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# 1.
## 題目
求$\sqrt[256]{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{256}+1)+1}$
## 詳解
$\sqrt[256]{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{256}+1)+1}=\sqrt[256]{(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{256}+1)+1}$
$=\sqrt[256]{2^{512}-1+1}=4$

# 2.
## 題目
$x為自然數，滿足\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times\frac{5}{6}\times\dots\times\frac{99}{100}<\frac{1}{x}，求下列何者可為此不等式的解？$
(A)5(B)8\(C)10(D)12(E)15
## 詳解
$\frac{1}{x^2}>\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}\times\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\dots\times\frac{99}{100}\times\frac{99}{100}$
$>\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\times\dots\times\frac{98}{99}\times\frac{99}{100}=\frac{1}{200}$
$\therefore x\le14，答：$(A)(B)\(C)(D)

# 3.
## 題目
圖中皆是正方形，求$\angle1+\angle2+\angle3=?$
## 詳解
$sin\angle2=\frac{1}{\sqrt{5}},sin\angle3=\frac{1}{\sqrt{10}}$
$sin(\angle2+\angle3)=\frac{3+2}{5\sqrt{2}} \therefore\angle2+\angle3=45^\circ$
$得\angle1+\angle2+\angle3=90^\circ$

# 4.
## 題目
$Mr.Magic將寫有數字1至100的100張牌放入紅、藍、綠三個箱子，且無空箱，$
一觀眾從任兩箱內各取一張牌，並將兩張牌的數字和告訴$Mr.Magic$，求共有幾種放牌方式，能使$Mr.Magic$在任何情況下，都可以正確的推測哪個箱子沒被挑中？
## 詳解
方法一：三個箱子分別放入號碼為$3k+1,3k+2,3k$的牌
方法二：$1放一個箱子，100放一個箱子，2-99放最$後一個箱子
總放牌方法數$=2\times3!=12$

# 5.
## 題目
$F_0=1,F_1=1,且對於所有n\ge0的整數，皆滿足F_{n+2}=F_{n+1}+F_n，$
令$A_n=\frac{F_n}{F_{n+1}}，求\lim\limits_{x\to\infty}A_n$
## 詳解
$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\implies\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}=1+\frac{F_n}{F_{n+1}}，\frac{1}{A_{n+1}}=1+A_n$
令$\lim\limits_{x\to\infty}A_n=L，得\frac{1}{L}=1+L，解得L=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}(取正)$

# 6.
## 題目
求無窮級數$\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\dots$
## 詳解
原式$=\sum^\infty_{k=1}\frac{2}{k(k+1)}=2(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots)=2$

# 7.
## 題目
一正方形經過分割，若可分成N個大小不拘且不重疊的正方形，則稱N為「NICE數」，請問1到1857中，有幾個數是NICE數？
## 詳解
對於任意一個正方形，都可以將其切成四個小正方形$\implies若N是NICE，則N+3是NICE$
N=1顯然是NICE，所以$N=4,7,10,...$皆是NICE
N=2,3,5不是NICE
N=6是NICE，所以$N=9,12,15,...$皆是NICE
N=8是NICE，所以$N=11,14,17$皆是NICE
綜合以上，可知除了2,3,5以外的正整數N都是NICE
$\therefore共1854個$

# 8.
## 題目
定義「一次操作」為從下列10個數挑9個數「加1」，請問最少要經過幾次操作才能使下列10個數字都一樣？
$1,3,100,402,488,572,620,700,777,1000$
## 詳解
9個數加1等效於1個數減1，故所需次數
$=(1-1)+(3-1)+(100-1)+(402-1)+(488-1)+(572-1)$$+(620-1)+(700-1)+(777-1)+(1000-1)=4653$

# 9.
## 題目
村莊中有一個黃金寶箱，其上共有28道鎖，每道鎖各自對應一把正確的鑰匙，若能將28道鎖都解開，就能打開寶箱，現在將這些鑰匙複製數份（每種鑰匙複製份數相同），平均分給村民（每個人分到數量相同），使得任兩人必無法開啟寶箱，任三人必能開啟寶箱，請問有幾位村民？
## 詳解
假設村民$n$人
任兩人必無法開啟寶箱，設每支鑰匙有$n-2$把
即每村民會缺2種鑰匙，且每人缺的組合都不可相同（否則三人也無法打開）
故$C^n_2\le28，n\le8，又n=1,2必不合，故3\le n\le8$

# 10.
## 題目
定義$f(n)為小於等於n的所有正整數中，1出現的次數，如f(13)=6，因1在1,10,11,12,13共出現六次$$求f(37887)$
## 詳解
個位數出現3789次，十位出現3780+10次，百位出現3700+100次，千位出現3000+1000次，萬位出現10000次，共25379次

