# 高一數學2-3 多項式方程式
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> 作者：啊綸
### 目標：解多項式方程式
>==定義== 多項式方程式
$$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots a_1 x + a_0 = 0$$
我們討論 $a_{i}$ 皆為實數，$i = 0 \cdots n$

想要研究這樣的方程式的根可不可以解。

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### 一元二次方程式
先回憶我們之前學過的一元二次方程式
用配方法可以將方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ 整理成
$a(x + \dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2}{4a} + c = 0$
化簡得 $a(x + \dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2-4ac}{4a} = 0$
移項化簡得 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

我們知道 $D = b^2 -4ac$ 叫做判別式
1. $D>0$ ，兩相異實根
2. $D=0$ ，重根
3. $D<0$ ，無實數解

也因此我們需要引入新的概念來幫助我們解沒有實數解二次方程式

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### 虛數 $i$
> ==Question== $x^2 + 1 = 0$ 的根是什麼？

直接移項計算得到 $x = \pm \sqrt{-1}$
我們將 $\sqrt{-1}$ 定作 $i$ ，視為 $x^2 + 1 = 0$ 的根

> ==定義== 虛數
> 1. $i = \sqrt{-1}$ ， $i^2 = -1$
> 2. 若 $a$ 為正實數， $\sqrt{-a} = \sqrt{a}\ i$

$i$ 被稱為虛數單位

==例1例2==

### 複數
有了虛數我們可以定義複數
> ==定義== 複數
> 設 $a$ ， $b$ 為實數，則可以表示為以下形式的數稱為複數
> $$a + ib$$
> 其中 $a$ 稱為**實部**， $b$ 稱為**虛部**

#### 複數具有一些性質
令 $z = a + ib$ ， $w = c + id$ ， $t = e + if$ ， $a, b, c, d, e, f$ 都是實數
- 複數的相等：
若 $z = w$ ， 則表示 $a = c$ ， 且 $b = d$

- 複數的加減：
$z \pm w = (a \pm c) + i(c \pm d)$

- 複數的乘法：
$z\ \cdot w = (a + ib)(c + id) =展開計算= (ac - bd) + i(ad + bc)$
（用分配律可以驗證）

- 複數的除法：
$\dfrac{z}{w} = \dfrac{a + ib}{c + id} = \dfrac{(a + ib)(c - id)}{(c + id)(c - id)} = \dfrac{(ac + bd) + i(bc - ad)}{c^2 + d^2} = (\dfrac{ac + bd}{c^2 + d^2}) + i(\dfrac{bc - ad}{c^2 + d^2})$

- 運算的規則：
- 交換律：
$z + w = w + z$
$z \cdot w = w \cdot z$

- 結合律：
$z + (w + t) = (z + w) + t$
$z \cdot (w \cdot t) = (z \cdot w) \cdot t$

- 分配律：
$z \cdot (w+t) = z \cdot w + z \cdot t$

- 消去律：
若 $z + t = w + t$ ， 則 $z = w$
若 $z \cdot t = w \cdot t$ ， 則 $z = w$

($z \cdot w$ 我們簡記成 $zw$)

- 共軛複數 $\overline{z}$：
- 定義 ：$\overline{z} = a - ib$
- $\overline{z \pm w} = \overline{z} \pm \overline{w}$
- $\overline{zw} = \bar{z} \bar{w}$
- $\overline{\dfrac{z}{w}} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{w}}$

以上性質皆可自行代數字熟悉

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### 解一元二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ (實係數)
有了複數的概念，我們可以解所有的一元二次方程式
由配方法可以得到公式解：$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

其中若 $b^2 -4ac < 0$ ，我們可以得到
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{-(4ac - b^2)}}{2a} = \dfrac{-b \pm \sqrt{4ac - b^2}\ i}{2a}$
兩個互相為共軛複數的根

#### 判別式 $D = \sqrt{b^2 - 4ac}$
1. $D > 0$ ：兩相異實根
2. $D = 0$ ：重根
3. $D < 0$ ：兩共軛虛根

#### 幾何意義
方程式根的概念：函數 $f(x)$ 和 $x$ 軸的交點
因此有了圖形上的分類
1. $D>0$ ： 交於兩點
2. $D=0$ ： 恰交於一點
3. $D<0$ ： 不相交（圖形恆在 $x$ 軸上方或下方）

==例==

#### 根與係數關係
若 $ax^2 + bx + c = 0$ 的兩根為 $\alpha$ 和 $\beta$
則 $(x-\alpha)$ 和 $(x-\beta)$ 分別為 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的因式
$ax^2 + bx + c = a(x-\alpha)(x-\beta)$
$\Rightarrow ax^2 + bx + c = a[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta]$
$\Rightarrow \alpha + \beta = \dfrac{-b}{a}$ ， $\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$

