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title: "Unidad I - Distribución de Vectores Aleatorios"
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# 1.1 - Vectores aleatorios

Recordando que una v.a. es:

$$
X(\omega): \Omega \to \mathbb R
$$

## DEF. - Vector Aleatorio

Un vector aleatorio se define tal que

$$
\underline{X}(\omega): \Omega \to \mathbb{R}^n
$$

También se pueden denotar como

$$
(X,Y)\\
(X_1,X_2)
$$

## Ejemplo

Se realiza un experimento en el cuál se lanzan 2 dados.
Teniendo así:

$$
\Omega =
\begin{Bmatrix}
(1,1), (1,2),...,(1,6)\\
(2,1), (2,2),...,(2,6)\\
.\\
.\\
.\\
(6,1), (6,2), ..., (6,6)
\end{Bmatrix}
$$

y definimos **dos** variables aleatorias:

$$
X: \text{suma de las caras de los dados}\\
Y: \text{diferencia en valor absoluto de las caras de los datos}
$$

Por lo tanto, con

$$
\omega(4,1) \to (X,Y) = (5,3)
$$

En cuanto a los soportes,

$$
X \in \{2,3,...,12\}\\
Y \in \{0,1,...,5\}
$$

# 1.2 - Función de masa y de densidad conjunta

## DEF. - Función de masa de probabilidad conjunta
Sea $(X,Y)$ un vector aleatorio bivariado, entonces la función de masa de probabilidad conjunta, denotada como $f(x,y)$, se define como:

$$
f(x,y) = P(X=x,Y=y)
$$

Así, $f(x,y)$ define de manera completa el comportamiento **conjunto** de las v.a. $X$ y $Y$.

## Propiedades

Se dice que $f(x,y) = P(X=x,Y=y)$ es función de masa de probabilidad conjunta si:

+ $f(x,y) \geq 0, \forall (x,y) \in \mathbb R^2$
+ $\sum_{(x,y)} f(x,y) = 1$

## Ejemplo
Se lanzan 3 monedas justas y definimos:

+ $X:=$ # de soles en los primeros dos lanzamientos
+ $Y:=$ # de águilas en los últimos dos lanzamientos

Entonces definimos $P(X=x, Y=y)$

$$
X \in \{0,1,2\}\\
Y \in \{0,1,2\}
$$

Entonces, el espacio muestral se define como:

$$
\Omega =
\begin{Bmatrix}
(A,A,A),(A,A,S),(A,S,A),(S,A,A)\\
(A,S,S),(S,A,S),(S,S,A),(S,S,S)
\end{Bmatrix}
$$

Entonces, podemos definir

$$
f(x,y) =
$$

| | 0 | $1$ | 2 |
| --- | ---- | ---- | --- |
| 0 | 0 | $\frac{1}{8}$ | |
| 1 | | | |
|2 | | | 0 |

## DEF. - Probabilidad sobre un subconjunto
Sea $A$ cualquier subconjunto de $\mathbb R^2$ tal que $A \subseteq \mathbb R^2$ entonces:

$$
P [(X,Y) \in A] = \sum_{(x,y) \in A} f(x,y)
$$

## DEF. - Función de densidad conjunta
Una función $f(x,y): \mathbb R^2 \to \mathbb R$ se denomina función de densidad conjunta si, para cada $A \subseteq \mathbb R^2$:

$$
P[(X,Y) \in A] = \int \int_A f(x,y)dxdy
$$

## Propiedades

Se dice que $f(x,y)$ es función de densidad conjunta si:

+ $f(x,y) \geq 0, \forall (x,y) \in \mathbb R^2$
+ $\int \int_{\mathbb R^2} f(x,y) dxdy = 1$

## Ejemplo

Sea $f(x,y) = 6xy^2 \mathbb I_{(0<x,y<1)}^{(x,y)}$ verifiquemos que es función de densidad conjunta.

