###### tags: `數學` `謎題` `數學思考` # 究竟公主會不會被巫婆吃掉？從謎題來引導數學思考過程 ### 前言 先前看過一道謎題，在解答的過程中，我發現它的解法有著很優雅的解題思考過程，有時候在解數學題時，也會用到類似的方法來幫助我思考。最近在上國中七年級的暑輔數學課程，這道謎題也被我拿來問班上學生，除了讓他們靜下來去思考之外，我也好奇學生對這道謎題會有什麼樣的反應出現。 ### 題目敘述 一個村莊住了23位巫婆和1位公主，巫婆們擁有強大的法力，而公主擁有美麗動人的外貌。巫婆們都渴望吃掉公主，就能變漂亮，成為公主，但卻會失去法力，並且可能會被其他巫婆吃掉。巫婆們都非常謹慎，只有在確定自己是安全的時候，才會吃掉公主。請問在這樣的情況下，那位公主是否能安全度過，不會被吃掉？ ### 解題想法 當初看到這題，一開始也是愣住，還在嘗試理解題目條件。問題非常簡單，就是問最一開始的公主會不會被巫婆們吃掉，但是巫婆數量比公主多非常多，直覺就會覺得，好像...怎樣都會被吃耶。有興趣的讀者不妨也來思考看看這道題目的答案究竟會是什麼呢？ 後來想了下，23個巫婆實在很難處理，如果只有1個會怎麼樣？只有1個巫婆對1個公主，那公主絕對會被吃掉，因為巫婆不會有被其他巫婆吃掉的風險，題目也說只要確定自己是安全的，巫婆就一定會把公主吃掉。所以，1對1的時候絕對是會被吃啦！ 那2個呢？如果其中1個巫婆不管三七二十一，就把公主給吃掉，那會發生什麼事？巫婆會變成公主，但這時候就剩下她和另一位巫婆，回到1對1的情況，另一位巫婆也會把變成公主的巫婆吃掉。因此可以得到一個結論，在巫婆公主2對1的時候，誰先吃掉公主，自己就會被另一人吃掉。既然會讓自己陷入險境，那巫婆就不會吃掉公主，彼此互相提防，也讓公主能安然度過，不會被吃掉。 敏銳的讀者或許會發現，剛才討論的兩個情形，已經有一個特別的現象產生，這邊我想先賣個關子，帶讀者們一起思考下一個情形，3個巫婆對1個公主會發生什麼事。 我們仿照2對1的思考過程，假設3個巫婆裡其中1個先把公主吃掉，那就會變成2對1的情形。根據前面的討論，我們知道剩下的兩個巫婆都不會吃掉新的公主，換句話說，吃掉公主的巫婆最後還是安全的。既然能確定自己是安全的，那麼必定會有巫婆先吃掉原本的公主，先搶先贏的概念。也因此得到一個結論，3對1的時候，公主一定會被吃掉。 這時可以發現，當其中一個巫婆先把公主吃掉，此時巫婆與公主的人數就會變成前一個討論的情形，我們可以根據之前討論的結果，來決定本次公主的安危。 討論到此，我們可以歸納出一個結論，就是公主是否安全，取決於巫婆的數量，並且最終結果會與前一次討論的情形正好相反。而這樣交錯的現象，如果你將巫婆數量和公主安危放在一起看，就會發現，每當巫婆數量是**奇數**時，公主就會被吃掉；巫婆數量是**偶數**時，公主則會是安全的。 > 答案：每當巫婆數量是**奇數**時，公主就會被吃掉；巫婆數量是**偶數**時，公主則會是安全的。所以題目的23位巫婆1位公主，23是奇數，最終會導致公主被吃掉。 ### 先將複雜化為簡單 像這樣先把題目數字降低，是一種簡化的過程。有時候複雜的題目，它的過程並不難，這時可以嘗試先簡化，看看簡單的情況會有什麼做法。有了答案後，再慢慢調整題目的數字，看看每一次討論情形的做法，是否有什麼規律，一旦發現規律，那就能得到更一般的解答了。 ### 總結 這樣的題目，沒想到竟然與數學當中很常出現的奇數偶數有關。我第一次得知這道題目時，是在給小朋友的闖關活動上認識的，像這樣又有趣又不會像上課那樣令人害怕的謎題，真的很適合應用在課堂上。讓學生透過解謎，組織自己的推理過程，以及練習發表自己的想法，這些都是一有機會就可以把握起來多加練習的。 在當天進行這項活動時，學生給我的回饋也很有趣，大家對公主巫婆這樣宛如童話設定的謎題很投入，也因此會好奇，巫婆會不會自相殘殺？王子會不會出來救公主？公主會不會把巫婆打敗逃走？這些雖然跟題目解法無關，卻也是討論性質的課堂上，我樂於看見的熱絡情況，代表學生非常投入其中。 這篇文章就分享自己對這道謎題的想法，以及一些教學的心得，感謝大家！