# 酵素動力學：抑制作用
[toc]

---

通常都假設產物P濃度足夠小，使得 $E+P\rightarrow ES$ 的反應速率遠小於 $ES\rightarrow E+P$ 的反應速率。此外，雖然「反應初速」一詞似乎暗示著反應速度會隨時間變化，但其實我們考慮的都是近乎平衡的情況（quasi-equilibrium），所以以我不專業的角度來看，或許可以這麼想，如果你測量最近五分鐘內的反應速度，那幾乎都相同。但如果我們拿昨晚跟今晚的反應速度來比，那就有明顯差距。因此，我們底下所討論的都是產物 P 的反應速率：$$ES\rightarrow E+P$$$$V=V_0=k_3[ES]$$
## 無抑制作用(Michaelis-Menten formula)
反應式：
$$E+S\leftrightarrow ES$$$$ES\rightarrow E+P$$

---

我們的目標是知道產物 $P$ 到底增加得多快？這答案可以很簡單，就是 $$V=k_3[ES]\tag{a}$$但這不是個好答案，因為我們並不知道 [ES] 是多少。因此，我們需要將產物 $P$ 的增長速率，用我們非常確定且可以測量的化學劑量來表示。例如酵素總量 $[E_\text{total}]=[E_t]$。在上述理想的無抑制反應中，酵素 E 要嘛以原型維持著，要嘛就是跑到錯合物 ES 之中了，所以我們可以寫下 $[E_t]=[E]+[ES]$ 的約束條件（constraint）：
$$[E_t]=[E]+[ES]\tag{b}$$ 此外，由於我們假設各反應差不多是在平衡狀態（quasi-equilibrium），所以可以確定，錯合物 ES 基本上沒什麼變化，$d[ES]/dt\approx0$，所以這使得錯合物 ES 的生成與消耗速率幾乎相同：

$$R_{生成}\approx R_{消耗}$$ $$k_1[E][S]=k_2[ES]+k_3[ES]$$

---

$$R=k[A][B]\cdots$$

---

因此我們可發現，酵素、基質與其錯合物三者濃度之間有著簡單的關係：$$\frac{[E][S]}{[ES]}=\frac{k_2+k_3}{k_1}$$ 我們接著就要用這個簡單的關係，代換方程式(b)中的$[ES]$。而由於$\frac{k_2+k_3}{k_1}$的大小其實代表著錯合物ES的分解速度，所以我們定義ES的分解速率常數為$K_M$：$$K_M\equiv\frac{k_2+k_3}{k_1}=\frac{[E][S]}{[ES]}\tag{c}$$由(c)代換出錯合物濃度 $[ES]=[E][S]/K_M$，所以就能夠將「不知道是多少的錯合物濃度[ES]」，代換成「知道是多少的酵素濃度[E]」：$$[E_t]=[E]+\frac{[E][S]}{K_M}=[E]\left(1+\frac{[S]}{K_M}\right)\tag{d-1}$$$$\implies [E]=\frac{[E_t]}{1+\cfrac{[S]}{K_M}}\tag{d-2}$$因此，我們先將目標方程式(a)中的[ES]，換成$[ES]=[E][S]/K_M$：
$$V=k_3[ES]=k_3\left(\frac{[E][S]}{K_M}\right)=\frac{k_3}{K_M}[E][S]\tag{e}$$ 接著再將酵素濃度[E]，以方程式(d-2)代入！$$V=\frac{k_3}{K_M}\frac{[E_t][S]}{1+\cfrac{[S]}{K_M}}=\frac{k_3[E_t][S]}{K_M+[S]}\tag{f}$$ 在此我們看見一個具有物理意義的代數組合，$k_3[E_t]$。因為錯合物ES最多就只能是所有的酵素都變成了錯合物，也就是說，$[ES]\leq[E_t]$，因此，我們說 $k_3[E_t]$ 就是最大的產物生成速率$V_\text{max}$：$$V=k_3[ES]\leq k_3[E_t]\equiv V_\text{max}\tag{g}$$最後我們可將方程式(f)改寫為：$$V=\frac{V_\text{max}[S]}{K_M+[S]}\tag{h}$$
由於我們忽略了產物與酵素生成錯合物的反應：$E+P\rightarrow ES$，所以這裡的反應速率 $V$ 只能是產物 $P$ 還很少的反應初期的速率，所以又稱為反應初速 $V_0$：$$V_0\equiv\frac{V_\text{max}[S]}{K_M+[S]}\tag{i}$$