Tenemos

$$
\int_0^1 \int_0^1 6xy^2 dx dy \\
= \int_0^1 \frac{6x^2y^2}{2} \Big|_{x=0}^{x=1} dy \\
= \int_0^1 3y^2\\
= y^3 \Big|_{y=0}^{y=1} \\
= 1
$$

# 1.3 Función de distribución conjunta

Partimos de la definición general de probabilidad sobre un subconjunto $A$:

$$
P[(X,Y) \in A] = \int \int_A f(x,y)dxdy
$$

Para la función de distribución $A$ es un subconjunto particular tal que:

$$
(X\leq x, Y \leq y)
$$

Por lo tanto,

$$
P[(X,Y) \in A] \\
= P[X \leq x, Y \leq y] \\
= \int_{-\infty}^y \int_{-\infty}^{x} f(x,y)dxdy \\
= F(x,y)
$$

## Propiedades

+ No decreciente
+ Diferenciable
+ $\lim_{x \to \infty}F(x,y) = F_Y(y)$
+ $\lim_{y \to \infty}F(x,y) = F_X(x)$
+ $\lim_{(x,y) \to (\infty,\infty)}F(x,y) = 1$
+ $\lim_{(x,y) \to (-\infty,-\infty)}F(x,y) = 0$

## DEMOSTRAR POR 1 DÉCIMA EXTRA

Recordemos,
$$
P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)
$$

Sea
$$
R = \{(x,y) : a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \}\\
$$

Entonces

$$
P[(X,Y) \in R] = F(b,d) - F(a,d) - F(b,c) + F(a,c)
$$

## Función de distribución conjunta (cont.)

Por lo mencionado, recordamos que

### Caso contínuo

$$
F(x,y) = \int_{-\infty}^y \int_{-\infty}^x f(u,v)dudv
$$

### Caso discreto

$$
\sum_{v \to -\infty}^y \sum_{u \to -\infty}^x f(u,v)
$$

## Ejemplo

Sea
$$
f(x,y) = e^{-y} \mathbb I_{[0<x<y<\infty]}^{(x,y)}
$$

Calcular

$$
P(X + Y \leq 1)
$$

Tenemos que
$$
A = \{(x,y) : x + y \leq 1\}
$$

Entonces

$$
P(X+Y \leq 1) = \int_A \int e^{-y} dxdy
$$

Resolvemos la integral

$$
\int_0^{\frac{1}{2}} \int_x^{1-x} e^{-y} dydx \\
= \int_0^{0.5} (-e^{-y} \Big|_{y=x}^{y=1-x})dx
.\\
.\\
.\\
= 1+ e^{-1} - 2e^{-0.5}
$$

# 1.4 - Distribuciones Marginales

## TEO

Sea $(X,Y)$ un vector aleatorio discreto con función de masa de probabilidad conjunta (FMPC), entonces las funciones de masa de probabilidad marginales de $X$ y $Y$ estan dadas por:

$$
f_X(x) = \sum_{y \in \mathbb y} f(x,y) \\
f_Y(x) = \sum_{x \in \mathbb x} f(x,y)
$$

Donde $\mathbb x$ y $\mathbb y$ son el soporte de $X$ y de $Y$ respectivamente.

# 1.5 - Distribuciones condicionales

## NOTA

$$
f(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)} \\
f(x | y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}
$$

Entonces,

$$
\frac{f_X(x)}{f_Y(y)} = \frac{f(x|y)}{f(y|x)}
$$

## Regla de Bayes

$$
f(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}
$$

Por otro lado,

$$
f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx
$$

Entonces,

$$
f(x|y) = \frac{f(x,y)}{\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx}
$$

Entonces,

$$
f(x|y) = \frac{f(y|x) f(x)}{\int_{-\infty}^{\infty} f(y|x)f_X(x)dx}
$$

Lo cual nos regresa al **Teorema de Bayes**

$$
P(X=x | Y= y) = \frac{P(Y=y|X=x)P(X=x)}{\sum_X P(Y=y | X=x) P(X=x)}
$$

## Ejemplo
Suponga que el número de accidentes automovilísticos en el que un conductor pueda estar involucrado durante un año es una v.a. $Y$ que se distribuye $Y \sim \text{Po}(\lambda)$, donde la $\lambda$ depende del conductor.

