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淺談 - 一元二次方程式

定義

一元二次方程式的標準形式為

$a{x}^2+bx+c=0$，

$a$、

$b$、

$c$ 都是實數，且

$a\ne 0$。

目標

解出

$x$ 來滿足上面的方程式。

方法

因式分解或十字交乘

簡單形式的一元二次方程式可以用因式分解或者十字交乘法，將

$a{x}^2+bx+c=0$ 寫成

$(px+q)(rx+s)=0$ ，則

$x=-{\displaystyle \frac{q}{p}}$ 或

$-{\displaystyle \frac{s}{r}}$

配方法

我們還可以用 配方法 來解這個方程式，推導過程如下。

$$\begin{gathered} a{x}^2+bx+c=0 \\ \Rightarrow a{x}^2+bx=-c \\ \Rightarrow x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x=-{\displaystyle \frac{c}{a}} \\ \Rightarrow x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x+({\displaystyle \frac{b}{2a}}{)}^2=-{\displaystyle \frac{c}{a}}+({\displaystyle \frac{b}{2a}}{)}^2 \\ \Rightarrow (x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}{)}^2={\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a^2}} \\ \Rightarrow x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a^2}}}=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} \\ \Rightarrow x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}} \end{gathered}$$

不論

$a$ 是正是負分母開根號出來這裡都可以直接寫

$2a$，因為前面有

$\pm$ ，分情形討論時都可以整理成上述形式。

而由配方法整理出來的解又稱為公式解，可背可不背，本篇重點著重在配方法的使用。

解的情形

在解一元二次方程式時，

$x$ 解的個數最多有兩個，透過配方法去解方程式時，其實可以知道解的情形為何。

根號裡面必須是正數或零，從這點可以知道，

$b^2-4ac$ 的正負號成為判斷

$x$ 解的情形的條件。

我們令

$D=b^2-4ac$ ，稱

$D$ 為判別式，由三一律可知，

$D$ 可能的正負情況為

$D>0$，

$D=0$，

$D<0$。以下表格整理了

$D$ 和解的情形關聯。

	$D>0$	$D=0$	$D<0$
（國中）解的情形	相異兩根	重根	無解
（高中）解的情形	兩相異實根	重根	無實數解或兩共軛虛根
函數圖形與 $x$軸交點個數	2	1	0

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