==例3==

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### 有理根判別、一次因式檢驗法
> ==Recall== 因式定理
若多項式 $f(x)$ 有一次因式 $(ax-b)$ ， $a, b$ 互質，則 $f(\dfrac{b}{a}) = 0$
反之亦然

我們看個例子： $f(x) = x^3 + 4x^2 + 5x -6$

假設 $f(x)$ 有一次因式 $ax-b$ ，則
$x^3 + 4x^2 + 5x -6 = (ax-b)(\cdots)$

因為 $f(x)$ 各項係數都是整數，兩個因式相乘的結果可以知道每個因式的係數也都是整數，因此可知 $a = \pm 1$

接著想想 $b$ 可能的值，會發現可能是 $\pm 1 , \pm 2, \pm 3, \pm6$，正好是常數項 $6$ 的因數

接著運用因式定理可知，將可能的 $\dfrac{b}{a}$ 代入 $f(x)$ 計算，便可以檢驗出誰是一次因式

這樣的方法便是一次因式檢驗法，我們可以更一般的來說明這個方法

> ==定理== 一次因式檢驗法
> 若一整係數多項式 $a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0$ > 具有一次因式 $(ax-b)$ ， $a, b$ 互質，則 $a$ 是 $a_n$ 的因數，$b$ 是 $a_0$ 的因數。

也有方程式的版本
> ==定理== 有理根判別法
> 若一整係數多項式方程式 $a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$ 具有一有理根 $\dfrac{b}{a}$ ， $a, b$ 互質，則 $a$ 是 $a_n$ 的因數，$b$ 是 $a_0$ 的因數

==例4==

### 代數基本定理
引進虛數的概念後，所有的一元二次方程式都恰好有兩個複數根，那麼一元三次會不會恰好有三個複數根呢？更高次方的情形也有類似的結果嗎？

這個問題，一位德國的數學家----高斯，在他的博士論文中證明了代數基本定理，幫我們解答了。

> ==定理== 代數基本定理
> 任何一個一元 $n$ 次複係數方程式都至少有一個複數根。

這個定理的其他版本便回答了我們的問題。
> ==定理== 代數基本定理
> 任何一個一元 $n$ 次複係數方程式都正好有 $n$ 個複數根。

==例5==

### 虛根成對
在 $x^2 + 1 = 0$ 這個例子中，我們藉由定義 $i = \sqrt{-1}$ 可以知道， $\pm i$ 皆是這個方程式的複數根。

代數基本定理告訴我們，正好就只有這兩個根，並且我們觀察發現，他們互為共軛複數。

我們可以猜測，是否複數根都會和他的共軛複數一起成雙出現？
答案是肯定的，也就是虛根成對定理。

>==定理== 虛根成對定理
> 設 $f(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0$ ，為實係數多項式。已知 $z = a+ib$ ， $a, b$ 為實數且 $b \neq 0$，是 $f(x) = 0$ 的一個虛根，則$\overline{z} = a-ib$ 也是 $f(x) = 0$ 的虛根。

證明：計算

補充：實係數多項式分解定理和奇次實係數多項式方程式實根定理
==例題==

### 勘根定理
二次多項式方程式有公式解，那麼三次以上的多項式方程式是否有公式解呢？

後來的數學家陸續找到了三次和四次的公式解，甚至證明了五次以上（含）是沒有公式解的。（阿貝爾）

雖然找多項式方程式的解是一件困難的事，但是還是有辦法找出近似解來，勘根定理就是一個方法。

>==定理== 勘根定理
> 設 $f(x) = 0$ 是一個實係數多項式方程式， $a, b$ 為兩相異實數，如果 $f(a)f(b) < 0$ ，則方程式 $f(x) = 0$ 在 $a, b$ 之間至少存在一實根。

想法：多項式函數圖形是連續不間斷的，而方程式的根可以視為函數圖形和 $x$ 軸的交點，因此若 $f(1) < 0, f(2) >0$ ，那麼函數圖形在 $1, 2$ 之間必定會經過 $x$ 軸，而那就是我們要找的根。

### a的n次方根

### 補充討論
1. 三次多項式方程式的根與係數關係
2. 虛根成對定理可推得實係數多項式分解定理和奇次實係數多項式方程式至少有一實根