Como $\lambda$ no es constante, se escribirá como $\Lambda$, y es variable aleatoria. Además,

$$
\Lambda \sim \Gamma(\alpha, \beta)
$$

Entonces, defino

$$
Y|\Lambda:= \text{El número de accidentes dato el tipo de conductor}
$$

Calcular

+ $f_Y(y)$
+ $f(\lambda|y)$

---
Tenemos

$$
f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty}f(y|\lambda)f_{\Lambda}(\lambda)d\lambda \\
= \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda}\lambda^{y}}{y!}\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\lambda^{\alpha-1}e^{-\alpha\beta}d\lambda \\
= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)y!} \int_0^{\infty} \lambda^y \lambda^{\alpha-1} e^{-\lambda} e^{-\lambda\beta} d\lambda\\
= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)y!} \int_0^{\infty} \lambda^{y+\alpha-1} e^{-\lambda(1+\beta)} d\lambda\\
= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)y!} \Gamma(y+\alpha,1+\beta)
$$

### Nota
A lo que está dentro de la integral lo podemos llamar **kernel** o **núcleo** de la distribución ya que, amén de las constantes, se puede convertir en otra distribución.

Por otro lado, tenemos

$$
f(\lambda|y) = \frac{f(y|\lambda)f(\lambda)}{f_Y(y)}\\
= \frac{\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)y!} \lambda^{\alpha+y+1}e^{-\lambda(1+\beta)}}{\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)y!}}
$$

Al final tenemos que
$$
Y | \Lambda \sim \text{Po}(\Lambda)\\
\Lambda \sim \Gamma(\alpha,\beta)\\
Y \sim \frac{\beta^{\alpha}}{(\beta+1)^{\alpha+y}y!} \frac{\Gamma(\alpha+y)}{\Gamma(\alpha)}\\
\Lambda | Y \sim \Gamma(\alpha+y,\beta+1)
$$

# 1.6 - Variables Aleatorias Independientes

## DEF - Vectores Aleatorios Independientes
Sea $(X,Y)$ un vector aleatorio con función de densidad conjunta $f(x,y)$ y funciones marginales $f_X(x),f_Y(y)$. Entonces, $X$ y $Y$ son v.a. independientes si $\forall x \in X, \forall y \in Y$,

$$
f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)
$$

### Corolario
Si $X$ y $Y$ son v.a. independientes, entonces

$$
f(y|x) = f_Y(y) \\
f(x|y) = f_X(x)
$$

## Observación

Sea $(X,Y)$ un vector aleatorio con función de densidad conjunta $f(x,y)$. Entonces, $X,Y$ son v.a. independientes si y solo si existen dos funciones $g(x)$ y $h(y)$ tal que $\forall x \in X$ y $\forall y \in Y$,

$$
f(x,y) = g(x)h(y)
$$

# 1.7 - Momentos de un vector aleatorio

Recordando:

Sea $g(x)$ una función de una v.a. $X$, se define
$$
E[g(x)] = \int_Xg(x)f(x)dx
$$

## DEF

Sea $g(X,Y)$ una función de $(X,Y)$ tal que $g(.): \mathbb R \to \mathbb R^2$. Entonces, $g(X,Y)$ es, en si misma, una variable aleatoria y su valor esperado está dado por:

### Caso Discreto

$$
E[g(X,Y)] = \sum_{(x,y) \in \mathbb R^2} g(x,y)P(X=x,Y=y)
$$

#### Ejemplo - Ejemplo de los dados

Definimos

$$
g(X,Y) = XY
$$

Entonces

$$
E[g(X,Y)] = E[XY] = \sum_{(x,y) \in \mathbb R^2} xy P(X=x,Y=y)
$$

### Caso Contínuo

$$
E[g(X,Y)] = \int_\mathbb y \int_\mathbb x g(x,y)f(x,y)dxdy
$$

#### Ejemplo

Sea $f(x,y) = 6xy^2 \mathbb I_{(0<x<1,0<y<1)}^{(x,y)}$.

