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# 1.
## 題目
已知$f(x)$為二次多項式，$f(0)=a,f'(0)=b,f(1)=c，且c-a-b>0，求f(x)的最小值$？
## 詳解
由$f(0)=a,f'(0)=b，設f(x)=dx^2+bx+a$
$f(1)=c=d+b+a，d=c-a-b>0$
$故f(x)最小值=\frac{4ad-b^2}{4d}=\frac{4a(c-a-b)-b^2}{4(c-a-b)}$

# 2.
## 題目
$設f(x)=ax^2+bx+c，x=k時有最小值，求以f(x),f(k)表示e(x)=\frac{1}{2}(x-k)a(x-k)$
## 詳解
$f(x)=a(x-k)^2-c-ak^2，故e(x)＝\frac{f(x)-f(k)}{2}$

# 3.
## 題目
已知$\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}，\arctan\theta為\tan\theta的反函數，求\sec^2(\arctan x)$
## 詳解
令$y=\arctan x，\tan y=x$
$\sec^2(\arctan x)=\sec^2y=1+\tan^2y=1+x^2$

# 4.
## 題目
$f(x)=\left\{\begin{array}{c}
C(1-\epsilon)-x(C+\mu),x<1-2\epsilon\\
\frac{C}{4\epsilon}(1-x)^2-x\mu,1-2\epsilon\le x\le 1\\
-x\mu,x>1
\end{array}\right .$
已知$0<\epsilon\le1，-C\le\mu\le0，是否f(x)的最小值為-\infty?，若否則以C,\mu,\epsilon表示$
## 詳解
$f'(x)=\left\{\begin{array}{c}
-(C+\mu)[\le0\space],x<1-2\epsilon\\
-\frac{C}{2\epsilon}(1-x)-\mu,1-2\epsilon\le x\le 1\\
-\mu[\ge0],x>1
\end{array}\right .$
可知最小值必不發生$x\to\infty or-\infty上\therefore f(x)最小值不為-\infty$
由微分可知$f(x)最小值為f(1+\frac{2\epsilon\mu}{C})=\frac{-\mu^2\epsilon}{C}-\mu$

# 5.
## 題目
求任一矩陣$P$滿足
$P\begin{bmatrix}
1 & 2&3&4&5 \\
2&3&4&5&6\\
3&4&5&6&7\\
4&5&6&7&8\\
5&6&7&8&9\\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4&5&6&7&8\\
2&3&4&5&6\\
5&6&7&8&9\\
3&4&5&6&7\\
1 & 2&3&4&5\\
\end{bmatrix}$
## 詳解
$P其實就是運算中的兩列互換$
$P=\begin{bmatrix}
0&0&0&1&0\\
0&1&0&0&0\\
0&0&0&0&1\\
0&0&1&0&0\\
1 & 0&0&0&0\\
\end{bmatrix}$

# 6.
## 題目
已知$a_1+2a_2+3a_3+\dots+na_n=n^3+3n+1，求a_n的一般式$
## 詳解
$na_n=(n^3+3n+1)-((n-1)^3+3(n-1)+1)=3n^2-3n+4$
$a_n=3n-3+\frac{4}{n}，但a_1帶入不合$
$故a_n=\left\{\begin{array}{c}
5,n=1\\
3n-3+\frac{4}{n},n>1
\end{array}\right .$

# 7.
## 題目
擲三個公正的骰子一次，求在至少有一個4的條件下，點數和為偶數的機率？
## 詳解
$n(至少有一個四)=6^3-5^3=91$
$n(至少有一個四\cap和為偶數)=n(4偶偶)+n(4奇奇)=(3^3[取2,4,6]-2^3[只取2,6])+(3[4的位置]\times 3^2)=46$
$\therefore P=\frac{46}{91}$

