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# 1.
## 題目
$0\le\theta\le\frac{3\pi}{4}，求\cos4\theta-4\sin^2\theta的最大、最小值$
## 詳解
$\cos4\theta-4\sin^2\theta=2cos^22\theta-1-4+4cos^2\theta=8cos^4\theta-4cos^2\theta-3=8(cos^2\theta-\frac{1}{4})^2-\frac{7}{2}$
$\because cos^2\theta\in[0,1]，\cos4\theta-4\sin^2\theta的最小值=-\frac{7}{2}，最大值=8(1-\frac{1}{4})^2-\frac{7}{2}=1$

# 2.
## 題目
設$f(x)=(x+1)(x+2)^n，求(a)f(x)除以x-1的餘式\space(b)f(x)除以x^2的餘式\space$$(c)f(x)除以x^2(x-1)的餘式$
## 詳解
$(a)餘式=f(1)=2\times3^n$
$(b)餘式=f(x)的一次和常數項=(2^n+C_1^n\cdot2^{n-1})x+2^n$
$(c)f(x)=x^2Q(x)+(2+n)2^{n-1}x+2^n=(x-1)x^2Q_1(x)+ax^2+(2+n)2^{n-1}x+2^n$$f(1)=2\times3^n=a+(4+n)2^{n-1}\implies a=2\times3^n-(4+n)2^{n-1}$
$餘式=(2\times3^n-(4+n)2^{n-1})x^2+(2+n)2^{n-1}x+2^n$

# 3.
## 題目
已知$a_1=1，S_n=\sum_{k=1}^na_k，若\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n-1}}=a_n，求a_n$
## 詳解
$(\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n-1}})(\sqrt{S_n}-\sqrt{S_{n-1}})=a_n(\sqrt{S_n}-\sqrt{S_{n-1}})$
$S_n-S_{n-1}=a_n=a_n(\sqrt{S_n}-\sqrt{S_{n-1}})，\therefore \sqrt{S_n}-\sqrt{S_{n-1}}=1$
$\sqrt{S_n}=1+\sqrt{S_{n-1}}=2+\sqrt{S_{n-2}}=\dots=n-1+\sqrt{S_1}=n$
$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1)^2=2n-1，a_1帶入亦符合$
$\therefore a_n=2n-1,n\in\mathbb{N}$

# 4.
## 題目
設直角$\triangle ABC三邊長為a,b,c，其中c為斜邊，若\frac{a+b}{c}取值範圍為(m,M]，求m,M$
## 詳解
科西不等式：$(a^2+b^2)(1^2+1^2)\ge(a+b)^2，a+b\le c\sqrt{2}$
故$M=\sqrt{2}$
三角不等式：$a+b>c\implies\frac{a+b}{c}>1，故m=1$

# 5.
## 題目
$f_1(x)=x+2，f_n(x)=(x+1)f_{n-1}(x)+x^n+(1-n)x+(n-1)$
令$a_{n,k}表示f_n(x)的k次項係數，求(1)a_{n,0}\space(2)\sum_{k=0}^na_{n,k}\space(3)\sum_{k=1}^nka_{n,k}$
## 詳解
$(1)即f_n(0)，由f_1(0)=2,f_n(0)=f_{n-1}(0)+(n-1)=...=f_1(0)+[1+2+\dots+(n-1)]$
$=2+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n^2-n+4}{2}$
$(2)即f_n(1)，由f_1(1)=3,f_n(1)=2f_{n-1}(1)+1,f_n(1)+1=2(f_{n-1}(x)+1)=2^{n-1}\times4$
$\therefore f_n(1)=2^{n+1}-1$
$(3)即f'_n(1)，由f'_1(1)=1和f'_n(1)=f_{n-1}(1)+2\times f'_{n-1}(1)+1=2f'_{n-1}(1)+2^{n}$
$\frac{f'_n(1)}{2^n}=\frac{f'_{n-1}(1)}{2^{n-1}}+1=\frac{f'_1(1)}{2}+(n-1)=\frac{2n-1}{2}，f'_n(1)=(2n-1)2^{n-1}$

