationarity condition for AR(p)

# Invertibility and stationarity conditions

# Mean-square convergence
* we say Xn converge to a random variable X in the mean-square sense