# 8.
## 題目
$M_1=\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
-2&1&0&0\\
-3&0&1&0\\
-4&0&0&1\\
\end{bmatrix},M_2=\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&-2&1&0\\
0&-3&0&1\\
\end{bmatrix},M_3=\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&-2&1\\
\end{bmatrix}$
求$M_1^{-1}\times M_2^{-1}\times M_3^{-1}$
## 詳解
$M_1,M_2,M_3都是列運算，所以M_1^{-1}=\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
2&1&0&0\\
3&0&1&0\\
4&0&0&1\\
\end{bmatrix},M_2^{-1}=\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&2&1&0\\
0&3&0&1\\
\end{bmatrix},M_3^{-1}=\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&2&1\\
\end{bmatrix}$
$M_1^{-1}\times M_2^{-1}\times M_3^{-1}=\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
2&1&0&0\\
3&2&1&0\\
4&3&2&1\\
\end{bmatrix}$

# 9.
## 題目
已知$f(x)=(6x^2+7x)^4，求f'(x)$
## 詳解
就連鎖律
$f'(x)=4(6x^2+7x)^3(12x+7)$

# 10.
## 題目
$已知f_1(x)=|x|，f_2(x)=(\max(0,1-x))^2(其中\max(0,1-x)表示取0和1-x中較大者)$
求有哪些x滿足以下條件：若$f_1(y)\le f_1(x)且f_2(y)\le f_2(x)，則x=y$
## 詳解
如圖，只有在$x\in[0,1]時$兩函數的遞增遞減才會相反，符合上面的條件。

# 11.
## 題目
有一個偶函數$f(x)，已知f(x+2)=\frac{-1}{f(x)}，且當2\le x\le3時f(x)=x，求f(7.7)$
## 詳解
$f(7.7)=\frac{-1}{f(5.7)}=f(3.7)=f(-0.3)=\frac{-1}{f(-2.3)}=\frac{-1}{f(2.3)}=\frac{-10}{23}$

# 12.
## 題目
有三球隊$A,B,C共58人，可重複參加，A有38人，B有15人，C有20人，有3人三者都參加$，求只參加兩隊的共有幾人？
## 詳解
設有$x人參加兩隊，55-x人參加一隊$
$總參加人次=38+15+20=73=3\times3+2\times x+1\times(55-x)=x+64$
$\therefore x=9$

# 13.
## 題目
一數列$a_1=5，a_{n+1}=\frac{3}{4a_n+1}，n\in\mathbb{N}，求a_n的一般式？$
## 詳解
設$a_{n+1}-k=\frac{r(a_n-k)}{4a_n+1}，得a_{n+1}=\frac{(4k+r)a_n-k(r+1)}{4a_n+1}$
比較係數可得$\left\{\begin{array}{c}4k+r=0\\k(r+1)=-3\end{array}\right .，解聯立可得(r,k)=(-4,1)or(3,\frac{-3}{4})$
$(1)\dots a_{n+1}-1=\frac{-4(a_n-1)}{4a_n+1}$
$(2)\dots a_{n+1}-\frac{-3}{4}=\frac{3(a_n-\frac{-3}{4})}{4a_n+1}$
$\frac{(1)}{(2)}\dots\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}-\frac{-3}{4}}=\frac{-4}{3}\times\frac{a_{n}-1}{a_{n}-\frac{-3}{4}}=(\frac{-4}{3})^{n-1}\times\frac{a_{1}-1}{a_{1}-\frac{-3}{4}}$
可得$\frac{a_{n}-1}{a_{n}-\frac{-3}{4}}=(\frac{-4}{3})^{n-1}\times\frac{-16}{19}，整理後得a_n=\frac{19(-3)^{n-1}-3\cdot 4^n}{4^{n+1}+19\cdot(-3)^{n-1}}$

# 14.
## 題目
求$\sum_{k=1}^\infty[(-1)^k\frac{1}{4k^2-1}]=?$
## 詳解
原式$=\frac{1}{2}(-1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\dots)=\frac{1}{2}-(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots)=\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}$
### arctan的馬克勞林展開式
$令y=\arctan(x)\implies \tan y=x$
$對x微分:\sec^2y\cdot y'=1，y'=\frac{1}{sec^2y}=\frac{1}{1+tan^2y}={\frac{1}{1+x^2}}=1-x^2+x^4-x^6+\dots$
（可以視為公比為$-x^2$的等比級數）
故$\arctan(x)=y=\int y'dx=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\dots$
$x=1帶入，得1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$

