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# 淺談 - 一元二次方程式
## 定義
一元二次方程式的標準形式為
$ax^2 + bx + c = 0$，$a$、$b$、$c$ 都是實數，且$a \neq 0$。

## 目標
解出 $x$ 來滿足上面的方程式。

## 方法
### 因式分解或十字交乘
簡單形式的一元二次方程式可以用因式分解或者十字交乘法，將 $ax^2 + bx +c = 0$ 寫成 $(px+q)(rx+s) = 0$ ，則 $x = -\dfrac{q}{p}$ 或 $-\dfrac{s}{r}$

### 配方法
我們還可以用 **配方法** 來解這個方程式，推導過程如下。

$ax^2 + bx +c = 0\\
\Rightarrow ax^2 + bx = -c\\
\Rightarrow x^2 + \dfrac{b}{a}x = -\dfrac{c}{a}\\
\Rightarrow x^2 + \dfrac{b}{a}x + (\dfrac{b}{2a})^{2} = -\dfrac{c}{a} + (\dfrac{b}{2a})^{2}\\
\Rightarrow (x + \dfrac{b}{2a})^{2} = \dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\\
\Rightarrow x + \dfrac{b}{2a} = \pm\sqrt{\dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} = \pm\dfrac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\
\Rightarrow x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

不論 $a$ 是正是負分母開根號出來這裡都可以直接寫 $2a$，因為前面有 $\pm$ ，分情形討論時都可以整理成上述形式。

而由配方法整理出來的解又稱為公式解，可背可不背，本篇重點著重在配方法的使用。

## 解的情形
在解一元二次方程式時， $x$ 解的個數最多有兩個，透過配方法去解方程式時，其實可以知道解的情形為何。

根號裡面必須是正數或零，從這點可以知道， $b^{2} -4ac$ 的正負號成為判斷 $x$ 解的情形的條件。

我們令 $D = b^{2} - 4ac$ ，稱 $D$ 為判別式，由三一律可知， $D$ 可能的正負情況為 $D > 0$，$D=0$，$D<0$。以下表格整理了 $D$ 和解的情形關聯。

| | $D>0$ | $D=0$ | $D<0$ |
|:-----------------------:|:----------:|:-----:|:--------------------:|
| （國中）解的情形 | 相異兩根 | 重根 | 無解 |
| （高中）解的情形 | 兩相異實根 | 重根 | 無實數解或兩共軛虛根 |
| 函數圖形與$x$軸交點個數 | 2 | 1 | 0 |

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