---

由反應初速方程式(i)可以看見，當基質濃度還很小的時候，$[S]\ll K_M$，所以反應初速約為： $$V_0\approx\frac{V_\text{max}[S]}{K_M+0}=\frac{V_\text{max}}{K_M}[S]\tag{j}$$因此，這是個反應速率與濃度成正比的一級反應（first-order reaction）


當基質濃度$[S]\gg K_M$時，可以將反應初期的反應速率近似為：$$V_0\approx\frac{V_\text{max}[S]}{0+[S]}=V_\text{max}\tag{k}$$

---

反應初速$V_0$：
$$V_0=\frac{V_\text{max}[S]}{K_M+[S]}$$
雙倒數關係：
$$V_0=\frac{1}{1/V_0}=\frac{V_\text{max}[S]}{K_M+[S]}=\frac{V_\text{max}}{K_M(1/[S])+1}\tag{1}$$
令 $y\equiv1/V_0$、$x\equiv1/[S]$，代入方程式(1)可得：
$$\frac{1}{y}=\frac{V_\text{max}}{K_Mx+1}\implies y=\underbrace{\frac{K_M}{V_\text{max}}}_{斜率}x+\underbrace{\frac{1}{V_\text{max}}}_{截距}\tag{2}$$
## 競爭型（Competitive）
{%youtube 3-mj0Cx0JbA %}
反應式：
$$E+S\leftrightarrow ES$$$$E+I\leftrightarrow EI$$$$ES\rightarrow E+P$$
反應初速$V_0$：
$$V_0=\frac{V_\text{max}[S]}{K_M\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)+[S]}$$
雙倒數關係：
$$V_0=\frac{1}{1/V_0}=\frac{V_\text{max}[S]}{K_M\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)+[S]}=\frac{V_\text{max}}{K_M\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)\cfrac{1}{[S]}+1}\tag{3}$$
令 $y\equiv1/V_0$、$x\equiv1/[S]$，代入方程式(3)可得：
$$\frac{1}{y}=\frac{V_\text{max}}{K_M\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)x+1}\implies y=\underbrace{\frac{K_M}{V_\text{max}}\left(1+\frac{[I]}{K_M}\right)}_{斜率}x+\underbrace{\frac{1}{V_\text{max}}}_{截距}\tag{4}$$
## 非競爭型（Non-competitive）
{%youtube pq5TtzVoZdM %}
反應式：
$$E+S\leftrightarrow ES$$$$ES\rightarrow E+P$$$$E+I\leftrightarrow EI$$$$ES+I\leftrightarrow ESI$$
反應初速$V_0$：
$$V_0=\frac{V_\text{max}[S]}{K_M\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)+\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)[S]}$$
雙倒數關係：
$$V_0=\frac{1}{1/V_0}=\frac{V_\text{max}[S]}{K_M\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)+\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)[S]}=\frac{V_\text{max}}{K_M\left(1+\cfrac{[I]}{K_M}\right)\cfrac{1}{[S]}+\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)}\tag{5}$$
令 $y\equiv1/V_0$、$x\equiv1/[S]$，代入方程式(5)可得：
$$\frac{1}{y}=\frac{V_\text{max}}{K_M\left(1+\cfrac{[I]}{K_M}\right)x+\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)}\implies y=\underbrace{\frac{K_M}{V_\text{max}}\left(1+\frac{[I]}{K_I}\right)}_{斜率}x+\underbrace{\left(\frac{1}{V_\text{max}}+\frac{[I]}{K_IV_\text{max}}\right)}_{截距}\tag{6}$$
## 不競爭型（Uncompetitive）
{%youtube EyAln4sDxmg %}
反應式：
$$E+S\leftrightarrow ES$$$$ES+I\leftrightarrow ESI$$$$ES\rightarrow E+P$$
反應初速$V_0$：
$$V_0=\frac{V_\text{max}[S]}{K_M+\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)[S]}$$
雙倒數關係：
$$V_0=\frac{1}{1/V_0}=\frac{V_\text{max}[S]}{K_M+\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)[S]}=\frac{V_\text{max}}{K_M/[S]+\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)}\tag{7}$$
令 $y\equiv1/V_0$、$x\equiv1/[S]$，代入方程式(7)可得：
$$\frac{1}{y}=\frac{V_\text{max}}{K_Mx+\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)}\implies y=\underbrace{\frac{K_M}{V_\text{max}}}_{斜率}x+\underbrace{\left(\frac{1}{V_\text{max}}+\frac{[I]}{K_IV_\text{max}}\right)}_{截距}\tag{8}$$
## 綜合比較：反應初速