Encontrar $E[XY]$.

$$
E[XY] = \int_0^1 \int_0^1 xy6xy^2 dxdy\\
= \int_0^1 \int_0^1 6x^6y^3dxdy\\
=\int_0^1 2x^3y^3 \Big |_{x=0}^{x=1} dy\\
= \int_0^1 2y^3 dy \\
= \frac{1}{2} y^4 \Big|_{y=0}^{y=1}\\
= \frac{1}{2}
$$

## Propiedades

El operador $E$ tiene las mismas propiedades lineales que en el caso univariado:

1. El valor esperado de una suma es la suma de los valores esperados.
2. El valor esperado de una función por una constante es la constante por el valor esperado de la función.
3. El valor esperado de una constante es la constante.

## DEF - Valor esperado de un vector

El valor esperado de un vector es el vector de los valores esperados

$$
E\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}
g_1(X,Y)\\
g_2(X,Y)
\end{pmatrix}
\end{bmatrix}=
\begin{pmatrix}
E[g_1(X,Y)]\\
E[g_2(X,Y)]
\end{pmatrix}
$$

También se le conoce como vector de medias, donde

$$
E(X) = \int_X xf_X(x)dx < \infty \\
E(Y) = \int_Y yf_Y(y)dy < \infty
$$

## Varianza
Sea $\underline W = \binom{X}{Y}$.

Entonces

$$
\text{Var}(\underline W) = E[(\underline W - E(\underline W))^2] \\
= E[(\underline W - E(\underline W))(W - E(\underline W))^T]
$$

El valor esperado de una matriz es la matrzi de los valores esperados.

$$
\begin{bmatrix}
\text{Var}(X), \text{Cov}(X,Y)\\
\text{Cov}(X,Y), \text{Var}(Y)
\end{bmatrix}
$$

## DEF - Covarianza
Sea $(X,Y)$ un vector aleatorio, se define la coviarianza de $(X,Y)$ como

$$
\text{Cov}(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]
$$

## TEOREMA - DEMOSTRAR POR DÉCIMA

Para cualesquiera v.a. $X,Y$ con $E(X) < \infty$, $E(Y) < \infty$, enotnces

$$
\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
$$

### Demostración
$$
\text{Cov}(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
$$

## Propiedades - Covarianza

+ Si $\text{Cov}(X,Y)>0$, entonces la relación de $X$ y $Y$ es positiva.
+ Si $\text{Cov}(X,Y)<0$, entonces la relación de $X$ y $Y$ es negativa
+ Si no hay relación entre $X$ y $Y$ (son independientes), entonces $\text{Cov}(X,Y)=0$

## DEF - Coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación de dos v.a.s $(X,Y)$ está dado por:

$$
\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}}
$$

## Teorema

Para cualesquiera variables aleatorias $(X,Y)$:

1. $-1 \leq \rho_{XY} \leq 1$
2. $\rho_{XY} = 1 \iff \exists a \not = 0, b \in \mathbb R$ tal que $P(Y=aX+b)=1 \forall x,y$

## Teorema

Se dice que si $X$ y $Y$ son v.a independientes, entonces

$$
\text{Cov}(X,Y) = 0 \\
\rho_{XY} = 0
$$

## Teorema

Sean $X,Y$ v.a.s independientes y sean $g(X)$ y $h(Y)$ dos funciones, la primera función de $X$ y la segunda función de $Y$.