# 6.
## 題目
$O(0,0),A(0,1),B(1,0),C(t,0)，其中0<t<1，已知\overline{AB}上一點D滿足\angle ACO=\angle BCD$$求(1)t為多少時能使\triangle ACD面積最大(2)最大面積$
## 詳解
$CD直線:x-ty=t，可求出D(\frac{2t}{1+t},\frac{1-t}{1+t})$
$\overline{AD}=\frac{2\sqrt{2}t}{1+t}，d(C,\overleftrightarrow{AB})=\frac{|t-1|}{\sqrt{2}}，三角形面積=\frac{2t}{1+t}-t$
$由微分可知面積在t=\sqrt{2}-1時有最大值=3-2\sqrt{2}$

# 7.
## 題目
$有一球面x^2+y^2+z^2=1，P(0,0,2)，過P作球的切點，其所有的切點中與平面E:x+y+z=\frac{5}{2}$$距離最近的點設為R，距離為d，求R座標和d$
## 詳解
$先只看yz平面，變成對y^2+z^2=1做過(y=0,x=2)的切線，得切點(\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2})$
$以z軸為旋轉軸轉一圈即為空間上的圖形，故所有切點形成圖形為z=\frac{1}{2},x^2+y^2=\frac{3}{4}$
$d(R,E)=\frac{|x+y-2|}{\sqrt{3}}，由柯西不等式可知x+y\in[-\sqrt{\frac{3}{2}},\sqrt{\frac{3}{2}}]$
$則d(R,E)=\frac{|x+y-2|}{\sqrt{3}}\ge\frac{4\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{6}，此時R(\frac{\sqrt{6}}{4},\frac{\sqrt{6}}{4},\frac{1}{2})$

# 8.
## 題目
箱子中有$1,2,3\dots,n號球各2顆，共2n顆球，從箱中取三顆球，取後不放回$
$其值依序為x_1,x_2,x_3，求x_1<x_2<x_3的機率$
## 詳解
$n(S)=P_3^{2n}=2n(2n-1)(2n-2)$
$n(A)=C_3^{n}[x_1,x_2,x_3的值]\times1[排列方式只有一種]\times2^3[每個號碼有兩顆]$
$P=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{8n(n-1)(n-2)}{2n(2n-1)(2n-2)\times6}=\frac{n-2}{6n-3}$

# 9.
## 題目
$A杯中有1升的水，B杯空杯，第一次操作將A內\frac{1}{2}的水倒進B杯，第二次將B內\frac{1}{3}的水倒進A杯，$$第三次操作將A內\frac{1}{4}的水倒進B杯，以此類推，求第50次操作後A杯內的水量$
## 詳解
實際計算可發現，每當完成奇數次操作後，兩杯水量皆各為$\frac{1}{2}$
故第$49次操作完後A,B各有\frac{1}{2}升，第50次操作完後A有\frac{26}{51}升$

# 10.
## 題目
桌上有150根火柴，兩人玩取火柴遊戲，輪流取1或質數根火柴，取走最後一根者勝，若先首要必勝，請問第一次要取幾根火柴？若無必勝法則寫無
## 詳解
必勝法：自己取完後都剩下4的倍數根火柴，則對方取完後會剩下4k+1,4k+2,4k+3三種情況，此時只要分別取1,2,3根火柴即可持續下去，到最後必定獲勝。
而先手取2根火柴後，剩下148根，恰是4的倍數，故可必勝。

# 11.
## 題目
求$\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+5\sqrt{\dots}}}}}$
## 詳解
此為拉馬努金的無窮根號問題
令$f(x)=x(x+3)=x\sqrt{x^2+6x+9}=x\sqrt{(x+5)+(x+1)(x+4)}$
$=x\sqrt{(x+5)+(x+1)\sqrt{x+6+(x+2)\sqrt{x+7+(x+3)\sqrt{...}}}}$
$f(1)=1\times4=\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+5\sqrt{\dots}}}}}=4$