* 無抑制作用（No inhibitor）
$$V_0=\frac{V_\text{max}[S]}{K_M+[S]}$$
* 競爭型（Competitive）
$$V_0=\frac{V_\text{max}[S]}{K_M\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)+[S]}$$
而當$[S]=K_M\left(1+[I]/K_I\right)$時，$V_0$就變成了$0.5V_\text{max}$，所以這就是指
$$K_M^\prime\equiv K_M\left(1+\frac{[I]}{K_I}\right)>K_M$$
* 非競爭型（Non-competitive）
$$V_0=\frac{V_\text{max}[S]}{K_M\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)+\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)[S]}$$
當$[S]$很大時，我們可以忽略分母中包含$K_M$的那一項：$$V_0\approx\frac{V_\text{max}[S]}{0+\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)[S]}=\frac{V_\text{max}}{1+\cfrac{[I]}{K_I}}\equiv V_\text{max}^\prime$$因此，對於非競爭型（non-competitive）抑制劑而言，酵素產物 P 的生成速率極大值$V_\text{max}^\prime$，比起完全沒有抑制劑的$V_\text{max}$還要小。另外，倘若$V_0=0.5V_\text{max}^\prime$，那麼可以得到：$$V_0=\frac{1}{2}\frac{V_\text{max}}{1+\cfrac{[I]}{K_I}}=\frac{V_\text{max}[S]}{K_M\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)+\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)[S]}\tag{w-1}$$如果我們將方程式(w-1)最右邊的那一式，提出一個$V_\text{max}/(1+[I]/K_I)$，那麼可以得到：$$\frac{1}{2}\frac{V_\text{max}}{1+\cfrac{[I]}{K_I}}=\frac{V_0}{1+\cfrac{[I]}{K_I}}\frac{[S]}{K_M+[S]}\tag{w-2}$$由此可見，$$\frac{1}{2}=\frac{[S]}{K_M+[S]}\tag{w-3}$$因此，當$[S]=K_M$時，反應初期之反應速率$V_0$剛好會是反應初期之最大反應速率$V_\text{max}^\prime$的一半。也就是說，
$$K_M^\prime\equiv K_M\tag{w-4}$$最後，考慮基質濃度[S]非常小的時候，可以得到$$V_0\approx\frac{V_\text{max}[S]}{K_M\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)}=\frac{V_\text{max}^\prime}{K_M}[S]\tag{w-5}$$因此，這時的反應速率也像是一級反應（first-order reaction），不過它的「斜率」從原本「無抑制作用」的$V_\text{max}/K_M$變成了$V_\text{max}^\prime/K_M$，因為$V_\text{max}^\prime<V_\text{max}$，所以非競爭型的抑制劑會使其的「$V_0$-$[S]$圖」的初始斜率變小。
* 不競爭型（Uncompetitive）
$$V_0=\frac{V_\text{max}[S]}{K_M+\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)[S]}$$