Entonces,

$$
E[g(X)h(Y)] = E[g(X)]E[h(Y)]
$$

## Teorema
Sean $X$ y $Y$ dos variables aleatorias y $a,b,c \in \mathbb R$. Entonces,

$$
\text{Var}(aX+BY+c) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y) + 2ab\text{Cov}(X,Y)
$$

## Ejemplo

Sea $X,Y \sim \text{Exp}(1)$ y ambas son independientes. Encuentra $E[X^2,Y]$.

Como $X,Y$ son independientes,

$$
E[X^2,Y] = E[X^2]E[Y]\\
= (\text{Var}(X) + E(X)^2)E(Y)\\
=(1+1)(1)\\
=2
$$

## Ejemplo

Sean
$$
X \sim \text U(0,1)\\
Z \sim \text U(0,0.1)
$$

independientes.

Sea
$$
Y = X^2 + Z
$$

Calcular $\text{Cov}(X,Y)$

$$
\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\\
= E(X(X^2+2)) - E(X)E(X^2+2) \\
= E(X^3 + XZ) - E(X)[E(X^2) + E(Z)] \\
= E(X^3) + E(XZ) - E(X)E(X^2) - E(X)E(Z)\\
= E(X^3) - E(X)E(X^2) + \text{Cov}(X,Z)
$$

Como $X,Z$ son independientes

$$
= E(X^3) - E(X)E(X^2)
$$

Entonces,

$$
E(X^3) = \int_0^1 x^3 dx = \frac{1}{4} \\
E(X^2) = \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} \\
E(X) = \int_0^1 xdx = \frac{1}{2}
$$

Entonces,

$$
= \frac{1}{4} - \frac{1}{3} * \frac{1}{2}\\
= \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \\
= \frac{2}{24}\\
= \frac{1}{12}
$$

## Teorema/Corolario

Recordar

+ Si son independientes $\implies \text{Cov}(X,Y) = 0$
+ Si $\text{Cov}(X,Y) \not = 0 \implies$ **No** son independientes

## DEF. - Valor experado condicional

Sea $g(Y)$ una función de la v.a. $Y$. Sea $X$ otra v.a. Entonces, el valor esperado de $g(Y)$ condicionado a que $X=x$ está dado por:

$$
E[g(Y) | X] = \sum_\mathbb y {g(y) P(Y=y | X=x)}\\
= \int_{\mathbb y} g(y)f(y|x) dy
$$

## Ejemplo
Sea $f(y|x) = e^{-(y-x)} \mathbb I_{(0<x<y<\infty)}^{(x,y)}$.
Encontrar $E[Y|X]$

$$
E[Y|X] = \int_x^\infty ye^{-(y-x)} dy\\
= e^x \int_x^\infty ye^{-y}dy\\
$$

Integrando por partes, con
$$
\int udv = uv - \int vdu \\
u = y\\
dv = e^{-y}dy\\
du = dy\\
v = -e^{-y}
$$

Entonces

$$
= e^x[-ye^{-y} - \int_x^\infty -e^{-y}dy]\\
= e^x[-ye^{-y}\Big |_x^\infty -e^{-y}\Big |_x^\infty]\\
= e^x[xe^{-x} + e^{-x}]\\
= [x+1]
$$

## DEF. - Varianza condicional

La varianza condicional de $Y$ dado $X$ es

$$
\text{Var}(Y|X) = E[Y^2|X] - E[Y|X]^2
$$

## Teorema

Si $X,Y$ son independientes,

$$
E[g(Y)|X] = E[g(Y)]
$$

# 1.9 - Función Generadora de momentos y función característica

Una de las herramientas más importantes en Probabilidade es la Función generadora de momentos (FGM), ya que:

+ Permite calcular momentos
+ Caracterizan a una distribución (Teorema de la Unicidad)

## DEF. - FGM univariada

Sea $X$ una v.a., la función generadora de momentos de $X$ está dada por:

$$
M_X(t) = E[e^{tX}]
$$

definida para una vecindad de $t$ alrededor del cero.