# 12.
## 題目
已知$a+b+c=0且\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+3}=0，求(a+1)^2+(b+2)^2+(c+3)^2$
## 詳解
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+3}=0\implies (b+2)(c+3)+(a+1)(c+3)+(a+1)(b+2)=0$
$((a+1)+(b+2)+(c+3))^2=36=(a+1)^2+(b+2)^2+(c+3)^2+2[(b+2)(c+3)+(a+1)(c+3)+(a+1)(b+2)]$$故所求=36$

# 13.
## 題目
$x月y日，y為奇數時會收到x+y朵花，若有連續五天收到花的日子共得到97朵花，$$求這些日子最後一天的日期?（不只一個答案）$
## 詳解
$若這五天落在同一個月，第三天為x/y，則5x+5y=97(不合)$
故五天期間必橫跨兩個月
接下來窮舉十二個月份可得知答案為3月3日及6月5日

# 14.
## 題目
（多重選）有編號1-13的點順時針圍成一圈，並可塗上紅黃藍綠四色，塗色規則如下：若某點塗紅色或藍色，則此格後一格與後七格不能塗藍或綠色；若某點塗綠色或黃色，則此格後一格與後七格不能塗紅或黃色。下列選項哪些正確？
(1)若1紅，則8必紅
(2)若1紅，則11必綠
(3)若1綠，則9必綠
(4)若1綠，則11必黃
(5)共有4種上色方法
## 詳解
(1)若1紅，2,8只能紅或黃，若兩者為一紅一黃，9無法塗色，若兩者皆為黃，8的後七格恰為2，也不合，故2,8皆是紅
(2)以此類推，可得到若1塗紅，則2-13也全是紅
(3)(4)同上方法，若1是綠，則2-13全是綠
(5)總共只有全紅和全綠兩種塗法
答：(1)(2)

# 15.
## 題目
（多重選）有$M_1,M_2,\dots,M_{20}共20人，他們有些必誠實，有些必說謊。$
$M_1說：「這裡無誠實者」$
$M_2說：「這裡至多1人誠實」$
$M_3說：「這裡至多2人誠實」$
$\dots$
$M_{20}說：「這裡至多19人誠實」$
請問下列哪些正確？
(1)$M_{13}$誠實
(2)$M_2$誠實
(3)$M_1,M_2,M_3,M_4皆說謊$
(4)說謊者人數大於誠實者人數
(5)說謊者共9人
## 詳解
假設n人（$M_{20}到M_{20-n+1}$）皆誠實
$M_{20-n+1}說：「這裡至多20-n人誠實」為真$
$M_{20-n}說：「這裡至多19-n人誠實」為假$
得$n=20-n，n=10，答案為(1)(3)$

# 16.
## 題目
設$a,b,c,d為7,8,9,10的排列$，求$ab+cd+ad+bc$的期望值
## 詳解
$ab+cd+ad+bc=(a+c)(b+d)$
$(a+b,c+d)=(15,19),(19,15)的機率為\frac{1}{3}$
$(a+b,c+d)=(16,18),(18,16)的機率為\frac{1}{3}$
$(a+b,c+d)=(17,17)的機率為\frac{1}{3}$
$期望值=\frac{285+288+289}{3}=\frac{862}{3}$

# 17.
## 題目
甲車上有三女，乙車上有二男一女，一次操作為甲車三人隨機選一人到乙車，再從乙車隨機四人選一人到甲車，設$P_n為n次操作後甲車有三女的機率，求P_1+P_2+P_3$
## 詳解
下圖為每次操作完後，甲車男女數量的機率
$可得P_1+P_2+P_3=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{19}{72}=\frac{79}{72}$

# 18.
## 題目
如圖，已知每一列的數字為上一列相鄰兩數之和，求圖中最下面之值
## 詳解
「1」走捷徑到「？」有1種方法$\implies$會被計算到1次
「2」走捷徑到「？」有$C^n_1$種方法$\implies$會被計算到n次
以此類推
故「？」$=1C_0^n+2C_1^n+3C^n_2+\dots+(n+1)C^n_n=\frac{n+2}{2}\times2^n=(n+2)2^{n-1}$