# 15.
## 題目
已知$a^2+ab+ac+bc=6+2\sqrt{5}，a,b,c>0，求3a+b+2c的最小值$
## 詳解
$3a+b+2c=(a+b)+2(a+c)\ge2\sqrt{2(a+b)(a+c)}=2\sqrt{2(6+2\sqrt{5})}=2\sqrt{10}+2\sqrt{2}$

# 16.
## 題目
$\triangle ABC中，已知(c-a)(\sin A+\sin C)=b\sin B，求(1)\angle C\space(2)\sin A\sin B的最大值?$
## 詳解
$設R為外接圓半徑，原式可寫成(c-a)\frac{(a+c)}{2R}=b\frac{b}{2R}\therefore\space c^2=a^2+b^2$
$(1)\angle C=90^\circ$
$(2)原式=\sin A\cos A\le\frac{1}{2}$

# 17.
## 題目
$\sin2(\alpha+\gamma)=n\sin2\beta，求以n表示\frac{\tan(\alpha+\beta+\gamma)}{\tan(\alpha-\beta+\gamma)}$
## 詳解
$令t=\tan(\alpha+\gamma),k=tan(\beta)$
$\frac{2t}{1+t^2}=n\frac{2k}{1+k^2}，n=\frac{t(1+k^2)}{k(1+t^2)}$
$\frac{\tan(\alpha+\beta+\gamma)}{\tan(\alpha-\beta+\gamma)}=\frac{\frac{t+k}{1-kt}}{\frac{t-k}{1+kt}}=\frac{k(1+t^2)+t(1+k^2)}{-k(1+t^2)+t(1+k^2)}=1+\frac{2k(1+t^2)}{-k(1+t^2)+t(1+k^2)}$
$因n=\frac{t(1+k^2)}{k(1+t^2)}，n-1=\frac{t(1+k^2)-k(1+t^2)}{k(1+t^2)}$
$1+\frac{2t(1+k^2)}{-k(1+t^2)+t(1+k^2)}=1+\frac{2}{n-1}=\frac{n+1}{n-1}$

# 18.
## 題目
一動直線過$(1,3)，與圓x^2+y^2=4交於兩點之兩切線交點為Q，求動點Q的軌跡方程式$
## 詳解
$設動直線L:y=mx-m+3，因\overline{OQ}\perp L:-my=x，做圖如下:$
$\triangle P_1OR\sim\triangle QOP_1 \implies \overline{OQ}=\frac{\overline{OP_1}^2}{\overline{OR}}=\frac{4}{\overline{OR}}$
$\overline{OR}=d(O,L)=\frac{|m-3|}{\sqrt{m^2+1}}，\overline{OQ}=\frac{4\sqrt{m^2+1}}{|m-3|}$
得$\overrightarrow{OQ}=(\frac{-4m}{3-m},\frac{4}{3-m})[斜率為\frac{-1}{m}]=(-4+\frac{12}{3-m},\frac{4}{3-m})，L:x+3y=4$

# 19.
## 題目
求$\sum_{k=1}^nk^2C_k^n$
## 詳解
$k^2C_k^n=k^2\frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k(k-1)\dots(1)}=kn\frac{(n-1)\dots(n-k+1)}{(k-1)\dots(1)}=nkC_{k-1}^{n-1}$
$\sum_{k=1}^nk^2C_k^n=\sum_{k=1}^nknC_{k-1}^{n-1}=n(\frac{n+1}{2})2^{n-1}=(n^2+n)2^{n-2}$

# 20.
## 題目
$P(x)為整數x由連續正整數相加得到的方法數，如15=1+2+3+4+5=4+5+6=7+8=15$，$所以P(15)=4，求P(1050)$
## 詳解
$設k開始連加n個數:1050=\frac{n(2k+n-1)}{2}，k=\frac{1050}{n}+\frac{1-n}{2}$
$只要k\in\mathbb{N}就表示有解$
$(1)k=整數+整數，n=1,3,5,7,15,21,25,35$
$(2)k=.5+.5，n=4,12,20,28$
$綜合(1)(2):共有12組解$