Además,

$$
E[X^n] = \frac{d^nM_X(t)}{dt} \Big |_{t=0}
$$

### Ejemplo

Sea $X \sim \text N(\mu,\sigma^2)$. Encuentra $M_X(t)$.

$$
M_X(t) = E[e^{tX}]\\
= \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx
$$

Sea
$$
y = x-\mu\\
dy=dx
$$

Entonces,

$$
.\\
.\\
.\\
= e^{t\mu+\frac{\sigma^2t}{2}}
$$

## DEF. - FGM univariada discreta

Sea $X$ una v.a. discreta. Se define la función generadora de probabildiad como:

$$
M_X(t) = \Phi_X(t) = \sum_{k=0}^{\infty}t^kP(X=k)
$$

## Proposición
Sean $X,Y$, v.a.s independientes con f.g.m. $M_X(t)$ y $M_Y(t)$ respectivamente. Entonces,

$$
Z = g(X,Y) = X+Y\\
\implies M_Z(t) = M_X(t)M_Y(t), \forall t
$$

Si no fueran independientes, entonces,

$$
M_Z(t) = \int_y \int_x e^{t(x+y)} f(x,y)dxdy
$$

### Corolario

Sean $X_1,X_2,...,X_n$ v.a. independientes con $M_{X_i}(t)$ y sea

$$
S_n = \sum_{i=1}^n X_i \\
\implies M_{S_n}(t) = \prod_{i=1}^n M_{X_i}(t)
$$

Si, además, las $X_i$ son idénticamente distribuidas,

$$
M_{S_n}(t) = (M_X(t))^n
$$

## DEF. - FGM Multivariada

Sea $(X,Y)$ un vector aleatorio. Se define la fgm conjunta como

$$
M_{XY}(t,s) = E[e^{tX+sY}]
$$

siempre que $E[\cdot]$ esté definido para $|t| < \delta$ y $|s| < \epsilon$ con $\delta,\epsilon > 0$.

### Nota

Si $X,Y$ son independientes, entonces:
$$
M_{XY}(t,s) = M_X(t)M_Y(s)
$$

## Proposición

Sea $(X,Y)$ un vector aleatorio con $M_{XY}(t,s)$. Entonces,

$$
M_X(t) = \lim_{s \to 0} M_{XY}(t,s)\\
M_Y(t) = \lim_{t \to 0} M_{XY}(t,s)
$$

## Proposición
Sea $(X,Y)$ un vector aleatorio con $M_{XY}(t,s)$ entonces:

$$
E[X^nY^m] = \frac{\partial^{n+m}}{\partial t^n \partial s^m} M_{X,Y}(t,s) \Big |_{t=s=0}
$$

## Proposición

Sean $X,Y$ v.a.s con $M_{XY}(t,s),M_{X}(t),M_{Y}(t)$. Entonces,

$$
X,Y \text{ son independientes}\\
\iff\\
M_{XY}(t,s) = M_X(t)M_Y(s)
$$

## DEF. - Función característica

Se define la función característica de una v.a. $X$ como

$$
\phi_X(t) = E[e^{itX}] \\
= \int_\mathbb x e^{itx} f_X(x)dx
$$

donde $i = \sqrt{-1}$.

### Nota

Si f.g.m. $M_X(t)$ existe:

$$
\phi_X(t) = M_X(it)
$$

## Proposición

Sea $X$ una v.a. con función de densidad $f_X(x)$, entonces $\phi_X(t)$ **siempre** existe.

## Nota

Si $X$ es una v.a. con $\phi_X(t)$, entonces,

$$
E[X^n] = \frac{\frac{d^n \phi_X(t)}{dt^n} \Big |_{t=0}}{i^n}
$$

# 1.10 - Distribuciones Mezcla

En algunas ocasiones, el parámetro en una distribución no es un valor constante, sino que cambia bajo ciertas condiciones (aleatorio).