# 11.
## 題目
擲金幣出現正面反面的機率各為$\frac{1}{2}$，擲銀幣出現正面的機率為$\frac{1}{3}$，反面機率$\frac{2}{3}$，求
(1)平均擲幾次金幣會出現連續兩次正面？
(2)平均擲幾次銀幣會出現連續三次正面？
(3)平均擲幾次銀幣會出現連續四次反面？
## 詳解
設$E(n)表示投出連續n次正/反面（其機率為p)所需次數的期望值$
$可得遞回式：E(n+1)=p(E(n)+1)[連中n次之後又中，總共投擲E(n)+1次]+(1-p)(E(n)+1+E(n+1))[連中n次後失敗，從頭來過]$
$結合E(1)=\frac{1}{p}，可求得E(n)=\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\dots+\frac{1}{p^n}=\frac{p^n-1}{p^n(p-1)}$
$分別帶入可得(1)=6,(2)=39,(3)=\frac{195}{16}$

# 12.
## 題目
(1)三維空間中，與$(1,1,8),(1,1,2)兩向量垂直且長度為2的所有向量為何？$
(2)四維空間中，與$(1,8,1,2),(1,9,1,4),(2,0,1,8)三向量垂直且長度為3的所有向量為何？$
## 詳解
$(1)(x,y,z)\parallel(1,1,8)\times(1,1,2)=(-6,6,0)，得(x,y,z)=\pm(\sqrt{2},-\sqrt{2},0)$\
$(2)(x,y,z,w)和三向量垂直：x+8y+z+2w=0,x+9y+z+4w=0,2x+z+8w=0$$可得(x,y,z,w)參數式(22t,2t,-36t,-t)，(x,y,z,w)=\pm\frac{3}{\sqrt{1785}}(22,2,-36,-1)$

# 13.
## 題目
(1)求$\frac{cos\frac{\pi}{8}+cos\frac{5\pi}{8}}{sin\frac{\pi}{8}+sin\frac{5\pi}{8}}$
(2)求$cos^8\frac{\pi}{8}+cos^8\frac{3\pi}{8}+cos^8\frac{5\pi}{8}+cos^8\frac{7\pi}{8}$
## 詳解
(1)由和差化積$=\frac{cos\frac{3\pi}{8}cos\frac{2\pi}{8}}{sin\frac{3\pi}{8}cos\frac{2\pi}{8}}=\frac{1}{tan\frac{3\pi}{8}}，由萬能公式可得其=\frac{1}{1+\sqrt2}=\sqrt2-1$
(2)由$sin^2\frac{\pi}{8}+cos^2\frac{\pi}{8}=1\implies sin^4\frac{\pi}{8}+cos^4\frac{\pi}{8}=1-2sin^2\frac{\pi}{8}cos^2\frac{\pi}{8}=\frac{3}{4}$
$sin^8\frac{\pi}{8}+cos^8\frac{\pi}{8}=\frac{9}{16}-2sin^4\frac{\pi}{8}cos^4\frac{\pi}{8}=\frac{17}{32}$
$cos^8\frac{\pi}{8}+cos^8\frac{3\pi}{8}+cos^8\frac{5\pi}{8}+cos^8\frac{7\pi}{8}=2(sin^8\frac{\pi}{8}+cos^8\frac{\pi}{8})=\frac{17}{16}$

# 14.
## 題目
證明$\sum^n_{k=1}\frac{1}{k^2}<2+\frac{1}{n}對所有正整數n皆成立$
## 詳解
$\sum^n_{k=1}\frac{1}{k^2}<1+\sum^n_{k=2}\frac{1}{k(k-1)}=2-\frac{1}{n}<2+\frac{1}{n}$

# 15.
## 題目
一邊長為1的正五邊形，設其不相鄰兩點之距離為r，證明r為無理數
## 詳解
取三個相鄰點，可連接成邊長為$1,1,r，最大角為108^\circ的三角形$
$求cos36^\circ：$
$sin72^\circ=sin108^\circ$
$2sin36^\circ cos36^\circ=3sin36^\circ-4sin^336^\circ$
$2cos36^\circ=3-4sin^236^\circ=-1+4cos^236^\circ$
$得cos36^\circ=\frac{1+\sqrt5}{4}$
$由三倍角公式知cos108^\circ=\frac{1-\sqrt5}{4}$
$由餘弦定理知r=\frac{1+\sqrt{5}}{2}，接下來證r為無理數，即為證根號為無理數，自己上網查$