當$[S]$很大的時候，就可以忽略$K_M$，也就是說，
$$V_0\approx\frac{V_\text{max}[S]}{0+\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)[S]}=\frac{V_\text{max}}{1+\frac{[I]}{K_I}}<V_\text{max}$$
而當$[S]$很小的時候，就會變成：
$$V_0\approx\frac{V_\text{max}[S]}{K_M+0}=\frac{V_\text{max}}{K_M}[S]$$
接著要討論如何從「直接作圖」找$K_M$，它的原理一樣，就是由新的最大反應初速$V_\text{max}^\prime$：$$V_\text{max}^\prime\equiv\frac{V_\text{max}}{1+\frac{[I]}{K_I}}$$直接求$0.5V_\text{max}^\prime$。因此我們令$V_0=0.5V_\text{max}^\prime$，可以得到：$$0.5V_\text{max}^\prime=\frac{1}{2}\frac{V_\text{max}}{1+\cfrac{[I]}{K_I}}=\frac{V_\text{max}[S]}{K_M+\left(1+\cfrac{[I]}{K_I}\right)[S]}\tag{s-1}$$我們接著將方程式(s-1)最右邊約分，分子分母同除以$(1+[I]/K_I)$，可以得到：$$\frac{1}{2}\frac{V_\text{max}}{1+\cfrac{[I]}{K_I}}=\frac{V_\text{max}}{1+[I]/K_I}\frac{[S]}{\cfrac{K_M}{1+[I]/K_I}+[S]}\tag{s-2}$$仔細觀察
方程式(s-2)，可以發現$$\frac{[S]}{\cfrac{K_M}{1+[I]/K_I}+[S]}=\frac{1}{2}$$也就是說：$$[S]=\frac{K_M}{1+[I]/K_I}$$因此，我們定義新的$K_M^\prime$：$$K_M^\prime\equiv\frac{K_M}{1+\cfrac{[I]}{K_I}}$$所以，當基質濃度[S]為$K_M^\prime$時，不競爭型抑制劑的反應初速將會是最大值的一半，即$0.5V_\text{max}^\prime$，而這時的最大反應初速$V_\text{max}^\prime$又比沒有抑制作用時的最大反應初速$V_\text{max}$還要小：$$V_\text{max}^\prime\equiv\frac{V_\text{max}}{1+\frac{[I]}{K_I}}<V_\text{max}$$
## 綜合比較：雙倒數關係
* 無抑制作用（No inhibitor）
$$y=\underbrace{\frac{K_M}{V_\text{max}}}_{斜率}x+\underbrace{\frac{1}{V_\text{max}}}_{截距}$$
* 競爭型（Competitive）
$$y=\underbrace{\frac{K_M}{V_\text{max}}\left(1+\frac{[I]}{K_M}\right)}_{斜率}x+\underbrace{\frac{1}{V_\text{max}}}_{截距}$$
* 非競爭型（Non-competitive）
$$y=\underbrace{\frac{K_M}{V_\text{max}}\left(1+\frac{[I]}{K_I}\right)}_{斜率}x+\underbrace{\left(\frac{1}{V_\text{max}}+\frac{[I]}{K_IV_\text{max}}\right)}_{截距}$$
* 不競爭型（Uncompetitive）
$$y=\underbrace{\frac{K_M}{V_\text{max}}}_{斜率}x+\underbrace{\left(\frac{1}{V_\text{max}}+\frac{[I]}{K_IV_\text{max}}\right)}_{截距}$$