## Ejemplo

Un insector deposita cierta cantidad de huevecillo, cada uno con probabilidad $p$ de sobrevivencia. El número de huevecillos se distribuye $\text{Poisson}(\lambda)$.

$$
N = \text{número de huevecillos}\\
N = \text{Po}(\lambda)\\
X = \text{Número de huevecillos sobrevivientes}\\
X \sim \text{Bin}(N,p)\\
X|N \sim \text{Bin}(N,p)
$$

¿Cuál es la distribución de $X$?

$$
P(X=x) = \sum_\mathbb n P(X=x,N=n)\\
= \sum_\mathbb n P(X=x|N=n)P(N=n)\\
= \sum_\mathbb n \binom{N}{x}p^x(1-p)^{N-x} \frac{e^{-\lambda}\lambda^N}{N!}\\
= \sum_\mathbb n \frac{n!}{(n-x)!x!n!} p^x(1-p)^{n-x}e^{-\lambda}\lambda^n\\
= \frac{p^xe^{-\lambda}}{x!}\sum_\mathbb n \frac{(1-p)^{n-x}\lambda^n}{(n-x)!}\\
= \frac{p^x\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}\sum_\mathbb n \frac{(1-p)^{n-x}}{(n-x)!}\\
= \frac{(p\lambda)^x e^{-\lambda}}{x!} \sum_{n=x}^{\infty}\frac{[(1-p)\lambda]^{n-x}}{(n-x)!}\\
$$

Sea
$$
t=n-x\\
n=x \implies t=0\\
n=\infty \implies t=\infty
$$

Entonces,

$$
= \frac{(p\lambda)^x e^{-\lambda}}{x!} \sum_{t=0}^{\infty}\frac{((1-p)\lambda)^t}{t!}\\
= \frac{(p\lambda)^xe^{-\lambda}}{x!} e^{(1-p)\lambda}\\
= \frac{(\lambda p)^xe^{-\lambda p}}{x!} \\
\therefore X \sim \text{Po}(\lambda p)\\
\therefore E[X] = \lambda p
$$

## Teorema

Sean $X,Y$ v.a.s. Entonces,

$$
E[X] = E[E(X|Y)]
$$

## Ejemplo

$$
X|N \sim \text{Bin}(N,p)\\
N|\Lambda \sim \text{Po}(\Lambda)\\
\Lambda \sim \text{Exp}(\beta)
$$

Entonces

$$
E[X] = E[E(X|N)]\\
= E(Np) = p E(N) \\
= pE(E(N|\Lambda))\\
= pE(\Lambda) \\
= p\beta
$$

## Teorema

Sean $X$ y $Y$ dos v.a.s. Entonces,

$$
\text{Var(X)} = \text{Var}_Y(E_X(X|Y)) + E_Y(\text{Var}_X(X|Y))
$$

## Ejemplo

Sea

$$
X|P \sim \text{Bin}(n,P)\\
P \sim \text{U}(0,1)
$$

Entonces

$$
\text{Var}(X)\\
= \text{Var}(E(X|P)) + E(\text{Var}(X|P))\\
= \text{Var}(nP) + E(nP(1-P))\\
= n^2 \frac{1}{12} + nE(P-P^2)\\
= \frac{n^2}{12} + n[\frac{1}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4})]\\
= \frac{n^2}{16} + \frac{n}{6}
$$

## DEF. - Funcion de masa conjunta

### Notación

$$
\underline X = (X_1,X_2,...,X_n)\\
\underline X(w): \Omega \to \mathbb R^n
$$

Si $\underline X$ es un vector aleatorio discreto, entonces defino a la función de masa conjunta como
$$
P(X=x_1,X_2=x_2,...,X_n=x_n)
$$

y entonces, para $A \subseteq \mathbb R^n$,

$$
P(\underline X \in A) = \sum_{\underline X \in A} P(X_1 = x1, ..., X_n = x_n)
$$

Si $\underline X$ es un vector aleatorio continuo, defino a la función de densidad conjunta como:

$$
f(x_1,x_2,...,x_n)
$$

que satisface:

Para $A \subseteq \mathbb R^n$

$$
P(X \in A) = {\int ... \int}_A f(x_1,...,x_n)dx_1,...,dxn
$$

Sea $g(x_1,..,x_n), [g(\cdot): \mathbb R^n \to \mathbb R]$ función $\underline X$, se sabe que $g(\underline X)$ es una v.a. Entonces,

$$
E[g(X_1,...,X_n)] = \int_{-\infty}^{\infty} ... \int_{-\infty}^{\infty} g(x_,...,x_n)f(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n
$$

La esperanza y la varianza siguen la misma lógica que el [Caso bivariado en la sección 1.7](/DcHDxrE7S5OCUF9Zm5ZO9A)

## DEF. - Función de densidad marginal multivariada

La FDM de $X_i$ del vector aleatorio (X_1,X_2,...,X_n) es:

$$
f_{x_i}(x) = {\int_{-\infty}^{\infty}}_0...{\int_{-\infty}^{\infty}}_{n-1} f(x_1,...,x_n)dx_1,...,dx_n
$$

Y, para cualquier subconjunto de variables (X_1,...,X_k,...,X_n) la función de densidad es:

$$
f(x_1,...,x_n) \int_{n-k \text{ veces}} ... \int f(x_1,...,x_k,...,x_n)dx_{k+1}...dx_n
$$

La función de densidad condicional de un vector aleatorio $(X_1,...,X_n)$ es:

$$
f(x_{k+1},...,x_n|x_1,...,x_k) = \frac{f(x_1,...,x_n)}{f(x_1,...,x_n)}
$$

## Vectores con v.a. independientes
Si las variables del vector $X$ son independientes, entonces

$$
f(x_1,...,x_n) = f_{x_1}(x_1)...f_{x_n}(x_n)
$$

Sean $X_1,X_2,...,X_n$ vectores aleatorios $f(X_1,X_2,...,X_n)$ se dice que los vectores aleatorios son independientes si:

$$
f(x_1,...,x_n) = f_{X_1}(x_1)...f_{X_n}f(X_n) = f_{x_{11}}(x_{11})f_{x_{11}}(x_{12})...f_{x_nn}(x_{nn})
$$

# 1.12 - Distribución Multinomial

Sean $n,m$ enteros positivos y sean

$$
P_1,P_2,...,P_n\\
0\leq P_i \leq 1\\
\sum_{i=1}^{n} P_i = 1
$$

Entonces, el vector aleatorio $(X_1,...,X_n)$ tiene distribución multinomial si

$$
P(X_1=x_1,X_2=x_2,...,X_n = x_n) = \binom{m}{x_1,x_2,...,x_n}P_1^{x_1}P_2^{x_2}...P_n^{x_n}
$$

Decimos así que:

$$
X \sim \text{Mult}(m,P_1,P_2,...,P_n)
$$

Se interpreta como la probabilidad de $m$ éxitos posibles en $n$ ensayos.

## Nota

$$
\binom{m}{x_1,x_2,...,x_n} = \frac{m!}{x_1!x_2!...x_n!}
$$

## Ejemplo

Se lanza un dado 10 veces. El dado no es justo, tal que

$$
P(\text{cara i}) = \frac{i}{21}
$$

Queremos calcular la probabilidad de que, al lanzar el dado $10$ veces, obtengamos:

+ 1 cara 3
+ 2 caras 4
+ 3 caras 5
+ 4 caras 6

Tenemos así
$$
m = 10\\
x_1 = 0, x_2 =0, x_3 = 1, x_4 = 2, x_5 = 3, x_6 = 4\\
P_1 = 1/21, P_2, = 2/21, P3=3/21, P_4=4/21, P_5 = 5/21, P_6 = 6/21
$$

Entonces

$$
\binom{10}{0,0,1,2,3,4}(1/21)^0(2/21)^0(3/21)^1(4/21)^2(5/21)^3(6/21)^4\\
= 0.0059
$$